2020年冀教新版七年级数学下册《第9章 三角形》单元测试卷（解析版）

2020年冀教新版七年级数学下册《第9章 三角形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
2．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（　　）

A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
3．要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
5．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（　　）

A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2
6．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12，则BC的长是（　　）

A．10 B．10.8 C．12 D．15
7．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（　　）

A．一条 B．两条 C．三条 D．四条
8．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
9．三角形的重心是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
10．三角形三条中线的交点叫做三角形的（　　）
A．内心 B．外心 C．中心 D．重心
11．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
12．一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．3 C．9 D．10
二．填空题（共8小题）
13．数一数图中共有　 　个三角形．

14．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是　 　三角形．
15．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　 　cm2．

16．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是　 　．

17．已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝　 　．
18．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为　 　．
19．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝　 　度．
20．如图∠A＝65°，∠B＝40°，则∠ACD＝　 　．

三．解答题（共8小题）
21．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．
22．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　 　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

23．如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．

24．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．

25．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2．求BC和DC的长．

26．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，已知AB＝6，AD＝5，BC＝4，求CE的长．

27．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
28．若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．



2020年冀教新版七年级数学下册《第9章 三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
【分析】根据钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等边三角形和等腰三角形之间的关系，分别进行判断，即可求出答案．
【解答】解：A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；
C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了三角形，此题利用等边三角形和等腰三角形的定义和性质分别进行判断．
2．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（　　）

A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
【解答】解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选：D．
【点评】解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小．
3．要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线即可．
【解答】解：过点C作AB边的垂线，正确的是C．
故选：C．
【点评】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．
4．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
5．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（　　）

A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2
【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
同理得，
S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝4，
∴S△BEF＝1，
即阴影部分的面积为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．
6．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12，则BC的长是（　　）

A．10 B．10.8 C．12 D．15
【分析】利用三角形的面积可得CB?AD＝AB?CE，再代入数据即可．
【解答】解：∵S△ACB＝CB?AD＝AB?CE，
∴×BC×10＝12×9，
解得：BC＝10.8，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握三角形的面积公式．
7．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（　　）

A．一条 B．两条 C．三条 D．四条
【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可．
【解答】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．
8．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
9．三角形的重心是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形的重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点答题．
【解答】解；∵三角形的重心是三角形三条中线的交点，
故选：C．
【点评】此题考查了重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
10．三角形三条中线的交点叫做三角形的（　　）
A．内心 B．外心 C．中心 D．重心
【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：D．
【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
11．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2﹣2ab+b2﹣c2分解因式就可以进行判断．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中三边之间的关系．（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
12．一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．3 C．9 D．10
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
7﹣3＜x＜7+3，
则4＜x＜10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
二．填空题（共8小题）
13．数一数图中共有　6　个三角形．

【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，则线段AD上的任何两个点与点E即可确定一个三角形．
【解答】解：线段AD上有4个点，
可以与E组成的三角形有×4×（4﹣1）＝6个．
故答案是：6．

【点评】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，也可以与线段外的一点组成个三角形．
14．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是　钝角　三角形．
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高．发现：
锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【解答】解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形．
【点评】注意不同形状的三角形的高的位置．
15．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　1　cm2．

【分析】根据三角形的面积公式，知△BCE的面积是△ABC的面积的一半，进一步求得阴影部分的面积是△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．
则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．
∵点F是CE的中点，
∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．
【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，知三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．
16．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是　三角形的稳定性　．

【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故应填：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
17．已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝　2　．
【分析】根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可得出AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，由三角形重心的性质即可得出AG的长．
【解答】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，
∵G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝×8＝4，
∴AD＝＝＝3，
∴AG＝AD＝×3＝2．
故答案为：2．

【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．
18．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为　4　．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
19．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝　60　度．
【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设∠A为X，然后根据三角形内角和为180°的等量关系求解即可．
【解答】解：设∠A为x．
x+2x+3x＝180°?x＝30°．
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
故填60．
【点评】此类题关键是利用题目给出的等量关系列方程解答即可．
20．如图∠A＝65°，∠B＝40°，则∠ACD＝　105°　．

【分析】直接根据三角形内角与外角的性质进行解答即可．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°+40°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的性质，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三．解答题（共8小题）
21．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．
【分析】设三边长分别为2x，3x，4x，根据周长为36cm，列出方程，解出方程的解即可得出答案．
【解答】解：设三边长分别为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x＝36，
解得：x＝4．
则a＝2×4＝8（cm），
b＝3×4＝12（cm），
c＝4×4＝16（cm）．
【点评】本题考查了三角形，用到的知识点是三角形的周长、一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出三边的长，利用方程思想求解．
22．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　4　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）；当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）＝4010个三角形．
【解答】解：（1）

4个；

（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；

（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．

【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A＝60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＝30°．同理，∠ACF＝30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC＝120°．
【解答】解：∵∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣54°＝60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣∠BAC﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
同理，∠ACF＝30°，
∴∠BHC＝∠BEC+∠ACF＝90°+30°＝120°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
24．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．

【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC；
（2）由（1）知，用∠C和∠B表示出∠EAD，即可知2∠EAD与∠C﹣∠B的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°
∵AE是角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°
∵AD是高，∠C＝70°
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣20°＝20°；

（2）由（1）知，∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）①
把∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得
∠EAD＝∠C﹣∠B，
∴2∠EAD＝∠C﹣∠B．
【点评】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解．
25．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2．求BC和DC的长．

【分析】利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC＝6cm2，进而利用三角形面积得出CD的长，即可得出BC的长．
【解答】解：∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，
∴S△ADC＝6cm2，
∴×AE×CD＝6，
∴×3×CD＝6，
解得：CD＝4（cm），
∴BC＝2×4＝8（cm）．
【点评】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．
26．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，已知AB＝6，AD＝5，BC＝4，求CE的长．

【分析】根据△ABC的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴S△ABC＝BC?AD＝AB?CE，
即×4×5＝×6?CE，
解得CE＝．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟记面积公式并列出方程是解题的关键．
27．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；
再结合整数这一条件进行分析．
【解答】解：设第三根的长是xm．
根据三角形的三边关系，则3＜x＜13．
因为x是整数，因而第三根的长度是大于3m且小于13m的所有整数，共有9个数．
答：小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是4m，5m，6m，7m，8m，9m，10m，11m，12m．
【点评】本题就是利用三角形的三边关系定理解决实际问题．
28．若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0．
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|
＝b+c﹣a+c+a﹣b+c+a﹣b
＝3c+a﹣b．
【点评】注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用．