【北师大版八年级数学下册同步训练】1.1 等腰三角形（含解析）

1.1等腰三角形同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（ ）
A．40 B．50 C．40 或50 D．不能确定
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（　　）
A．65° B．65°或25° C．25° D．50°
3．如图，，，则下列结论不一定成立的是( )
A．⊥ B． C． D．
4．如图，在的两边上有点，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB
7．等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13 B．17 C．22 D．17或22
二、填空题
9．等腰三角形的底角等于50度，则它的顶角是________度。
10．若一个等腰三角形的顶角等于，则它底角等于______.
11．在△ABC中，已知∠A =50°，AB =AC ，则∠C的度数是 _______．
12．如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，∠C=65°，则∠BAD 的度数为___________.
13．现有长度为和的两根木棒，将其中的一根截为两段与另一根木棒组成等腰三角形，这个等腰三角形的三边长分别为____．
14．若等腰三角形的底角等于15°,腰长为4cm,则等腰三角形的面积为_______.
三、解答题
15．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论.
16．一个等腰三角形的两条边长分别为5和10，求这个三角形的周长．
17．如图所示，在△ABC中，BC＝BD＝AD，∠CBD＝36°，求∠A和∠C的度数．
18．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？
参考答案
1．B
【解析】试题解析：①当10为腰时，10+10=20，故此种情况不存在；
②当20为腰时，20-10＜20＜20+10，符合题意．
故此三角形的周长=10+20+20=50．
故选B．
2．B
【解析】
【分析】
分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【详解】
当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为50°，
则底角为12×（180°﹣50°）＝65°，
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°，
则底角为12×（180°﹣130°）＝25°，
综上可知该三角形的底角为65°或25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质.
3．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，得出相等角，通过求证△ABD≌△ACD，可以判断相应的选项，然后通过等角的补角相等，得出AD⊥BC，即可解决.
【详解】
如图：
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠ABD=∠ACD
∴△ABD≌△ACD
∴（B选项正确）
（D选项正确）
∴∠ADB=∠ADC
故∠BDE=∠CDE
∴DE⊥BC
⊥（A选项正确）
故选C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.
4．C
【解析】
∵BC=BD=DA，
∴∠ECF=∠BDC，∠DBA=∠DAB，
又∵∠DBA=∠ECF+∠BDC，
∴∠DBA=∠DAB=2∠ECF，
又∵∠ADF=∠ECF+∠DAB，∠ADF=75°，
∴3∠ECF=75°，
∴∠ECF=25°.
故选C.
5．C
【解析】
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
6．D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，平行线的性质解答即可．
【详解】
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD，A正确，不符合题意；
BD=CD，B正确，不符合题意；
∵DE∥AB，∴∠EDA=∠BAD．
∵∠EAD=∠BAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=ED，C正确，不符合题意；
DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有一条边长为8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：∵当腰为8cm时，底边长=20-8-8=4cm，能构成三角形；当底为8cm时，三角形的腰=（20-8）÷2=6cm，其他两边即腰长为6cm，6cm，也能构成三角形.所以腰长为：8cm或6cm．
故选：C.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键是已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要．
8．C
【解析】
【分析】
由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22.
故选C.
9．80
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，两底角相等，利用三角形的内角和即可求出其顶角的大小.
【详解】
由题意得： 顶角=
故答案为：80
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的性质,熟练的掌握等腰三角形的性质是关键.
10．70
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可直接求得答案．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角等于40°，等腰三角形的底角相等，
∴底角度数为：（180°?40°）＝70°．
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
11．65°
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理及等腰三角形的两个底角相等解答即可．
【详解】
解：
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，
又∵∠A =50°，
∴，
故答案为：65°.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等的性质是解题的关键．
12．25°
【解析】
【分析】
先由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°,再结合题意和三角形的内角和定理得到∠BAD=25°.
【详解】
∵AB＝AC，∠C=65°，
∴∠C=∠B=65°,
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°,
根据三角形内角和定理可知∠BAD=180°-90°-65°=25°，故答案为25°.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键.
13．,,或,,.
【解析】
【分析】
根据题意，先设其中一根截为两段长度分别为x、y，由三角形三边关系可得答案.
【详解】
解：设长度为5的木棒截成两段，这两段的长度分别为，x，y则x+y=5<7，两边之和小于第三边，不能围成三角形；长度为7的木棒截成两段，设这两段的长度分别为m，n，则m+n=7＞5， ∵组成等腰三角形，
∴m=n或m=5,
∴m=n=3.5或m=5，n=2，
即这个等腰三角形的三边长分别为3.5，3.5，5或5，5，2.故答案为：3.5，3.5，5或5，5，2.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
14．4cm2
【解析】
【分析】
根据题意作图，过点C作CD⊥AB于D，即可得∠CAD=30°，由直角三角形中，30°角所对的直角边是其斜边的一半，可求得△ABC的高CD的长，即可求得这个三角形的面积．
【详解】
解：如图：AC=AB=4cm，∠B=∠ACB=15°，过点C作CD⊥AB于D，
∴∠CAD=∠ACB+∠B=15°+15°=30°，∴CD=AC=2cm（在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半），∴S△ABC=AB?CD=×4×2=4（cm2）．∴这个三角形的面积为4cm2．故答案为：4cm2．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质与含30°角的直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
15．（1）证明见解析，（2）△OBC是等腰三角形，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可知两个三角形是直角三角形且有公共斜边，有一组直角边相等，故用“HL”即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2），利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可判断△OBC的形状．
【详解】
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形
【点睛】
本题考查全等三角形的判定方法.
16．25．
【解析】
【分析】
分5是腰长与底边长两种情况讨论，由三角形的三边关系和三角形的周长求解即可
【详解】
解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，
，
此时不能组成三角形；
②5是底边长时，三角形的三边分别为5、10、10，
此时能组成三角形，
所以，周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长是25．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形周长的计算；熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论是解决问题的关键．
17．∠A＝36°，∠C＝72°.
【解析】
【分析】
由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】
∵BC=BD, ∠CBD＝36°
∴∠C=∠BDC=72°
∵BD＝AD
∴∠A=∠ABD
∵∠BDC=∠A+∠ABD
∠A=∠ABD＝36°．
【点睛】
等腰三角形的性质．
18．∠B=∠C=60°，△ABC是等边三角形．
【解析】
试题分析：利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质求∠B、∠C的度数．
试题解析：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．