2020年冀教新版七年级数学下册《第7章 相交线与平行线》单元测试卷（解析版）

2020年冀教新版七年级数学下册《第7章 相交线与平行线》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．平面内三条直线的交点个数可能有（　　）
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．360° B．180° C．120° D．90
3．如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1＝35°，那么∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
4．下列语句是命题的是（　　）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（3）请画出两条互相平行的直线；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线．
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4）
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．垂线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
7．观察下面图案在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
8．图中的小船通过平移后可得到的图案是（　　）

A． B．
C． D．
9．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（　　）

A．20 B．24 C．25 D．26
10．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，已知AD＝5，∠B＝70°，则（　　）

A．FG＝5，∠G＝70° B．EH＝5，∠F＝70°
C．EF＝5，∠F＝70° D．EF＝5，∠E＝70°
11．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
12．下列如图所示的图案，分别是奔驰、奥迪、三菱、大众汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．三条直线两两相交，最少有　 　个交点，最多有　 　个交点．
14．若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3＝45°，则∠1的度数为　 　．
15．“同位角相等”的逆命题是　 　．
16．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　 　，这个逆命题是　 　（填“真”或“假”）．
17．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为　 　m．

18．在高3米，水平距离为4米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米．

19．如图，根据长方形中的数据，计算阴影部分的面积为　 　．

20．如图所示，由三角形ABC平移得到的三角形有　 　个．

三．解答题（共8小题）
21．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．

22．如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．
（1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数；
（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．

23．判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若ab＝0，则a+b＝0．
24．如图，有三个论断①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

25．宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？

26．如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
（Ⅰ）求证：AF＝EC；
（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．
（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；
（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？

27．已知△A1B1C1是由△ABC经过平移得到的，其中，A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1，它们在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：
△ABC A（a，0） B（3，0） C（5，5）
△A1B1C1 A1（﹣3，2） B1（﹣1，b） C1（c，7）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）在如图的平面直角坐标系中画出△ABC及△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积是　 　．

28．把小船ABCD通过平移后到A′B′C′D′的位置，请你根据题中信息，画出平移后的小船位置．




2020年冀教新版七年级数学下册《第7章 相交线与平行线》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．平面内三条直线的交点个数可能有（　　）
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
【分析】根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解．
【解答】解：如图所示，

分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，
∴交点个数可能有0个或1个或2个或3个．
故选：D．
【点评】本题考查了相交线的知识，穷举出所有的可能情况并作出图形是解题的关键．
2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．360° B．180° C．120° D．90
【分析】利用对顶角相等，可知∠1+∠2+∠3的和是360°的一半．
【解答】解：因为对顶角相等，所以∠1+∠2+∠3＝×360°＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角的性质，是一个需要熟记的内容．
3．如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1＝35°，那么∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据垂线的定义，可得∠COD，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°．
由角的和差，得
∠2＝180°﹣∠COD﹣∠1
＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线的定义，利用垂线的定义是解题关键．
4．下列语句是命题的是（　　）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（3）请画出两条互相平行的直线；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线．
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4）
【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都由题设和结论两部分组成，依此对四个小题进行逐一分析即可；
【解答】解：（1）两点之间，线段最短符合命题定义，正确；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，符合命题定义，正确．
（3）请画出两条互相平行的直线只是做了陈述，不是命题，错误；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线没有做出判断，不是命题，错误，
故选：A．
【点评】本题考查了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．注意命题是一个能够判断真假的陈述句．
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．垂线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
【分析】根据平行线的判定对A进行判断；
根据垂线段公理对B进行判断；
根据过一点有且只有一条直线与原直线垂直对C进行判断；
根据点到直线的距离的定义对D进行判断．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，所以A选项为真命题；
B、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，所以B选项为真命题；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以C选项为真命题；
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以D选项为假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；
B、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；
C、正确，必须强调在同一平面内；
D、错误，两直线平行同旁内角才互补．
故选：C．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．观察下面图案在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到平移前后形状与大小没有改变，并且对应点的连线平行且相等的图形即可．
【解答】解：A、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
B、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
C、可通过平移得到，符合题意；
D、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题需抓住平移前后对应点的连线平行且相等这个知识点进行解答．
8．图中的小船通过平移后可得到的图案是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移可以选出答案．
【解答】解：根据平移定义可得：图中的小船通过平移后可得到的图案是B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了生活中的平移，关键是掌握平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
9．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（　　）

