人教版数学八年级下册 第十八章18．2．1矩形讲义学案（习题含答案）

矩形综合
知识集结

知识元
矩形的定义与性质
知识讲解
矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的性质
1.平行四边形的性质矩形都具有；
2.角：矩形的四个角都是直角；
3.边：邻边垂直；
4.对角线：矩形的对角线相等；
5.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
例题精讲
矩形的定义与性质
例1.
有一个四边形ABCD是矩形，则下列不一定正确的是（　　）

A．AD∥BC B．AB=CD
C．对角线AC与BD互相平分 D．对角线AC与BD互相垂直
【答案】D
【解析】
题干解析:
矩形的概念与性质可得，矩形的对角线不一定垂直。
例2.
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
由矩形ABCD的性质得OA=OB,又∠AOB=60°,AB=2，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2,
∴AC=4.
例3.
如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5过对角线交点O作OEAC 交AD于E则AE的长是（ ）

A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
【答案】D
【解析】
题干解析:
连接EC,∵四边形是ABCD矩形，∴OA=OC, ∵OEAC,设AE=x，在Rt△ECD中，由勾股定理得解得x=3.4.
矩形性质的应用
知识讲解
通过画图，识记矩形的定义及相关性质，根据题意解决问题.
例题精讲
矩形性质的应用
例1.
如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,,AB=5,则AD的长是（ ）

A． B． C．5 D．10
【答案】A
【解析】
题干解析:
四边形ABCD是矩形,

又,
是等边三角形,
,

.故选A.
例2.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解析】
题干解析:
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．故选：B．
例3.
如图,在矩形ABCD中, 相交于点O,则图中等腰三角形的个数是_____个.

【答案】
4
【解析】
题干解析:四边形ABCD是矩形,,都是等腰三角形
例4.
矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点 ，则 的周长为______.

【答案】
12
【解析】
题干解析:∵四边形ABCD是矩形，AC=8，,是等边三角形的周长是4+4+4=12
折叠问题
知识讲解
对于折叠问题，首先应该明白折叠前后的两部分全等，通过全等得到对应角和对应边相等，遇到求边的问题，通常我们会设X，根据勾股定理来列方程求得。
?
例题精讲
折叠问题
例1.
如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
题干解析:
解：在矩形ABCD中，CD=AB，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，
∴C′D=CD，
∴C′D=AB，
∵AB=2，
∴C′D=2．故选B．
例2.
一张矩形纸片ABCD，长边AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD的长为( )
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【解析】
题干解析:
由折叠知DC=DF,四边形CDFE为正方形，∴CD=CE=BC-BE=10-6=4(cm)
例3.
如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 度．

【答案】
125
【解析】
题干解析:有折叠可得四边形FCDE≌四边形FC′BF∴∠BEF=∠DEF,∠EFC=∠EFC′∵∠ABE＝20°∴∠EBC=70°∵矩形ABCD中AD∥BC∴∠EBC=∠AEB=70°∴∠BEF=∠FED= (180°-70°)=55°∴∠EFC′=∠EFC=180°-55°=125°
矩形的周长
知识讲解
矩形的周长等于长加宽的二倍.
例题精讲
矩形的周长
例1.
在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为(　　 )
A．18 B．16 C．20 D．22
【答案】B
【解析】
题干解析:
根据矩形的性质得AC=2OA,BD=2OB,AC=BD,∠ABC=90°,在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC=6,求出OA=OB=5,代入OA+OB+AB求出即可。
例2.
矩形的对角线长为两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．
【答案】
20
【解析】
题干解析:根据矩形的性质得到△ABC是直角三角形，对角线长AC=,设AB=2x,BC=3x由勾股定理得：,解得x=2
例3.
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　　．

【答案】
14
【解析】
题干解析:解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．故答案为：14．
矩形的面积
知识讲解
矩形的面积等于长×宽,求阴影部分的面积时需要我们进行转化，或者分割。
例题精讲
矩形的面积
例1.
如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．

A．98 B．196 C．280 D．284
【答案】C
【解析】
题干解析:
设小矩形的宽为x，长为y，由题意

解得：
∴矩形ABCD的面积=20×14=280
例2.
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且，则阴影部分面积为______.

【答案】
24
【解析】
题干解析:因为，且，则，则阴影部分的面积．
例3.
如图，在矩形ABCD中E、F分别是AB、CD的中点，P为EF上任意一点（不与E、F重合），已知矩形ABCD的长为4cm，宽为3cm，则图中阴影部分的面积是______.

【答案】
6
【解析】
题干解析:根据题意观察图形可知，关于对称，∴ ，∴图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，∴图中阴影部分的面积=．
例4.
如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形的面QCNK积S2的大小关系是：______.（用“大于”，“小于”，“等于”填写）

【答案】
等于
【解析】
题干解析:∵四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，∴的面积=的面积，的面积=的面积，的面积的面积，的面积的面积的面积的面积的面积的面积，∴
矩形的判定
知识讲解
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.有三个角是直角的四边形是矩形；
3.对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.

