苏科版八年级数学下册 10.5 分式分式方程的应用同步练习解析版

分式方程的应用
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程( )
A. B. C. D.
2.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
3.“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为( )
A. B.
C. D.
4.两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的倍，并且比第二组早15分钟到达乙地设第二组的步行速度为x千米小时，根据题意可列方程是( )
A. B.
C. D.
5.某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多，结果提前2小时完成任务，设原计划每小时植树x棵，则列出的方程为( )
A. B.
C. D.
6.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米小时，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
8.某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米小时，下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9.西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为( )
A. B. C. D.
10.某中学制作了108件艺术品，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装5件艺术品，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用2个．设B型包装箱每个可以装x件艺术品，根据题意列方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：______．
12.已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了，结果比原来提前到达，这辆汽车原来的速度是_____．
13.一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2a，a次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物，乙车共运270吨．现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为______元．按每吨运费20元计算
14.从甲地到乙地有20站，并且任何相邻两站之间的距离相同．快车和慢车每小时从甲地各发一趟，快车整点发车，慢车发车时间晚半小时．快车每站车费5元，慢车每站车费2元，但快车的速度是慢车速度的2倍．快车从甲地到乙地共需2小时．上午九点半，一位只有70元钱的旅客在甲地乘车，若忽略车进出站上下乘客的时间，但旅客等车时间要计算在内，这位旅客从甲地到乙地所需的最短时间为______小时．
15.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．若设原计划每天施工x米，则可列方程为__________ ．
16.某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成这一任务．则实际每天铺设污水排放管道的长度为______
17.若干人乘坐若干辆汽车，如果每辆汽车坐22人，有1人不能上车；如果有一辆车不坐人，那么所有旅客正好能平分乘到其他各车上，则旅客共__________
18.现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3：5，则桶的容积为______ 升．
19.在一段坡路上，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度每小时千米，则他在这段路上上、下坡的平均速度是每小时_________．
20.甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x，则x的值是__________．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A、B两种学习用品的单价各是多少元？
(2)若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？







22.如图，中，，，点D在AC上，，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为．

(1)点Q的速度为____用含x的代数式表示．
(2)求点P原来的速度．







23.为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格 甲 乙
进价元双 m
售价元双 240 160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润利润售价进价不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？







24.绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润利润售价进价超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？








答案和解析
1.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了分式方程的应用．注意准确找到等量关系是关键．由设他上月买了x本笔记本，则这次买了本，然后可求得两次每本笔记本的价格，由等量关系：每本比上月便宜1元，即可得到方程．
【解答】
解：依题意得他上月买了x本笔记本，则这次买了本，
根据题意得：，
即：．
故选B．
2.【答案】A

【解析】解：设原计划平均每天生产x台机器，
根据题意得：，
故选：A．
根据题意可知现在每天生产台机器，而现在生产800台所需时间和原计划生产600台机器所用时间相等，从而列出方程即可．
此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
3.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程设小组原有x人，根据题意可得，出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，列方程即可．
【解答】
解：设小组原有x人，可得：．
故选B．
4.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程或方程组是关键．
根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间路程速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早15分钟小时到达乙地即可列出分式方程，由此即可得出结论．
【解答】
解：设第二组的步行速度为x千米小时，则第一组的步行速度为千米小时，
第一组到达乙地的时间为：；
第二组到达乙地的时间为：；
第一组比第二组早15分钟小时到达乙地，
列出方程为：．
故选：D．
5.【答案】B

【解析】解：设原计划每小时植树x棵，
依题意得：，
故选B．
设原计划每小时植树x棵，则实际劳动中每小时植树的数量是棵，根据“结果提前2小时完成任务”列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系列方程．
6.【答案】D

【解析】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了本，
根据题意得：．
故选：D．
由设第一次买了x本资料，则设第二次买了本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】
解：由题意可得，
，
故选：C．


8.【答案】B

【解析】解：原来走350千米所用的时间为，现在走350千米所用的时间为：，
所以可列方程为：，故选B．
等量关系为：原来走350千米所用的时间提速后走350千米所用的时间，根据等量关系列式．
找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．
9.【答案】B

【解析】解：由题意可得，
，
故选：B．
根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
10.【答案】B

【解析】【分析】
此题考查分式方程的问题，关键是根据所用B型包装箱的数量所用A型包装箱的数量的等量关系解答．关键描述语：每个B型包装箱比A型包装箱多装5件艺术品，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用2个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量所用A型包装箱的数量，由此可得到所求的方程．
【解答】
解：根据题意，得：，
故选B．
11.【答案】

【解析】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设米，由题意得：．
故答案是：．
设甲每天铺设x米，则乙每天铺设米，根据铺设时间和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
12.【答案】80

【解析】【分析】
本题考查分式方程的应用，分析题意，掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度；工作量问题：工作效率等等是解决问题的关键．设这辆汽车原来的速度是，由题意列出分式方程，解方程求出x的值即可．
【解答】
解：设这辆汽车原来的速度是，由题意列方程得：
，
解得：
经检验，是原方程的解，
所以这辆汽车原来的速度是．
故答案为：80．
13.【答案】2160

【解析】解：设甲一次运x吨，乙一次运y吨，丙一次运z吨，
，
解得，，
这批货物一共有：，
甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为：元，
故答案为：2160．
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得x、y、z之间的关系，进而求得甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费，本题得以解决．
本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分式方程的知识解答．
14.【答案】3