A．20 B．24 C．25 D．26
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题；
【解答】解：∵平移距离为4，
∴BE＝4，
∵AB＝8，DH＝3，
∴EH＝8﹣3＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴
∴阴影部分的面积为＝×（8+5）×4＝26
故选：D．

【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
10．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，已知AD＝5，∠B＝70°，则（　　）

A．FG＝5，∠G＝70° B．EH＝5，∠F＝70°
C．EF＝5，∠F＝70° D．EF＝5，∠E＝70°
【分析】经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．
【解答】解：在四边形EFGH，EH是AD的对应边，∠F是∠B的对应角，
∵AD＝5，∠B＝70°，故EH＝5，∠F＝70°．
故选：B．
【点评】解题的关键是利用平移的性质，找准对应边、对应角．
11．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【解答】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．
12．下列如图所示的图案，分别是奔驰、奥迪、三菱、大众汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【解答】解：观察图形可知，图案C可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致错选．
二．填空题（共8小题）
13．三条直线两两相交，最少有　1　个交点，最多有　3　个交点．
【分析】最少的交点个数即其相交于一点，而最多也就能构成一个三角形，即三个交点．
【解答】解：如图所示：
两两相交的直线，其最少有1个交点，即三条直线相交于一点；
最多有三个交点，即其构成一个三角形，共三个交点．
故答案为1，3．

【点评】本题主要考查了相交线，关键是考虑全面，不要漏解．
14．若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3＝45°，则∠1的度数为　135°　．
【分析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．
【解答】解：∵∠2的邻补角是∠3，∠3＝45°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝135°．
∵∠1的对顶角是∠2，
∴∠1＝∠2＝135°．
【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，是一个需要熟记的内容．
15．“同位角相等”的逆命题是　相等的角是同位角　．
【分析】“同位角相等”的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．
故答案为：相等的角是同位角．
【点评】本题考查了逆命题，关键找出题设和结论部分，然后交换题设和结论即为逆命题．
16．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　对应角相等的三角形是全等三角形　，这个逆命题是　假　（填“真”或“假”）．
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，进而判断它的真假．
【解答】解：命题“全等三角形对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题．
故答案为：对应角相等的三角形是全等三角形，假．
【点评】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
17．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为　140　m．

【分析】利用平移的性质直接得出答案即可．
【解答】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽的和，
故小桥总长为：280÷2＝140（m）．
故答案为：140．
【点评】此题主要考查了生活中的平移，根据已知正确平移小桥是解题关键．
18．在高3米，水平距离为4米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　7　米．

【分析】把楼梯的水平线段向下平移，竖直线段向右平移可得地毯长度为水平距离与高的和．
【解答】解：地毯长度至少需3+4＝7米．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了生活中的平移及平移的性质，根据已知得出地毯的长度应等于水平距离与高的和是解题关键．
19．如图，根据长方形中的数据，计算阴影部分的面积为　104　．

【分析】两个阴影图形可以平移到一个长方形中去，故根据长方形面积公式计算．
【解答】解：两个阴影图形可以平移组成一个长方形，长为15﹣2＝13，宽为8，
故阴影部分的面积＝13×8＝104．
【点评】本题主要考查平移的性质，把复杂的问题化简单．
20．如图所示，由三角形ABC平移得到的三角形有　5　个．

【分析】平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，据此判断出由三角形ABC平移得到的三角形有哪些即可．
【解答】解：如图1，，
由三角形ABC平移得到的三角形有5个：
△DBE、△BHI、△EFG、△EIM、△IPN．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平移的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
三．解答题（共8小题）
21．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．

【分析】（1）根据邻补角的概念即可解答；
（2）根据对顶角的概念即可解答；
（3）因为∠BOF＝90°，所以AB⊥EF，由此可得∠AOF，再根据对顶角的概念可得∠FOC的度数．
【解答】解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；
（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）∵∠BOF＝90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF＝90°，
又∵∠AOC＝∠BOD＝60°
∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝90°+60°＝150°．
【点评】本题考查的主要内容是邻补角和对顶角的概念，以及角的和差计算，掌握邻补角和对顶角的概念是解题的关键．
22．如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．
（1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数；
（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．

【分析】此题利用余角、周角性质即可求出角的度数．应按照题目的要求，逐步计算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
又∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD
＝30°+90°＝120°．

（2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD＝360°，
∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠BOC＝70°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC
＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°．

