沪科版九年级数学下册《第24章 圆》单元测试卷及解析

沪科版九年级数学下册《第24章圆》单元测试卷及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
已知点O为△??????的外心，若∠??=80°，则∠??????的度数为(????)
A. 40° B. 80° C. 160° D. 120°
点P在⊙??内，????=2????，若⊙??的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为(????)
A. 1cm B. 2cm C.
5
???? D. 2
5
????
如图，⊙??的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙??的半径为2，则CD的长为(????)
A. 2
3
B. 4
3
C. 2D. 4
如图，⊙??，⊙??，⊙??，⊙??，⊙??互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积是(????)
A. ??B. 1.5??C. 2??D. 2.5??
下列说法正确的是(????)
A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 90°的角所对的弦是直径C. 等弧所对的弦相等 D. 圆的切线垂直于半径
在⊙??中，AB是弦，圆心到AB的距离为1，若⊙??的半径为2，则弦AB的长为(????)
A.
5
B. 2
5
C.
3
D. 2
3
如图，PA切⊙??于A，⊙??的半径为3，????=5，则切线长PA为( ?)
A. 6B. 8C. 4D. 2
⊙??的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程
??
2
?6??+8=0的两根，则点A与⊙??的位置关系是(????)
A. 点A在⊙??内部 B. 点A在⊙??上 C. 点A在⊙??外部 D. 点A不在⊙??上
已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于(????)
A. 1：2
3
：2 B. 1：2：2
3
C. 1：2：
3
D. 1：
3
：2
如图，以AD为直径的半圆O经过????△??????斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为
2
3
??，则图中阴影部分的面积为(????)
A.
??
9
B.
3
??
9
C.
3
3
2
?
3??
2
D.
3
3
2
?
2??
3

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，∠??????=30°，????=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是______ ．
如图，△??????内接于⊙??，∠??=∠??????，????=8????，则????= ______ cm．
已知圆锥底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面展开的扇形圆心角是______．
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8??，则排水管内水的深度为______ ??.
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
已知：如图，在△??????中，????=????，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线????⊥????，垂足为点E．求证：(1)△??????是等边三角形；(2)????=
1
3
????．

如图，在⊙??中，AB是直径，CD是弦，????⊥????．(1)??是
??
????上一点(不与C、D重合)，求证：∠??????=∠??????；(2)点??′在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠????′??与∠??????有什么数量关系？请证明你的结论．

如图，已知△??????是等边三角形，以AB为直径作⊙??，交BC边于点D，交AC边于点F，作????⊥????于点E．(1)求证：DE是⊙??的切线；(2)若△??????的边长为4，求EF的长度．

如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度????=3??，弓形的高????=1??，现计划安装玻璃，请帮工程师求出
????
所在圆O的半径r．

已知⊙??的直径AB的长为4cm，C是⊙??上一点，∠??????=30°，过点C作⊙??的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．

如图，已知AB是⊙??的直径，点C，D在⊙??上，点E在⊙??外，∠??????=∠??=60°．(1)求∠??????的度数；(2)求证：AE是⊙??的切线；(3)当????=4时，求劣弧
??
??的长．

如图，AB、BC、CD分别与⊙??相切于E、F、G，且????//????，????=6，????=8．(1)判断△??????的形状，并证明你的结论；(2)求BC的长；(3)求⊙??的半径OF的长．

如图，已知AB是⊙??的直径，PB为⊙??的切线，B为切点，????⊥弦BC于点D且交⊙??于点E．(1)求证：∠??????=∠??????；(2)若点C为半圆
??????
的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．

