金牌讲案系列：2.1函数的概念与表示 学案

中小学教育资源及组卷应用平台


2.1函数的概念与表示
一、知识与能力目标
1、理解函数的概念
2、理解函数与映射的联系与区别
3、掌握函数定义域的求法
4、掌握函数解析式的求法
5、掌握函数值域的求法
6、理解分段函数的意义

二、主要知识
1、映射：设A、B是两个非空集合，如果按照某种映射法则，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作
2、函数：设A、B是两个非空数集，如果按照某种映射法则，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做从集合A到集合B的函数，记作
集合A叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。
（1）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域
（2）映射与函数的区别：函数要求构成的集合都必须是数集，而映射只要是集合即可，可以把函数看成是一种特殊的映射，看成是建立在数集上的一种映射。
（3）函数相等的判定：（1）定义域相同 （2）对应法则一样

3、函数定义域的求法：函数的定义域，就是使函数有意义的自变量的取值的集合。求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于等于零，零的零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
注：如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。

4、函数值域的求法

（1）配方法
（2）单调性法
（3）换元法
（4）判别式法
（5）反解法
（6）不等式法
（7）构造法
5、分段函数：
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；

三 、典型例题

题型一：函数概念与求值
例1．已知映射，其中集合，集合中的元素都是
中元素在映射下的象，且对任意的，在中和它对应的元素是，则集合中元素的个数是 （ A ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

例2．下列各对函数中，相同的是 （ D ）


【随堂练习1】若函数的定义域为，值域为
，则函数的图象可能是（ ）



2 2 2 2


-2 -2 2 -2 2 -2 2
A B C D
题型二：分段函数问题
例3．已知函数，若，求的值
..w解：由， 无解，故的值为.
例4．已知函数，若，求的取值范围。
解：当时，有，即，得：
，
当时，有，即，得
所以的取值范围为：
例5．
解：

【随堂练习2】定义在上的函数满足，且
，求的值
【随堂练习3】已知函数，求不等式的解集
题型四：函数的定义域
例6.求函数的定义域
解：由，得函数的定义域为：
例7．求函数的定义域。
解：由，故函数的定义域为：
例8．求函数的定义域
解：由
所以，函数的定义域为：
例9．已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。
解：令，得，即，因此
从而，故函数的定义域是。
例10．已知函数的定义域为，求实数的取值范围。
解：（1）当时，函数的定义域为
（2）当时，是二次不等式，有
综上可知。

【随堂练习4】函数的定义域为（ ）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
【随堂练习5】求函数的定义域.
【随堂练习6】已知的定义域为［1，2］，求的定义域.

题型五：函数的解析式

例11．（1），求
（2）已知，求；
（3）已知，求
（4）已知是一次函数，且满足，求；
（5）已知，求.
（6）已知满足，求．
解：（1），所以
（2） ∴（或）．
（3）令 ，

∴
（4）设，
则

∴，，∴．
（5）………………①
把①中的换成得：………………②
由①②解得：．
（6） ①，把①中的换成，得 ②，
①②得，∴．
【随堂练习7】已知，求的解析式

题型六：函数的值域

例12．求下列函数的值域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
(7) （8）
解：（1），
∴的值域为．
（2）分离变量法：，
∵，∴，
∴函数的值域为．
（3）代数换元法：设，则，
∴原函数可化为
∴，∴原函数值域为．
（4）三角换元法：∵，∴设，
则


∵，∴，
∴
∴，
∴原函数的值域为．
（5）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．
由得： ①
①当即时，①即，∴
②当即时，∵时方程恒有实根，
∴，∴且，
∴原函数的值域为．
（6），
∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．
∴，∴原函数的值域为．
(7)

其几何意义为：点到与点的距离和。即到的距离为最小值，，所以函数的值域为：。

（8）
其几何意义为：点与点所确定的直线的斜率的取值范围。
设直线的斜率为，则直线的方程为：，代入得：
由，得：
所以函数的值域为：


【随堂练习8】；
【随堂练习9】


四、课后练习

一、选择题
1．若能构成映射，下列说法正确的有（ ）
（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；
（2）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；
（3）B中的元素可以在A中无原像；
（4）像的集合就是集合B.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．设集合，，从到的对应法则不是映射的是
（　　）
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
3．在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）
A． B． C． D．
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“函数”有（ ）
A．4个 B．8个 C．9个 D．12个
5．已知函数（　 ）
A．-18 B．6 C．-10 D．10
6．若的定义域是，则函数的定义域是（　 ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．函数的定义域为
8．函数的定义域是
9．设函数，则＝_______________________.
10．设函数f（x）＝ ，则
11．若函数 则不等式的解集为____________.
12．如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______
13．已知，则___________.
14．若是一次函数，且，则
15．函数对于任意实数满足条件，若则__________.
4、已知函数，分别由下表给出
1 2 3
1 3 1

1 2 3
3 2 1

则的值为 ；满足的的值是 ．

三、解答题
17．画出下列函数的图象、
（1）y＝－2，且；
（2）y＝－2＋3x，；
（3）y＝x｜2－x｜；
（4）

18．设函数的定义域为，当时，求的定义域.



19．求函数的定义域.




五、参考答案

【随堂练习答案】
【随堂练习1】B
【随堂练习2】
【随堂练习3】
【随堂练习4】D
【解析】由得或,故选D.
【随堂练习5】
【随堂练习6】
【解析】因为
即函数的定义域是。
【随堂练习7】
【随堂练习8】(－∞,1.
【解析】令()，则x=．
∴ ，当时，
∴所给函数的值域为(－∞,1.
【随堂练习9】
【解析】由已知得：…………（*）
①当时，，代入（*）式，不成立，∴．
②当时，则：

∴ 所给函数的值域为．

【课后练习答案】
一、选择题
1．C 2．A 3．A 4．C 5．B 6．B
二、填空题
7．
8.
9．8
10．4或-
11.
【解析】（1）由.
（2）由.
∴不等式的解集为，∴应填.
12．V＝
13．
14．
15．
【解析】由得，所以
则
16．；
【解析】=；
当时，，不满足条件，
当时，，满足条件，
当时，，不满足条件，
∴ 只有时，符合条件。
三、解答题
17．【解析】











18．【解析】由题意 可得
因为，所以可得{}
19．【解析】 ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），
①当a=0时，函数定义域为；
②当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为；
③当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为.






























20080411



21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)