2020年冀教新版七年级数学下册《第11章 因式分解》单元测试卷
一.选择题(共12小题)
1.下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为( )
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2﹣4x+4=x(x﹣4)+4
C.x2﹣16+3x=(x+4)(x﹣4)+3x
D.10x2﹣5x=5x(2x﹣1)
2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.12a2b=3a?4ab B.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9
C.ax﹣ay=a(x﹣y) D.4x2+8x﹣1=4x(x+2)﹣1
3.若x2﹣4x+3与x2+2x﹣3的公因式为x﹣c,则c之值为何?( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
4.下列各组代数式中没有公因式的是( )
A.4a2bc与8abc2 B.a3b2+1与a2b3﹣1
C.b(a﹣2b)2与a(2b﹣a)2 D.x+1与x2﹣1
5.下列多项式应提取公因式5a2b的是( )
A.15a2b﹣20a2b2 B.30a2b3﹣15ab4﹣10a3b2
C.10a2b﹣20a2b3+50a4b D.5a2b4﹣10a3b3+15a4b2
6.(3x+2)(﹣x6+3x5)+(3x+2)(﹣2x6+x5)+(x+1)(3x6﹣4x5)与下列哪一个式子相同?( )
A.(3x6﹣4x5)(2x+1) B.(3x6﹣4x5)(2x+3)
C.﹣(3x6﹣4x5)(2x+1) D.﹣(3x6﹣4x5)(2x+3)
7.下列多项式中,不能运用公式进行分解因式的是( )
A.a2+b2 B.x2﹣9 C.m2﹣n2 D.x2+2xy+y2
8.将下列多项式分解因式,结果中不含因式x﹣1的是( )
A.x2﹣1 B.x2+2x+1
C.x2﹣2x+1 D.x(x﹣2)﹣(x﹣2)
9.下列分解因式正确的是( )
A.﹣x2+4x=﹣x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y)
C.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2 D.x2﹣4x+4=(x+2)(x﹣2)
10.下列因式分解正确的是( )
A.15x2﹣12xz=3xz(5x﹣4) B.x2﹣2xy+4y2=(x﹣2y)2
C.x2﹣xy+x=x(x﹣y) D.x2+4x+4=(x+2)2
11.下列因式分解中,错误的是( )
A.1﹣9x2=(1+3x)(1﹣3x)
B.a2﹣a+=
C.﹣mx+my=﹣m(x+y)
D.ax﹣ay﹣bx+by=(x﹣y)(a﹣b)
12.把ab﹣a﹣b+1分解因式的结果为( )
A.(a+1)(b+1) B.(a+1)(b﹣1) C.(a﹣1)(b﹣1) D.(a﹣1)(b+1)
二.填空题(共8小题)
13.若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b= .
14.多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式是 .
15.因式分解:a2﹣a= .
16.分解因式:a2﹣16= .
17.分解因式:a2b﹣4ab2+4b3= .
18.分解因式:x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy= .
19.分解因式:(x+2)(x+4)+x2﹣4= .
20.在实数范围内分解因式:3x2﹣6x+1= .
三.解答题(共8小题)
21.仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),得
x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴.
解得:n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21
问题:仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.
22.给出三个多项式:a2+3ab﹣2b2,b2﹣3ab,ab+6b2,任请选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.
23.分解因式:(x﹣y)2+4xy.
24.因式分解:
(1)3x2y﹣18xy2+27y3
(2)x2(x﹣2)+(2﹣x)
25.分解因式:a2﹣2ab+b2﹣c2.
26.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
27.在实数范围内分解因式:x4﹣4.
28.不解方程组,求代数式7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3的值.
2020年冀教新版七年级数学下册《第11章 因式分解》单元测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为( )
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2﹣4x+4=x(x﹣4)+4
C.x2﹣16+3x=(x+4)(x﹣4)+3x
D.10x2﹣5x=5x(2x﹣1)
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式,利用排除法求解.
【解答】解:A、是多项式乘法,不是分解因式,故本选项错误;
B、右边不是积的形式,不是分解因式,故本选项错误;
C、右边不是积的形式,故本选项错误;
D、右边是积的形式,故本选项正确.
故选:D.
【点评】此题考查了因式分解的意义;这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断.
2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.12a2b=3a?4ab B.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9
C.ax﹣ay=a(x﹣y) D.4x2+8x﹣1=4x(x+2)﹣1
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义,利用排除法求解.