答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵点O为△??????的外心，∠??=80°，∴∠??????=2∠??=160°．故选C．根据圆周角定理得∠??????=2∠??=160°．熟练运用圆周角定理计算，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2.【答案】D
【解析】解：过P作????⊥????交圆与A、B两点，连接OA，如下图所示：故AB为最短弦长，由垂径定理可得：????=???? 已知????=3，????=2 在????△??????中，由勾股定理可得：??
??
2
=??
??
2
???
??
2
∴????=
3
2
?
2
2
=
5
???? ∴????=2????=2
5
???? 故此题选D．过P作????⊥????交圆与A、B两点，连接OA，故AB为最短弦长，再解????△??????，即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度．本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用．3.【答案】A
【解析】解：连接OC，BC，AB是直径，则∠??????=90°，∵????是切线，∴∠??????=90°，∵∠??=30°，∴∠??????=2∠??=60°，????=?????tan∠??????=2
3
．故选A．连接OC，BC，AB是直径，CD是切线，先求得∠??????=90°再求∠??????=2∠??=60°，利用三角函数即可求得CD的值．本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直角求解．4.【答案】B
【解析】解：图中五个扇形(阴影部分)的面积是
(5?2)×180??
360
=1.5?? 故选B．圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．5.【答案】C
【解析】解：A，要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弧才相等；B，90°的圆周角所对的弦是直径，要强调这个90°的角是圆周角；C，等弧所对的弦相等，这个命题是正确的；D，圆的切线垂直于过切点的半径，不是垂直于所有的半径．故选C．准确理解圆心角，圆周角，等弧，圆的切线这些基本概念，作出正确的选择．对基本概念的准确理解和灵活运用，特别是个别的字眼一定要理解透彻．6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查勾股定理和垂径定理的综合使用，熟练掌握垂径定理的应用是解决本题的关键．按题意画出图形，如下图，过O点作????⊥????于M，根据题意可知，????=2，????=1，由勾股定理可求得BM，再根据垂径定理可知，????=2????，即????=2
3
．【解答】解：根据题意画出图形，OM为圆心到AB的距离，即????=1，????=2，在????△??????中，????=
2
2
??
1
2
=
3
，根据垂径定理可知，????=2????=2
3
．故选D．7.【答案】C
【解析】【分析】本题主要通过圆的切线来考查学生对勾股定理的熟练应用.连接OA，利用????⊥????，根据勾股定理即可得出PA的长度．【解答】解：连接OA， ∵????切⊙??于A，∴????⊥????，∵????=3，????=5，∴根据勾股定理可得????=
??
??
2
???
??
2
=
5
2
?
3
2
=4．故选C．8.【答案】D
【解析】解：解方程
??
2
?6??+8=0的两根，得??=2或4，??=4或2，当??=2，??=4时，点A在⊙??外部；当??=4，??=2时，点A在⊙??内部；综上所述，点A不在⊙??上，故选D．先根据题意求得方程的解，即R、d的值，分两种情况进行讨论：①??>??时，点A在⊙??内部；②??=??时，点A在⊙??上；③??【解析】解：等边三角形的一边上的高的
1
3
倍为它的内切圆的半径，等边三角形的一边上的高的
2
3
倍为它的外接圆的半径，而高又为边长的
3
2
倍，∴??：a：??=1：2
3
：2．故选：A．利用正三角形的边长与它的内切圆和外接圆的半径之间的关系求解．本题利用了正三角形的边长与它的内切圆和外接圆的半径的关系求解．10.【答案】D
【解析】解：连接BD，BE，BO，EO，∵??，E是半圆弧的三等分点，∴∠??????=∠??????=∠??????=60°，∴∠??????=∠??????=30°，∴????//????，∵弧BE的长为
2
3
??，∴
60??×??
180
=
2
3
??，解得：??=2，∴????=??????????30°=2
3
，∴????=
1
2
????=
3
，∴????=
??
??
2
???
??
2
=3，∴
??
△??????
=
1
2
×????×????=
1
2
×
3
×3=
3
3
2
，∵△??????和△??????同底等高，∴△??????和△??????面积相等，∴图中阴影部分的面积为：
??
△??????
?
??
扇形??????
=
3
3
2
?
60??×
2
2
360
=
3
3
2
?
2??
3
．故选：D．首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用
??
△??????
?
??
扇形??????
=图中阴影部分的面积求出即可．此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出∴△??????和△??????面积相等是解题关键．11.【答案】相交
【解析】解：过点M作????⊥????于点D，∵∠??????=30°，????=6，∴????=3，∴????2