【解析】解：从甲地到乙地有20站，快车共需2小时，
快车从上一站点到下一站点的时间为，
又快车的速度是慢车速度的2倍；
从甲地到乙地有20站，慢车共需4小时，
慢车从上一站点到下一站点的时间为．
由题意可知：
当9：30旅客坐上慢车后，与第1辆10：00钟发出的快车相遇于第x个站点，则有：
，
解得：；
此刻10：00发出的快车行了小时，慢车行了1个小时；
即相遇时刻为10：30分．
当10：30旅客坐慢车继续前行，需过小时，快车将在11：00发出追及慢车相遇于
第y个站点，则有：
，
解得：，
此刻11：00发出的快车行了1小时，慢车行了2个小时；
即相遇时刻为12：00分．
当12：00旅客坐慢车继续前行，此刻甲地快车发出追及慢车相遇于第z个站点，则有：
，
解得：，
此刻相遇刚好在终点．
由上可知：
旅客要从慢车坐上快车在第和第次相遇时坐上快车节省时间．
Ⅰ第种情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：
小时；
又快车每站车费5元，慢车每站车费2元，
此种方式的总费用：元，
又旅客只有70元钱，
，
即此时相遇后坐快车钱不够，不合题意舍去．
Ⅱ第情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：
小时．
此种方式的总费用：元
即此种情况节约时间，旅客所带的钱够花．
故答案为3．
从甲地到乙地，快车整点出发，慢车晚半个小时，旅客9：30分上车必须坐慢车，从10：00点钟后整点发车可以看一个追及相遇问题，计算出慢车与后面不同整点发出的快车相遇的站点，方可上快车才能节省时间，同时还考虑旅客只带70元钱够车费，方能到达终点的时间最短．
本题考查了行程中追及相遇问题，综合了方程和分类思想，难点是找相遇站点和怎样搭配坐快慢车钱够时间短．
15.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程，设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设米，
根据：原计划所用时间实际所用时间，列出方程即可．
【解答】
解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工米，
可列式：．
故答案为．
16.【答案】50

【解析】解：设实际每天铺设污水排放管道的长度为xm，则计划每天铺设污水排放管道的长度为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：50．
设实际每天铺设污水排放管道的长度为xm，则计划每天铺设污水排放管道的长度为，根据时间工作总量工作效率结合提前15天完成，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，根据时间工作总量工作效率结合提前15天完成列出关于x的分式方程是解题的关键．
17.【答案】45或529

【解析】解：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．依题意有
．
所以，
因为n为自然数，所以为整数，因此
，或，
即或．
当时，，人；
当时，，人．
故答案为：45或529．
设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人，依题意有然后确定m、n的值，进而可得答案．
本题考查分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，讨论出未知数的值．
18.【答案】40

【解析】解：设桶的容积为x升，

或舍去．
经检验是方程的解．
故桶的容积为40升．
设桶的容积为x升，根据设桶的容积为X升，倒出20升农药后用水补满，浓度为，第二次倒出的10升中含农药，可计算出共倒出多少农药，根据这时，桶中纯农药与水的体积之比为3：5，纯农药占容积的，可列方程求解．
本题考查理解题意的能力，关键将剩下农药的和容积的比值做为等量关系列方程求解．
19.【答案】千米

【解析】【分析】
本题考查分式方程的应用，关键是知道平均速度的求法，应该是总路程除以总时间，可求解，根据等量关系：平均速度，可设坡路长是S，根据路程和速度可求出时间，可求解．
【解答】
解：设坡路长是S千米．
千米．
故答案为千米．
20.【答案】6

【解析】【分析】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
本题应用的公式有：工作总量工作时间工效．
弄清此题中每个人的工作时间是解决此题的关键．
根据题意，得到甲、乙的工效都是根据结果提前两天完成任务，知：整个过程中，甲做了天，乙做了天．再根据甲、乙做的工作量等于1，列方程求解．
【解答】
解：根据题意，得，
解得，
经检验是原分式方程的解．
故答案是6．

21.【答案】解：设A型学习用品单价x元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
．
答：A型学习用品20元，B型学习用品30元；
设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品件，由题意，得：
，
解得：．
答：最多购买B型学习用品800件．

【解析】本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程的关键．
设A型学习用品单价x元，利用“用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．
22.【答案】解：；
，
，
在B点处首次相遇后，点P的运动速度为，
由题意得，
解得：，
答：点P原来的速度为．

【解析】【分析】
本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键；设点Q的速度为，根据题意列方程即可得到结论；根据勾股定理得到，求得，列方程即可得到结论．
【解答】
解：设点Q的速度为，
由题意得，
，
故答案为；
见答案．
23.【答案】解：依题意得，，
整理得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，；

设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双，
根据题意得，，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以，不等式组的解集是，
是正整数，，
共有11种方案；

设总利润为W，则，
当时，，W随x的增大而增大，
所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
当时，，，中所有方案获利都一样；
当时，，W随x的增大而减小，
所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．

【解析】用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，要根据一次项系数的情况分情况讨论．
24.【答案】解：设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件元，
由题意得，，解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
故乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶件，
由题意得，
解得．
为整数，
或25，
共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．

【解析】设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件元，由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；
设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶件，根据题意列出关于y的不等式组，求出y的整数解即可得出结论．
本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

第2页，共2页
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