（3）猜想：∠AOD+∠BOC＝180°．
理由：如图①∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°，
∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝180°．

【点评】此题主要考查了学生余角、周角的性质．
23．判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若ab＝0，则a+b＝0．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：（1）假命题．如：两条直线平行，内错角相等．
（2）假命题．如：a＝5和b＝0．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
24．如图，有三个论断①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】已知：∠B＝∠D，∠A＝∠C．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B＝∠BFC．
∵∠B＝∠D，
∴∠BFC＝∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN＝∠BNM．
∵∠1＝∠DMN，∠2＝∠BNM，
∴∠1＝∠2．
【点评】证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
25．宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？

【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米，
∴地毯的长度为6+4＝10米，地毯的面积为10×2＝20平方米，
∴买地毯至少需要20×40＝800元．

【点评】本题考查了平移的性质，属于基础应用题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
26．如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
（Ⅰ）求证：AF＝EC；
（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．
（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；
（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？

【分析】（Ⅰ）由AB＝a，AD＝b，BE＝x，S梯形ABEF＝S梯形CDFE，结合梯形的面积公式可证得AF＝EC；
（Ⅱ）（1）根据题意，画出图形，结合梯形的性质求得x：b的值；
（2）直线EE′经过原矩形的顶点D时，可证明四边形BE′EF是平行四边形，则BE′∥EF；当直线EE′经过原矩形的顶点A时，BE′与EF不平行．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB＝a，AD＝b，BE＝x，S梯形ABEF＝S梯形CDFE，
∴a（x+AF）＝a（EC+b﹣AF），
∴2AF＝EC+（b﹣x）．
又∵EC＝b﹣x，
∴2AF＝2EC．
∴AF＝EC．

（Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）
∵EC∥E′B′，
∴＝，
由EC＝b﹣x，E′B′＝EB＝x，DB′＝DC+CB′＝2a，
得，
∴x：b＝．
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴CE＝（AD+E′B′），
即b﹣x＝（b+x），
∴x：b＝．

（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，
证明：连接BF，
∵FD∥BE，FD＝BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴FB∥DE，FB＝DE，
又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴DE＝EE′，
∴FB∥EE′，FB＝EE′，
∴四边形BE′EF是平行四边形，
∴BE′∥EF．
如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，
设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M＝a，
∵x：b＝，
∴EM＝BC＝b，
若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG＝90°，
又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E＝90°，
∴∠GBE＝∠ME′E，
在Rt△BME′中，tan∠E′BM＝tan∠GBE＝＝，
在Rt△EME′中，tan∠ME′E＝＝，
∴＝．
又∵a＞0，b＞0，
＝，
∴当＝时，BE′与EF垂直．


【点评】本题是道根据平移的性质、梯形的性质和平行四边形的性质结合求解的综合题，解题复杂，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．
27．已知△A1B1C1是由△ABC经过平移得到的，其中，A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1，它们在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：
△ABC A（a，0） B（3，0） C（5，5）
△A1B1C1 A1（﹣3，2） B1（﹣1，b） C1（c，7）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝　1　，b＝　2　，c＝　1　；
（2）在如图的平面直角坐标系中画出△ABC及△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积是　5　．

【分析】（1）根据点B横坐标的变化求出向左平移的距离，根据点C纵坐标的变化得出向上平移的距离即可；
（2）在坐标系内描出各点，再画出△ABC及△A1B1C1即可；
（3）矩形的面积减去两个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0），B1（﹣1，b），
∴向左平移的距离＝3+1＝4，
∴a﹣4＝﹣3，解得a＝1，
5﹣c＝4，解得c＝1；
∵C（5，5），C1（c，7），
∴向上平移的距离＝7﹣5＝2，
∴n＝0+2＝2．
故答案为：1，2，1；

（2）如图△ABC及△A1B1C1即为所求；

（3）由图可知，S△A1B1C1＝4×5﹣×4×5﹣×2×4＝5．
故答案为：5．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，先根据题意得出图形平移的方向，再根据图形平移不变性的性质求解是解答此题的关键．
28．把小船ABCD通过平移后到A′B′C′D′的位置，请你根据题中信息，画出平移后的小船位置．

【分析】看旗子的一个对应点是向左移9个格子，再向上移1个格子，那么将小船的四个顶点向左移9个格子，再向上移1个格子即可得到所求的位置．
【解答】解：．
【点评】图形的平移要归结为各顶点的平移；解决本题的关键是得到一对对应点之间的平移规律．