【解析】【分析】此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理以及勾股定理．结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接OC， ∵????=????，∴∠??????=∠??????．又∵∠??=∠??????=
1
2
∠??????，∴∠??????=90°．∴????=
??
??
2
+??
??
2
=8
2
????．13.【答案】180°
【解析】解：∵圆锥底面半径是2，∴圆锥的底面周长为4??，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为??°，
????×4
180
=4??，解得??=180．故答案为180°．易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．14.【答案】0.8
【解析】解：如图，过O点作????⊥????，C为垂足，交⊙??于D、E，连OA， ????=0.5??，????=0.8??，∵????⊥????，∴????=????=0.4??，在????△??????中，??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，∴????=0.3??，则????=0.3+0.5=0.8??，故答案为：0.8．过O点作????⊥????，C为垂足，交⊙??于D，连OA，根据垂径定理得到????=????=0.5??，再在????△??????中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度．本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用．15.【答案】证明：(1)连接OD，得????//????；∴∠??????=∠??；又????=????，∴∠??????=∠??????；∴∠??????=∠??；∴????=????；又∵????=????，∴△??????是等边三角形； (2)如上图，连接CD，则????⊥????；∴??是AB中点；∵????=
1
2
????=
1
4
????，∴????=3????；∴????=
1
3
????．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质得到????⊥????，从而得到平行线，得到∠??????=∠??，∠??????=∠??，则∠??=∠??，得到????=????，从而证明该三角形是等边三角形；(2)再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．16.【答案】(1)证明：连接OD，∵????是直径，????⊥????，∴
??
??=
??
??．∴∠??????=∠??????=
1
2
∠??????．又∵∠??????=
1
2
∠??????，∴∠??????=∠??????． (2)解：∠????′??+∠??????=180°．理由如下：连接OD，∵∠??????+∠????′??=180°，∠??????=∠??????=
1
2
∠??????，又∵∠??????=
1
2
∠??????，∴∠??????=∠??????，∴∠????′??+∠??????=180°．
【解析】(1)根据垂径定理知，弧????=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠??????的度数，弧AD的度数等于∠??????的2倍，可得：∠??????=∠??????；(2)根据圆内接四边形的对角互补知，∠????′??=180°?∠??????，而：∠??????=∠??????，∴∠????′??+∠??????=180°．本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．17.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，∵△??????是等边三角形，∴∠??=∠??=60°．∵????=????，∴∠??????=∠??=60°．∵????⊥????，∴∠??????=90°．∴∠??????=30°．∴∠??????=90°．∴????⊥????于点D．∵点D在⊙??上，∴????是⊙??的切线；(2)解：如图2，连接AD，BF，∵????为⊙??直径，∴∠??????=∠??????=90°．∴????⊥????，????⊥????．∵△??????是等边三角形，∴????=
1
2
????=2，????=
1
2
????=2．∵∠??????=30°，∴????=
1
2
????=1．∴????=?????????=1．
【解析】(1)连接OD，根据等边三角形的性质求出∠??????=90°，根据切线的判定定理证明即可；(2)连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．18.【答案】解：∵弓形的跨度????=3??，EF为弓形的高，∴????⊥????于F，∴????=
1
2
????=
3
2
??，∵
????
所在圆O的半径为r，弓形的高????=1??，∴????=??，????=???1，在????△??????中，由勾股定理可知：??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，即
??
2
=(
3
2
)
2
+(???1
)
2
，解得??=
13
8
(??)．答：
????
所在圆O的半径为
13
8
??.
【解析】根据垂径定理可得????=
1
2
????，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，此类题目通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．19.【答案】解：连接OC，∵????=????，∴∠??????=∠??????=30°，∴∠??????=60°，∵????是切线，∴????⊥????，∴∠??=30°，∴????=2????=4????，∴????=?????????=4?2=2????．
【解析】连接OC，即可求得∠??=30°，从而求得OP的长，根据????=?????????即可求解．本题主要考查了切线的性质，已知切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，构造直角三角形．20.【答案】(1)解：∵∠??????=∠??????，∠??????=60°，∴∠??????=60° (2)证明：∵????是直径，∴∠??????=90°，∵∠??????=60°，∴∠??????=90°?∠??????=30°，∵∠??????=60°，∴∠??????=∠??????+∠??????=30°+60°=90°，∴????是⊙??的切线． (3)解：连接OC．在????△??????中，∵∠??????=90°，∠??????=30°，????=4 ∴????=2????=8，∴????=4，∵∠??????=2∠??????，∠??????=60°，∴∠??????=120°，∴劣弧
??
??的长=
120°×??×4
180°
=
8??
3
．
【解析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，即可解决问题．(2)利用直径所对的圆周角是直角，求出∠??????，即可解决问题．(3)连接OC，求出⊙??半径，∠??????即可解决问题．本题考查切线的判定、圆周角定理、弧长公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】(1)答：△??????是直角三角形．证明：∵????、BC、CD分别与⊙??相切于E、F、G，∴∠??????=∠??????=
1
2
∠??????，∠??????=∠??????=
1
2
∠??????，∵????//????，∴∠??????+∠??????=180°，∴∠??????+∠??????=90°，∴∠??????=90°，∴△??????是直角三角形；(2)解：∵在????△??????中，????=6，????=8，∴????=
??
??
2
+??
??
2
=10；(3)解：∵????、BC、CD分别与⊙??相切于E、F、G，∴????⊥????，∴????=
?????????
????
=
6×8
10
=4.8．
【解析】此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．(1)由切线长定理，易得∠??????=∠??????=
1
2
∠??????，∠??????=∠??????=
1
2
∠??????，又由????//????，则可求得∠??????=90°；(2)由????=6，????=8，利用勾股定理即可求得BC的长；(3)利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得⊙??的半径OF的长．22.【答案】(1)证明：∵????是⊙??的直径，PB为⊙??的切线，∴????⊥????，∴∠??????+∠??????=90°，∵????⊥????，∴∠??????+∠??????=90°，∴∠??????=∠??????，又∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????． (2)解：四边形AOEC是菱形．∵????⊥弦BC于点D且交⊙??于点E，∴
????
=
????
，∵??为半圆
??????
的三等分点，∴
????
=
????
=
????
，∴∠??????=∠??????，∴????//????，∵????是⊙??的直径，∴????⊥????，又????⊥弦BC于点D且交⊙??于点E，∴????//????，∴四边形AOEC是平行四边形，又????=????，∴四边形AOEC是菱形．
【解析】本题考查了菱形的性质以及切线的判定，是中考压轴题，难度较大(1)根据题意得????⊥????，则∠??????+∠??????=90°，再由????⊥????，得∠??????+∠??????=90°，即可得出∠??????=∠??????，又∠??????=∠??????，得∠??????=∠??????；(2)四边形AOEC是菱形，根据题意得出
????
=
????
，再由C为半圆
??????
的三等分点，得
????
=
????
=
????
，即∠??????=∠??????，从而得出????//????，????⊥????，????//????，四边形AOEC是平行四边形，又????=????，从而得出四边形AOEC是菱形．