【北师大版八年级数学下册同步训练】1.2 直角三角形（含解析）

1.2直角三角形同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三角形三个内角度数之比是1:1:2，则这个三角形是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
3．若中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
4．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6
5．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a,b,c是三角形的三边，则
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在中，，所以
D．在中，，所以
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于点E，则∠EDC的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为(　　)
A．45° B．55° C．65° D．50°
8．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
9．如图所示的网格是正方形网格，△ABC是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
10．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是___________
11．已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=BC=1，CD=，AD＝1，且∠B＝90°．则四边形 ABCD 的面积为_____．（结果保留根号）
12．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为______．
13．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则__________．
14．如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为___________.
三、解答题
15．如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛.求P岛与M岛之间的距离.
16．如图，△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8.
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若D是AC的中点，求BD的长.（结果保留根号）
17．如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，求这棵树折断之前的高度.
18．已知满足.
（1）求的值;
（2）判断以为边的三角形的形状.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x°，x°，2x°，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．
【详解】
设三角形的三个内角分别为：x°，x°，2x°．由三角形内角和定理得：
x+x+2x=180°
解得：x=45°．
当x=45°时，2x°=2×45°=90°．
三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．
故这个三角形是等腰直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理．解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x°，x°，2x°，利用方程思想求解．
2．A
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
3．B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和180，求出最大角∠C，直接判断即可.
【详解】
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4．
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°，
根据三角形内角和定理得到：x+2x+4x=180,
解得：x=．
则∠C=4×= °，则△ABC是钝角三角形．
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形按角度的分类.
4．C
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理即可判断． （A）c2=9，a2+b2=5，故A不是直角三角形，
（B）c2=16，a2+b2=13，故B不是直角三角形， （C）c2=25，a2+b2=25，故C是直角三角形，
（D）c2=36，a2+b2=41，故D不是直角三角形．
考点：勾股定理的逆定理．
5．D
【解析】
【分析】
本题可直接根据直角三角形勾股定理进行判断.
【详解】
A.在直角三角形中，两个直角边为a，b，斜边为c，则才有，排除.
B. 在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，排除.
C. 在中，,则斜边为AB，故有，排除.
D. 在中，,则斜边为AB，故有，正确.
【点睛】
本题考查了直角三角形的勾股定理运用，解题关键在于理解勾股定理是两个直角边的平方和等于斜边的平方.
6．A
【解析】
∵AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，∴∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°﹣∠CAD=70°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣70°=20°，故选A．
7．B
【解析】
试题解析：设两个锐角分别为x、y，
由题意得，，
解得，
所以，最大锐角为55°．
故选B．
8．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC的长.
【详解】
在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
ADBC，BC=2BD.
∠ADB=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD===4
BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
9．锐角
【解析】
【分析】
根据三边的长可作判断．
【详解】
解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＞BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：锐角．
【点睛】
本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a、b、c，①当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；②当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；③当a2+b2＝c2时，△ABC为直角三角形．
10．24cm2.
【解析】
试题解析：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面积为：×6×8=24．
考点：勾股定理的逆定理．
11．
【解析】
【分析】
连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【详解】
解：连接AC，
∵AB=BC=1，∠B=90°∴AC=，又∵AD=1，DC=，∴即CD2=AD2+AC2∴∠DAC=90°，可知△ABC和△ADC是Rt△，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出斜边，再利用面积法求出斜边上的高.
【详解】
∵直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，
∴斜边为
故斜边上的高为=
【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
13．6
【解析】
【分析】
先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD=AD，由∠A=30°可知∠ABD=30°，故可得出∠DBC=30°，根据CD=3cm可得出BD的长，进而得出AD的长．
【详解】
解：连接BD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，DE⊥AB，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=30°，
∵CD=2，
∴BD=2CD=4，
∴AD=4，
∴AC=6.
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．3cm
【解析】
【分析】
要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，设CE=xcm,则DE=EF=CD?CE=(8?x)cm，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC?BF=10?6=4(cm)，在Rt△ECF中,由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8?x)2=x2+42，∴64?16x+x2=x2+16，∴x=3(cm)，即CE=3cm.故答案为：3cm.
【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理.
15．P岛与M岛之间的距离为34海里．
【解析】
【分析】
由题意知，△BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解．
【详解】
解：由题意可知△BMP为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，
∴MP＝＝34海里．
答：P岛与M岛之间的距离为34海里．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用.
16．(1)见解析;(2)2.
【解析】
分析：（1）直接根据勾股定理逆定理判断即可；
（2）先由D是AC的中点求出CD的长，然后利用勾股定理求BD的长即可.
详解：（1）∵AB2=100， BC2=36， AC2=64，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形.
（2）CD=4，在Rt△BCD中，
BD=.
点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，勾股定理是：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理逆定理是：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
17．8米
【解析】
【分析】
由题意可得，已知直角三角形的两直角边的长，运用勾股定理求出斜边的长，即可求得这棵树折断之前的高度.．
【详解】
由题意可得，
折断的树高长为：32+42=5 米，
∴这棵树折断之前的高度为：5+3=8米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解决问题的关键.
18．(1)a= ,b=5,c=4.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值、二次根式、平方的非负性即可求出；（2）根据勾股定理逆定理即可判断.
【详解】
（1）依题意得a-=0，=0，=0，
故a=，，
（2）∵=7+25=32，=32，
∴=，则三角形为直角三角形.
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知实数的性质.