【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练
专题01 规律探索问题
规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。规律探索问题是中考命题的热点之一，在全国各地的中考试卷中经常以选择、填空或解题过程题的形式出现。 常见类型有：
（1）数与式规律问题：数与式规律问题涉及数的变化规律和式的变化规律。数的变化规律问题是按一定规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题；式的变化规律问题通常给定一些代数式，等式或不等式，猜想其中蕴含的规律。
（2）图形变化规律问题：图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律。主要是观察图形变化过程中的特点，思路点拨其联系和区别，用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律。
（3）坐标变化规律问题：坐标变化规律问题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题时解题过程问题的关键。
规律探索问题对考生的观察思路点拨能力要求较高，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找共同之处，即存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等，都能用到。
考向一 数与式规律问题
例1．（2019年山东省德州市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
【思路点拨】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【解题过程】∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故选：A．
【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．.com
考向二 图形变化规律问题
例2．（2019年广东省）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.
【思路点拨】观察可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，由此可得用9个拼接时的总长度为9a-8(a-b)，由此即可得.
【解题过程】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，
…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8b.
【名师点睛】本题考查了规律题——图形的变化类，通过推导得出总长度与个数间的规律是解题的关键.
考向三 坐标变化规律问题
例3．（2017?温州）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【思路点拨】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
【解题过程】点运动一个用时为÷π＝2秒．
如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝×2＝1，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1，
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0，
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1，
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0，
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1，
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
【名师点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
选择题
（2019年贵州省毕节市）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是( )
A．上方 B．右方 C．下方 D．左方
（2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1
（2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年湖北省武汉市）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
（2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
（2019年山东省菏泽市）平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（ ）
A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
（2019年湖南省株洲市）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MK＝{ak，bk}（其中k＝1，2…S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，则S的最大值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
填空题
（2019年广西百色市）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是 ．
（2019年贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）已知一列数，按照这个规律写下去，第9个数是__________．
（2019年湖北省黄石市）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 ．
（2019年湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
（2019年广西河池市）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是 ．
（2019年山东省滨州市（a卷））观察下列一组数：
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝ （用含n的式子表示）
、解答题（本大题共3小题，共0分）
（2019年江苏省徐州市）【阅读理解】
用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：
【尝试操作】
如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度
10cm
20cm
30cm
40cm
50cm
60cm
所有不同图案的个数
1
2
3
（2019年山东省青岛市）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
探究二：
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到 个图⑦这样的几何体．
（2019年湖南省张家界市）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为 ，第5项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（ ）d．
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练
专题01 规律探索问题
规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。规律探索问题是中考命题的热点之一，在全国各地的中考试卷中经常以选择、填空或解题过程题的形式出现。 常见类型有：
（1）数与式规律问题：数与式规律问题涉及数的变化规律和式的变化规律。数的变化规律问题是按一定规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题；式的变化规律问题通常给定一些代数式，等式或不等式，猜想其中蕴含的规律。
（2）图形变化规律问题：图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律。主要是观察图形变化过程中的特点，思路点拨其联系和区别，用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律。
（3）坐标变化规律问题：坐标变化规律问题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题时解题过程问题的关键。
规律探索问题对考生的观察思路点拨能力要求较高，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找共同之处，即存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等，都能用到。
考向一 数与式规律问题
例1．（2019年山东省德州市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
【思路点拨】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【解题过程】∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故选：A．
【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．.com
考向二 图形变化规律问题
例2．（2019年广东省）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.
【思路点拨】观察可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，由此可得用9个拼接时的总长度为9a-8(a-b)，由此即可得.
【解题过程】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，
…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8b.
【名师点睛】本题考查了规律题——图形的变化类，通过推导得出总长度与个数间的规律是解题的关键.
考向三 坐标变化规律问题
例3．（2017?温州）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【思路点拨】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
【解题过程】点运动一个用时为÷π＝2秒．
如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝×2＝1，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1，
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0，
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1，
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0，
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1，
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
【名师点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
选择题
（2019年贵州省毕节市）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是( )
A．上方 B．右方 C．下方 D．左方
【考点】规律型—图形的变化类
【分析】直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案.
解：如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，
则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方，
故选C.
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，观察出图形的变化规律是解题的关键.
（2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1
【考点】规律题-数字的变化类
【分析】观察可知奇数项为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1，由此即可得.
解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，
指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，
∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1 ，
故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，正确分析出哪些不变，哪些变，是按什么规律发生变化的是解题的关键.
