苏科版数学九年级下册：5.3.待定系数法确定二次函数表达式（解析版）

5.3待定系数法确定二次函数表达式
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
2.已知一个二次函数的图象经过，则下列点中不在该函数的图象上的是( )
A. B. C. D.
3.已知点在二次函数的图象上，那么a的值是( )
A. 1 B. 2 C. D.
4.一抛物线的形状、开口方向与相同，顶点为，则此抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
5.一抛物线和抛物线的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是，则该抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
6.对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点，且抛物线经过点，那么抛物线解析式是( )
A. B.
C. D.
7.二次函数经过两点，则n的值是( )
A. B. C. 2 D. 4
8.若抛物线与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )．
A. B. C. D.
9.已知二次函数在时，有最大值8，其图象的形状、开口方向均与抛物线相同，则这个二次函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
10.若所求的二次函数图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.经过，，三点的二次函数的表达式是______
12.若抛物线与的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是，则其表达式为________．
13.二次函数的图象经过点，且当时，有最大值，则该二次函数解析式为______．
14.抛物线经过点，，抛物线所对应的函数表达式为______．
15.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是______ 只需写一个
16.设抛物线过，，C三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??．
17.已知点在抛物线的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，则该抛物线的函数表达式为________．
18.若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与x轴的交点坐标为________．
19.已知抛物线的顶点为，且过点，求这个函数的表达式为______．
20.如图，点A的坐标为，点C在y轴的正半轴 上，点B在第一象限，轴，且若抛物线经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为______．










三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.已知一个二次函数的图象经过点、和三点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．








22.如图，二次函数的图象经过，两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求的面积．










23.已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点坐标是．
（1）求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；
（2）将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．





24.如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．






答案和解析
1.【答案】C

【解析】【解析】
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：．
根据二次函数的顶点式求解即可．
【解析】
解：设这个二次函数的解析式为
二次函数的图象的顶点坐标为，
二次函数的解析式为，
把代入得，
所以．
故选C．
2.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了利用待定系数求简单的二次函数的解析式，以及判断点是否在函数图象上的方法，即代入解析式判断是否满足函数解析式．
先利用待定系数法求二次函数的解析式，再依次将各选项的点代入解析式即可作出判断．
【解答】
解：把代入中得：，
，
这个二次函数的解析式为：，
A.当时，，所以点在该函数的图象上；
B.当时，，所以点在该函数的图象上；
C.当时，，所以点在该函数的图象上；
D.当时，，所以点不在该函数的图象上．
故选D．


3.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式．把已知点的坐标代入到中，即可求得a的值．
【解答】
解：把点代入到中，得：
，
解得：．
故选B．

4.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查二次函数有关知识、顶点式等知识，解题的关键是理解抛物线形状、开口方向与相同，则a相同，属于中考常考题型．首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．
【解答】
解：抛物线的形状、开口方向与相同，
，
顶点为，
抛物线解析式为．
故选C．
5.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
【解答】
解：只有抛物线解析式为的顶点为且与开头大小方向一致．
故选B．
6.【答案】C

【解析】解：根据题意，设，抛物线经过点，所以，．
因此抛物线的解析式为：．
故选：C．
已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可．
本题考查利用待定系数法设抛物线的顶点坐标式求抛物线的表达式．
7.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．解答此题根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴是即可求解b，最后代入坐标求出n．
【解答】
解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴是直线，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选A．
8.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
【解答】
解：某定弦抛物线的对称轴为直线，
该定弦抛物线过点、，
该抛物线解析式为．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为．
当时，，
得到的新抛物线过点．
故选B．
9.【答案】D

【解析】【分析】此题主要考查了用待定系数法去二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式和顶点公式的运用和最值与函数之间的关系．当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大小值时，可设解析式为顶点式：．根据题意，可根据二次函数解析式的“顶点式”求解．
【解答】解：二次函数在时，有最大值8，
顶点坐标为，
可设该二次函数的解析式为，又其图象的形状、开口方向均与抛物线相同，，
该二次函数的解析式为．
故选D．
10.【答案】D

【解析】【分析】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的顶点和开口方向的确定方法，二次函数的顶点公式为抛物线的顶点坐标为，由题意可所求的二次函数的解析式的顶点坐标是，且抛物线开口向下．
【解答】
解：抛物线开口向下，顶点坐标是，错误；
B.抛物线开口向下，代入后，顶点坐标是，错误；
C.抛物线开口向下，顶点坐标是，错误；
D.抛物线开口向下，顶点坐标是，正确．
故选D．