【解答】解:A、不多项式变形,因而不是因式分解,错误;
B、是多项式乘法,不是因式分解,错误;
C、是提公因式法,正确;
D、右边不是积的形式,错误;
故选:C.
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断.
3.若x2﹣4x+3与x2+2x﹣3的公因式为x﹣c,则c之值为何?( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
【分析】首先将原式分解因式,进而得出其公因式即可.
【解答】解:∵x2﹣4x+3=(x﹣1)(x﹣3)
与x2+2x﹣3=(x﹣1)(x+3),
∴公因式为x﹣c=x﹣1,
故c=1.
故选:C.
【点评】此题主要考查了分解因式的应用,正确分解因式是解题关键.
4.下列各组代数式中没有公因式的是( )
A.4a2bc与8abc2 B.a3b2+1与a2b3﹣1
C.b(a﹣2b)2与a(2b﹣a)2 D.x+1与x2﹣1
【分析】分别分析各选项中的代数式,能因式分解的先进行因式分解,再确定没有公因式的选项即可.
【解答】解:A、4a2bc与8abc2有公因式,为4abc;
B、a3b2+1与a2b3﹣1无公因式;
C、b(a﹣2b)2与a(2b﹣a)2有公因式,为(a﹣2b)2;
D、x+1与x2﹣1,因为后一项可分解为(x+1)(x﹣1),所以两项有公因式,为x+1.
故选:B.
【点评】本题主要考查公因式的确定,互为相反数的两数的平方相等的性质,只要仔细计算,比较容易得解.
5.下列多项式应提取公因式5a2b的是( )
A.15a2b﹣20a2b2 B.30a2b3﹣15ab4﹣10a3b2
C.10a2b﹣20a2b3+50a4b D.5a2b4﹣10a3b3+15a4b2
【分析】根据公因式的确定方法得到各选项中的公因式,然后利用排除法求解.
【解答】解:A、公因式为5a2b,故本选项正确;
B、公因式为5ab2,故本选项错误;
C、公因式为10a2b,故本选项错误;
D、公因式为5a2b2,故本选项错误.
故选:A.
【点评】本题考查了提公因式法分解因式,主要是公因式的确定,系数的最大公约数作为公因式的系数,同底数幂的最低指数次幂作为公因式的因式.
6.(3x+2)(﹣x6+3x5)+(3x+2)(﹣2x6+x5)+(x+1)(3x6﹣4x5)与下列哪一个式子相同?( )
A.(3x6﹣4x5)(2x+1) B.(3x6﹣4x5)(2x+3)
C.﹣(3x6﹣4x5)(2x+1) D.﹣(3x6﹣4x5)(2x+3)
【分析】首先把前两项提取公因式(3x+2),再进一步提取公因式﹣(3x6﹣4x5)即可.
【解答】解:原式=(3x+2)(﹣x6+3x5﹣2x6+x5)+(x+1)(3x6﹣4x5)
=(3x+2)(﹣3x6+4x5)+(x+1)(3x6﹣4x5)
=﹣(3x6﹣4x5)(3x+2﹣x﹣1)
=﹣(3x6﹣4x5)(2x+1).
故选:C.
【点评】此题主要考查了因式分解,关键是正确找出公因式,进行分解.
7.下列多项式中,不能运用公式进行分解因式的是( )
A.a2+b2 B.x2﹣9 C.m2﹣n2 D.x2+2xy+y2
【分析】利用平方差公式及完全平方公式判断即可.
【解答】解:A、原式不能运用公式分解,错误;
B、原式=(x+3)(x﹣3);
C、原式=(m+n)(m﹣n);
D、原式=(x+y)2,
故选:A.
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.
8.将下列多项式分解因式,结果中不含因式x﹣1的是( )
A.x2﹣1 B.x2+2x+1
C.x2﹣2x+1 D.x(x﹣2)﹣(x﹣2)
【分析】原式各项分解后,即可做出判断.
【解答】解:A、原式=(x+1)(x﹣1),含因式x﹣1,不合题意;
B、原式=(x+1)2,不含因式x﹣1,符合题意;
C、原式=(x﹣1)2,含因式x﹣1,不合题意;
D、原式=(x﹣2)(x﹣1),含因式x﹣1,不合题意,
故选:B.
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,以及提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
9.下列分解因式正确的是( )
A.﹣x2+4x=﹣x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y)
C.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2 D.x2﹣4x+4=(x+2)(x﹣2)
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案.
【解答】解:A、﹣x2+4x=﹣x(x﹣4),故此选项错误;
B、x2+xy+x=x(x+y+1),故此选项错误;
C、x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2,故此选项正确;
D、x2﹣4x+4=(x﹣2)2,故此选项错误;
故选:C.