（2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．
解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，
符合此要求的只有
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．
（2019年湖北省武汉市）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【考点】列代数式，规律型：数字的变化类
【分析】由等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．
解：∵2+22＝23﹣2，
2+22+23＝24﹣2，
2+22+23+24＝25﹣2，
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝（250）2?2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．
（2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为时n的值，本题得意解决．
解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
（2019年山东省菏泽市）平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（ ）
A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
【考点】规律型：点的坐标
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．
解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4＝504…3，
所以A2019的坐标为（504×2+1，0），
则A2019的坐标是（1009，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
（2019年湖南省株洲市）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MK＝{ak，bk}（其中k＝1，2…S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，则S的最大值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】找出ai+bi的值，结合对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，即可得出S的最大值．
解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，
∴ai+bi共有5个不同的值．
又∵对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，
∴S的最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找出ai+bi共有几个不同的值是解题的关键．
填空题
（2019年广西百色市）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据数列中的已知数得出这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，据此求解可得．
解：由题意知，这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，
当n＝21时，3n﹣6＝3×21﹣6＝57，
故答案为：57．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出数列的变化规律：每次增加3．
（2019年贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)
【考点】探索规律
【分析】根据题意写出前四项的数据，第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，进行观察，据此规律判断即可．
解：第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
…，
所以这列数中的第n个数是.
故答案为.
【点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）已知一列数，按照这个规律写下去，第9个数是__________．
【考点】数字的变化规律
【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
解：由题意知从第3个数开始，每个数均为前两个数的和,则第7个数是，第8个数是，第9个数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．
（2019年湖北省黄石市）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
故答案为：625．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n﹣1）．
（2019年湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，
则（﹣2）n﹣1?（﹣2）n?（﹣2）n+1＝412，
即（﹣2）3n＝（22）12，
∴（﹣2）3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，
故答案为：﹣384．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
（2019年广西河池市）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】由任意三个相邻数之和都是15，可知a1、a4、a7、…a3n+1相等，a2、a5、a8、…a3n+2相等，a3、a6、a9、…a3n相等，可以得出a5＝a2＝5，根据a1+a2+a3＝15得4+5+a3＝15，求得a3，进而按循环规律求得结果．
解：由任意三个相邻数之和都是15可知：
a1+a2+a3＝15，
a2+a3+a4＝15，
a3+a4+a5＝15，
…
an+an+1+an+2＝15，
可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，
a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2，
a3＝a6＝a9＝…＝a3n，
所以a5＝a2＝5，
则4+5+a3＝15，
解得a3＝6，
∵2019÷3＝673，
因此a2019＝a3＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．
（2019年山东省滨州市（a卷））观察下列一组数：
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝ （用含n的式子表示）
【考点】列代数式，规律型：数字的变化类
【分析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，即可求解，
解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，
∴an＝＝，
故答案为，
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
、解答题（本大题共3小题，共0分）
（2019年江苏省徐州市）【阅读理解】
用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：
【尝试操作】
如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度
10cm
20cm
30cm
40cm
50cm
60cm
所有不同图案的个数
1
2
3
【考点】作图—应用与设计作图
【分析】根据已知条件作图可知40cm时，所有图案个数5个，猜想得到结论，
解：如图
根据作图可知40cm时，所有图案个数5个，
50cm时，所有图案个数8个，
60cm时，所有图案个数13个，
故答案为5，8，13，
【点评】本题考查应用与设计作图，规律探究，能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．
（2019年山东省青岛市）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
探究二：
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到 个图⑦这样的几何体．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
解：探究三：
根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，
根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法，
故答案为a﹣1，4a﹣4，
探究四：
与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，
同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，
所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，
根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．
故答案为2a﹣2，8a﹣8，
问题解决：
在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，
依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法，
问题拓展：
发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，
这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，
所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，
再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，
所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体，
故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
（2019年湖南省张家界市）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为 ，第5项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（ ）d．
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据公差定义进行计算得d，再推算第5项便可,
（2）由a2＝a1+d，a3＝a1+2d，a4＝a1+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：an＝a1+（n﹣1）d．
（3）先根据样例求出通项公式，再将﹣4041代入通项公式求出n，若n为正整数就可以断定﹣4041是此等差数列的某一项，反之则不是．
解：（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5,
∵a3＝15，
a4＝a3+d＝15+5＝20，
a5＝a4+d＝20+5＝25，
故答案为：5,25．
（2）∵a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
∴an＝a1+（n﹣1）d
故答案为：n﹣1．
（3）根据题意得，
等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2（n﹣1），
则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，
解之得：n＝2019
∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．
【点评】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．