例题精讲
矩形的判定
例1.
平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是（　　）
A．AB=CD B．OA=OB C．AC=BD D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）可得
可证四边形ABCD 是矩形．故D不正确．
矩形的对角线相等且相互平分，OA=OB,AC=BD可证四边形ABCD为矩形，故B不正确，C不正确．
例2.
如图，在△ABC中，AB=AC ，将△ABC绕点C 旋转180°得到△EFC，连接AE,BF ．当∠ACB为______度时，四边形ABFE 为矩形．

【答案】
60
【解析】
题干解析:如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF=BE,AC=BC，又因为AC=AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以．故答案为60．
例3.
如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵ ，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．　
【解析】
题干解析:（1）利用平行四边形对边平行且相等得到对应的边和角相等，用角边角即可证得△BEF≌△CDF全等（2）本题用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得四边形BECD是矩形。
矩形的判定（证明题）
知识讲解
①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等；
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
例题精讲
矩形的判定（证明题）
例1.
如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴BE=DF，∵在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（SAS）．（2）由（1）得，CE=AF，AD=BC，故可得四边形AECF是平行四边形．
【解析】
题干解析:（1）根据E、F分别是边AB、CD的中点，可得出BE=DF，继而利用SAS可判断△BEC≌△DFA；（2）由（1）的结论，可得CE=AF，继而可判断四边形AECF是平行四边形．
例2.
如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△EDB；
（2）只需添加一个条件，即　　　　等，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

【答案】
证明：（1）∵AB=CD=ED，AD=EB，BD=BD，∴△ABD≌△EDB；（2）根据矩形的判定得，可添加AB∥CD；∵AB=CD=ED，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵BE⊥DE，∴∠E=90°．∵△ABD≌△EDB，∴∠A=∠E=90°．∴平行四边形ABCD是矩形．
【解析】
题干解析:（1）题中条件给的很充分，可根据SSS直接判定三角形全等．（2）本题应先证明四边形ABCD为平行四边形，再通过△ABD≌△EDB得到∠A=∠E=90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形．
例3.
如图，在□ABCD中，E、F为BC上的两点，且BE=CF，AF=DE.
求证：（1）△ABF≌△DCE;
(2)四边形ABCD是矩形.

【答案】
解：（1）∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC.在△ABF和△DCE中，∵AB=DC,BF=CE,AF=DE,∴△ABF≌△DCE.(2)解法一：∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C,∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°∴∠B=∠C=90°所以四边形ABCD是矩形.解法二：连接AC,DB.∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,∴∠AFC=∠DEB.在△AFC和△DEB中，∵AF=DE, ∠AFC=∠DEB,CF=BE.∴△AFC≌△DEB,∴AC=DB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.
【解析】
题干解析:运用平行四边形的性质得全等，还要求准确记忆矩形的判定。
直角三角形斜边上的中线
知识讲解
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形中，一边的中线等于这条边的一半时，这个三角形是直角三角形。(在小题中可以直接使用，证明题中使用时要先证明)
30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；结合以上直角三角形的性质可以得到等边三角形。
例题精讲
直角三角形斜边上的中线
例1.
如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
由于为的中位线，，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得；又由于，点为的中点，，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得．因此．
例2.
如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD并延长到E，使CE=，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】C
【解析】
题干解析:
解：∵，为的中点，，
∴．又，
∴，
∴．
又∵，点D是AB的中点，
∴ED是的中位线，
∴BF=2ED=8．故选：C．
例3.
在△ABC中，AD平分∠BAC,BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，则线段DE的长为________.

【答案】
2.5
【解析】
题干解析:解：平分，，,,
当堂练习
单选题
练习1.
有一个四边形ABCD是矩形，下列说法一定正确的是（　　）

A．AD⊥BC B．AB=BC
C．对角线AC与BD互相平分 D．对角线AC与BD互相垂直
练习2.
如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或
练习3.
如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）

A． B． C． D．
练习4.
如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为（ ）．

A． B． C． D．
练习5.
如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）

A．S1＞S2 B．S1=S2
C．S1＜S2 D．3S1=2S2
练习6.
如图，，D为AB的中点，连接CD并延长到E，使，过点B作，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．10
练习7.
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）

A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
填空题
练习1.
如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O．已知,，则图中长度为8的线段有______条.

练习2.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为______.

练习3.
矩形的对角线长为两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．
练习4.
如图，在矩形中，点分别在边上，，若，且，则阴影部分面积为______.

练习5.
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　　．

练习6.
著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为_______cm．

练习7.
如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 度．

解答题
练习1.
已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．




练习2.
如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．





单选题：CACAB CC
填空题：6,60°，20,24,14,10,125
解答题
练习1：【答案】
（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．
【解析】
题干解析:（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．

练习2：【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．　
【解析】
题干解析:（1）利用平行四边形对边平行且相等得到对应的边和角相等，用角边角即可证得△BEF≌△CDF全等（2）本题用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得四边形BECD是矩形。