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
10.下列因式分解正确的是( )
A.15x2﹣12xz=3xz(5x﹣4) B.x2﹣2xy+4y2=(x﹣2y)2
C.x2﹣xy+x=x(x﹣y) D.x2+4x+4=(x+2)2
【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式,从而可判断求解.
【解答】解:A、15x2﹣12xz=3x(5x﹣4z),故错误;
B、x2﹣2xy+4y2不能分解,故错误;
C、x2﹣xy+x=x(x﹣y+1),故错误;
D、符合完全平方公式,正确.
故选:D.
【点评】本题考查了多项式的因式分解,熟练掌握因式分解的各种方法,熟记公式是解题的关键.
11.下列因式分解中,错误的是( )
A.1﹣9x2=(1+3x)(1﹣3x)
B.a2﹣a+=
C.﹣mx+my=﹣m(x+y)
D.ax﹣ay﹣bx+by=(x﹣y)(a﹣b)
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此,要确定从左到右的变形中是否为分解因式,只需根据定义来确定.
【解答】解:﹣mx+my=﹣m(x﹣y)所以C错了.
A、B、D正确.
故选:C.
【点评】本题考查因式分解的定义,公式法分解因式,分组分解法分解因式,要注意符号的变化.
12.把ab﹣a﹣b+1分解因式的结果为( )
A.(a+1)(b+1) B.(a+1)(b﹣1) C.(a﹣1)(b﹣1) D.(a﹣1)(b+1)
【分析】当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题可采用两两分组的方法,一、三,二、四或一、二,三、四分组均可,然后再用提取公因式法进行二次分解.
【解答】解:ab﹣a﹣b+1,
=(ab﹣a)﹣(b﹣1),
=a(b﹣1)﹣(b﹣1),
=(b﹣1)(a﹣1).
故选:C.
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.在实际计算过程中,应针对不同的题型选用合理的分组方法.
二.填空题(共8小题)
13.若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b= 21 .
【分析】由多项式有两个因式为x+1与x+2,得到x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解,将两解代入得到关于a与b的方程组,求出方程组的解得到a与b的值,即可求出a+b的值.
【解答】解:由题意得到:x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解,
代入方程得:,即,
②﹣①得:a=7,
将a=7代入①得:b=14,
则a+b=7+14=21.
故答案为:21.
【点评】此题考查了因式分解的意义,根据题意得出x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解是解本题的关键.
14.多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式是 x﹣1 .
【分析】第一个多项式提取a后,利用平方差公式分解,第二个多项式利用完全平方公式分解,找出公因式即可.
【解答】解:多项式ax2﹣a=a(x+1)(x﹣1),多项式x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
则两多项式的公因式为x﹣1.
故答案为:x﹣1.
【点评】此题考查了公因式,将两多项式分解因式是找公因式的关键.
15.因式分解:a2﹣a= a(a﹣1) .
【分析】直接提取公因式a,进而分解因式得出即可.
【解答】解:a2﹣a=a(a﹣1).
故答案为:a(a﹣1).
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
16.分解因式:a2﹣16= (a+4)(a﹣4) .
【分析】利用平方差公式a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)进行分解.
【解答】解:a2﹣16=(a+4)(a﹣4),
故答案为:(a+4)(a﹣4).
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用平方差公式是解题关键.
17.分解因式:a2b﹣4ab2+4b3= b(a﹣2b)2 .
【分析】根据提公因式法,完全平方公式,可得答案.
【解答】解:原式=b(a2﹣4ab+4b2)
=b(a﹣2b)2,
故答案为:b(a﹣2b)2.
【点评】本题考查了因式分解,利用提公因式法与完全平方公式是解题关键.
18.分解因式:x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy= (x﹣2y)(x+y﹣2) .
【分析】把x2﹣xy﹣2y2三项分为一组,可用十字相乘法继续分解,﹣2x+4y分为一组,可提公因式,再进一步分解即可.
【解答】解:原式=(x2﹣xy﹣2y2)+(﹣2x+4y),
=(x﹣2y)(x+y)﹣2(x﹣2y),
=(x﹣2y)(x+y﹣2).
故答案为:(x﹣2y)(x+y﹣2).
【点评】此题主要考查分组分解法分解因式,综合利用了十字相乘法和提公因式法分解因式.
19.分解因式:(x+2)(x+4)+x2﹣4= 2(x+2)(x+1) .