11.【答案】

【解析】解：设抛物线解析式为，
把，，代入得，解得，
所以抛物线解析式为．
故答案为．
设抛物线解析式为，再把三个已知点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
12.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求函数解析式，利用了a值相同函数的形状相同，待定系数法求函数的解析式．根据形状相同，可得a值，根据顶点坐标，可得k值，可得函数解析式．
【解答】
解：抛物线与的形状相同，
．
其顶点坐标是，
将其代入，得，
其表达式为，
故答案为．


13.【答案】

【解析】解：设二次函数的解析式为，
把点代入得：，
解得，
．
故答案为．
根据题意设出函数的顶点式，代入点，根据待定系数法即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14.【答案】

【解析】解：将，代入抛物线解析式得：
，
解得：，，
则抛物线解析式为．
故答案为：．
将A与B两点代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15.【答案】

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
该抛武线的解析式为
又二次函数的图象开口向上，
，
这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：．
根据顶点坐标知其解析式满足，由开口向上知，据此写出一个即可．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
16.【答案】或

【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．
根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．
【解答】
解：点C在直线上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
抛物线的对称轴为直线或，
当对称轴为直线时，设抛物线解析式为，
将，代入解析式，
则，
解得，
所以，；
当对称轴为直线时，设抛物线解析式为，
将，代入解析式，
则，
解得，
所以，，
综上所述，抛物线的函数解析式为或．
故答案为或．
17.【答案】或

【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象及性质，掌握好基本概念是解题关键．
把二次函数化为，得出该抛物线的开口向下，根据已知条件得出该抛物线的顶点坐标为或，然后得出，或，即可得出结果．
【解答】
解：


，
该抛物线的开口向下，
在抛物线的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，
，，
该抛物线的顶点坐标为或，
，
解得，，或，
该抛物线的表达式为：或．
故答案为或．
18.【答案】和．

【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用抛物线图象的平移来填空．利用待定系数法求得m、a的值，然后将其代入抛物线令，则?，据此可以求得抛物线与x轴的交点的横坐标．
【解答】
解：关于x的一元二次方程3的两个实数根，，

解得，
则抛物线，
令，则，
解得，或，
抛物线与x轴的交点坐标是和．
故答案为和．
19.【答案】

【解析】解：设抛物线的解析式为，
把点代入解析式得：，
解得，
这个函数的表达式为，
即．
故答案为．
因为抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为，把代入解析式可求a，从而确定这个函数的表达式．
此题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，若题目中给出了二次函数的顶点式，则设顶点式解题简单．
20.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
根据题意求得，则，根据勾股定理求得OC，得到C的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【解答】
解：点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，轴，且抛物线经过A，B，C三点，
对称轴为直线，B、C关于直线对称，
点的横坐标为2，
，
，
，
点A的坐标为，
，
，
，
把和代入抛物线中得，
解得，
此抛物线的解析式为，
故答案为．
21.【答案】解：设二次函数解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
．
由可知：，
对称轴是直线，顶点坐标是．

【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
由于已知二次函数图形与x轴的两交点坐标，则可设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值，从而得到二次函数解析式．
把二次函数解析式化为顶点式解析式，然后写出对称轴与顶点坐标即可．
22.【答案】解：把、代入，
得：解得
这个二次函数的解析式为．
该抛物线对称轴为直线，
点C的坐标为，
，
．

【解析】本题考查是二次函数与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二次函数图象经过、两点，两点代入，算出b和c，即可得解析式．
先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．
23.【答案】解：依题意，有：
，解得；
；
抛物线的顶点坐标为
由知：抛物线的解析式为；
将其沿x轴向左平移个单位长度，得：．

【解析】此题主要考查的是用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数图象的平移．
将二次函数图象与坐标轴的交点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，然后将所得二次函数解析式化为顶点式，求出其顶点坐标；
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
24.【答案】解：抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，
，
解得，，
即此抛物线的解析式是；
，
此抛物线顶点D的坐标是，对称轴是直线；
存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为，
当时，
，
解得，，
即点P的坐标为；
当时，
，
解得，，
即点P的坐标为或；
当时，
，
解得，，
即点P的坐标是或，
当点P为时与点D重合，故不符合题意，
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或或或．

【解析】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
根据抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，可以求得抛物线的解析式；
根据中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．

第2页，共2页
第1页，共1页