苏科版九年级数学下册 5.4二次函数与一元二次方程练习题（含解析）

5.4二次函数与一元二次方程
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若二次函数的图象经过点和，则方程的解为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.二次函数与一次函数的图象交于点和点，要使，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
4.若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
6.如图，一次函数与二次函数为的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 以上结论都正确

7.若抛物线与x轴只有一个公共点，则n的值为（ ）
A. 4 B. C. 1 D.
8.若方程的两个根是和1，那么二次函数的图象的对称轴是直线
A. B. C. D.
9.若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D.
10.已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D. 且
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.抛物线与x轴有______个交点．
12.已知抛物线经过点，则与x轴的另一个交点坐标为______．
13.已知方程两根为、，则抛物线与x轴两个交点间距离为________．
14.若抛物线与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为______．
15.若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为______ ．
16.若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为______．
17.抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______．







18.已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积是______ ．
19.若二次函数的图象经过点，且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为______．
20.已知二次函数的图象与坐标轴分别交于A，B，C三点，若是直角三角形，则c的值为______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.如图，已知二次函数的顶点为，且图象经过，图象与x轴交于B、C两点．

(1)求该函数的解析式；
(2)连结AB、AC，求面积．




22.已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若该函数图象与x轴的交点为B、C，求的面积．






23.如图，已知二次函数的图象与x轴交于一点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求的面积．













24.如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为，C为抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．













答案和解析
1.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．二次函数的图象经过点，得到，求得，代入方程即可得到结论．
【解答】
解：二次函数的图象经过点，
，
，
方程为：方程，
解得：，．
故选A．
2.【答案】C

【解析】解：二次函数的图象经过点和，
方程的解为，．
故选：C．
利用抛物线与x轴的交点问题确定方程的解．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3.【答案】A

【解析】解：当时，．
故选：A．
先画出来那个函数的大致图象，然后写出抛物线在一次函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了二次函数与不等式组：对于二次函数、b、c是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．
4.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题的关键先根据对称轴公式求出抛物线的对称轴，然后求出抛物线与x轴的另一个交点坐标即可．
【解答】
解：对称轴为直线，
又二次函数的图象经过点，
抛物线与x轴的另一个交点为，
方程的解为，．
故选C．
5.【答案】D

【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数与一元二次方程的有关知识，正确得出的符号是解题关键，直接利用二次函数的图象与x轴有两个不同的交点故，再结合二次项系数不为0，进而得出答案．
【解答】
解：若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
，，
解得：且．
故选D．
6.【答案】A

【解析】解：一次函数与二次函数为的图象有两个交点，
有两个不相等的实数根，
变形为，
有两个不相等的实数根，
故选：A．
根据二次函数与一元二次方程的关系判断．
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
7.【答案】C

【解析】解：抛物线与x轴只有一个公共点，
，
解得：．
故选：C．
由抛物线与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程，根的判别式，由此即可得到关于n的方程，解方程即可求得n的值．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，利用二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数建立方程解决问题．
8.【答案】C

【解析】解：方程的两个根是和1，
二次函数的图象与x轴的交点分别为，．
此两点关于对称轴对称，
对称轴是直线．
故选：C．
先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
9.【答案】A

【解析】【分析】
抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
本题考查了抛物线与x轴的交点．该题属于易错题，解题时，往往忽略了抛物线与y轴有交点时，这一条件．
【解答】
解：函数的图象与坐标轴有三个交点，

解得且．
故选A．
10.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了二次函数的定义和二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．的图象与x轴无交点，当图象在x轴上方时，，当图象在x轴下方时，，由此能够求出k的取值范围．
【解答】
解：的图象与x轴无交点，
当图象在x轴上方时，，
，无解．
当图象在x轴下方时，，
，
，
的取值范围是，
故选C．
11.【答案】两

【解析】解：设
则

方程有两个不相等实数根
则抛物线与x轴有两个交点
故答案应为：两
求抛物线与x轴交点令，研究一元二次方程根的判别式即可．
本题考查二次函数的性质，涉及到一元二次方程根的判别式以及数形结合思想．
12.【答案】

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与x轴的一个交点为，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为．
故答案为．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
13.【答案】

【解析】解：方程两根为，，
抛物线与x轴两个交点的横坐标是，，
抛物线与x轴两个交点间距离为：．
故答案为：．
根据抛物线与x轴两交点横坐标为，，利用两根关系求的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
14.【答案】4

【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握一元二次方程与二次函数的关系是解决问题的关键先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出两点之间的距离．
【解答】
解：二次函数与x轴交点A，B的横坐标为一元二次方程的两个根，
求得，，
则．
故答案为4．
15.【答案】9

【解析】解：二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，
，
．
故答案为：9．
二次函数的图象与x轴交点个数取决于，图象与x轴有两个交点，，图象与x轴有且只有一个交点，利用此公式直接求出m的值即可．
此题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合来解题．
16.【答案】，

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
，
得，
则可化为：，
解得，，．
故意答案为：，．
根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．
17.【答案】，

【解析】【分析】
本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值．
直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解．
【解答】
解：观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为，
抛物线与x轴的另一交点坐标为，
一元二次方程的解为，．
故答案为，．
18.【答案】6

【解析】解：令代入，
，
解得：或，
，，
，
令代入，
，
，
，
的面积为：，
故答案为：6．
求出A、B、C三点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
本题考查抛物线与x轴的交点坐标问题，解题的关键是利用一元二次方程的解法求出抛物线与x轴的交点坐标，本题属于基础题型．
19.【答案】或0

【解析】解：二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，且在x轴上截得的线段长为4，
二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为或，
当二次函数的图象与x轴的两个交点为和，则二次函数图象的对称轴为直线，
当二次函数的图象与x轴的两个交点为和，则二次函数图象的对称轴为直线，
即这个二次函数图象顶点的横坐标为或0．
故答案为或0．
由于二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，且在x轴上截得的线段长为4，则可确定二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为或，然后根据抛物线与x轴的两交点关于抛物线的对称轴对称，则可得到抛物线的对称轴方程，从而得到这个二次函数图象顶点的横坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式b，c是常数，可直接得到抛物线与x轴的交点坐标，．
20.【答案】

【解析】解：如图所示，设点A、C的横坐标分别为，，
，

，，，
，即：，
其中，，，
即：，解得：已舍去，
故：答案为．
，，即：，其中，，，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到函数与坐标轴的交点、解直角三角形等知识，其中用韦达定理处理数据，是本题的亮点．
21.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
当时，，解得，，?
、C两点的坐标为，，?
的面积．

【解析】?本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
先利用待定系数法求出抛物线解析式；?
通过解方程得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
22.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
当时，，解得，，
所以B、C两点的坐标为，，
所以的面积．

【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
先利用待定系数法求出抛物线解析式；
通过解方程得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
23.【答案】解：将代入函数，
得：，解得：，
二次函数解析式为．
当时，，
，
抛物线对称轴为，
，
．

【解析】由点A的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式即可找出抛物线的对称轴，从而得出点C的坐标，再将代入二次函数解析式求出点B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
24.【答案】解：抛物线的对称轴为，A点的坐标为，点B的坐标为．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：，，
抛物线的解析式为．

将代入，得，
点C的坐标为．
．
点B的坐标为，
．
设点P的坐标为，则点P到OC的距离为．
，
，即，解得．
当时，点P的坐标为；
当时，点P的坐标为．
点P的坐标为或．

【解析】由点A与点B关于直线对称可求得点B的坐标．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
设点P的坐标为，则点P到OC的距离为然后依据列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标．
此题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，属于中考常考题型．

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