【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算,然后再利用十字相乘法分解因式.
【解答】解:(x十2)(x+4)十x2﹣4,
=x2十6x+8十x2﹣4,
=2x2+6x+4,
=2(x2+3x+2),
=2(x+2)(x+1).
【点评】本题考查提公因式法分解因式,十字相乘法分解因式,利用多项式乘多项式的法则展开整理出一般多项式是求解的关键.
20.在实数范围内分解因式:3x2﹣6x+1= 3(x﹣)(x﹣) .
【分析】先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差,再用平方差公式分解因式.
【解答】解:3x2﹣6x+1
=3(x2﹣2x+)
=3[(x﹣1)2﹣]
=3(x﹣1+)(x﹣1﹣)
=3(x﹣)(x﹣).
故答案为3(x﹣)(x﹣).
【点评】本题主要考查实数范围内分解因式,其中涉及完全平方公式和平方差公式.
三.解答题(共8小题)
21.仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),得
x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴.
解得:n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21
问题:仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系,两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1,因式是(x+3)的一次项系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2,因式是(2x﹣5)的一次项系数是2,则另一个因式的一次项系数一定是1,利用待定系数法,就可以求出另一个因式.
【解答】解:设另一个因式为(x+a),得(1分)
2x2+3x﹣k=(2x﹣5)(x+a)(2分)
则2x2+3x﹣k=2x2+(2a﹣5)x﹣5a(4分)
∴(6分)
解得:a=4,k=20(8分)
故另一个因式为(x+4),k的值为20(9分)
【点评】正确读懂例题,理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.
22.给出三个多项式:a2+3ab﹣2b2,b2﹣3ab,ab+6b2,任请选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.
【分析】根据平方差公式,可得答案.
【解答】解:(a2+3ab﹣2b2)+(b2﹣3ab)
=a2+3ab﹣2b2+b2﹣3ab
=a2﹣b2
=(a+b)(a﹣b).
【点评】本题考查了因式分解,利用平方差公式是解题关键.
23.分解因式:(x﹣y)2+4xy.
【分析】首先利用整式的乘法计算出(x﹣y)2,再合并同类项以后可以直接利用完全平方公式进行分解.
【解答】解:原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,关键是通过观察,掌握解题方法.
24.因式分解:
(1)3x2y﹣18xy2+27y3
(2)x2(x﹣2)+(2﹣x)
【分析】(1)直接提取公因式3y,进而运用完全平方公式分解因式得出答案;
(2)直接提取公因式(x﹣2),进而运用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:(1)3x2y﹣18xy2+27y3
=3y(x2﹣6xy+9y2)
=3y(x﹣3y)2;
(2)x2(x﹣2)+(2﹣x)
=(x﹣2)(x2﹣1)
=(x﹣2)(x+1)(x﹣1).
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确运用公式是解题关键.
25.分解因式:a2﹣2ab+b2﹣c2.
【分析】当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.将a2﹣2ab+b2作为一组,先用完全平方公式,再用平方差公式解答.
【解答】解:a2﹣2ab+b2﹣c2,
=a2﹣2ab+b2﹣c2,
=(a2﹣2ab+b2)﹣c2,
=(a﹣b)2﹣c2,
=(a﹣b﹣c)(a﹣b+c).
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.本题前三项完全符合完全平方公式,应考虑前三项为一组.
26.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知:a是﹣6的两个因数的和,则﹣6可分成3×(﹣2),﹣3×2,6×(﹣1),﹣6×1,共4种,所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况.
【解答】解:x2+x﹣6=(x+3)(x﹣2);
x2﹣x﹣6=(x﹣3)(x+2);
x2+5x﹣6=(x+6)(x﹣1);
x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
【点评】本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,常数﹣6的不同分解是本题的难点.
27.在实数范围内分解因式:x4﹣4.
【分析】实数包括有理数和无理数,先运用平方差公式得出(x2+2)(x2﹣2),后一个括号还能运用平方差公式进行分解.
【解答】解:原式=(x2+2)(x2﹣2),
=(x2+2)(x+)(x﹣).
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式,熟练掌握平方差公式a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
28.不解方程组,求代数式7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3的值.
【分析】将原式分解因式,产生x﹣3y与2x+y,再整体代入,计算简便.
【解答】解:7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3=(x﹣3y)2[7y+2(x﹣3y)]
=(x﹣3y)2(7y+2x﹣6y)=(x﹣3y)2(2x+y).
把代入原式得
原式=12×6=6.
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.