【北师大版八年级数学下册同步训练】1.3 线段的垂直平分线（含解析）

1.3线段的垂直平分线同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
2．如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是(　　)
A．13 cm B．6.5 cm
C．30 cm D．6cm
3．如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则的周长等于（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于（　　）
A．30° B．40° C．35° D．50°
6．△ABC中、AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．60° C．150° D．50°或130°
7．如图，已知点D在AB的中垂线MN上，如果AC=5，BC=3，那么△BDC的周长是( )
A．8 B．7 C．6 D．无法确定
8．如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝2，则AC的长是( )
A．4 B．8 C．4 D．2
二、填空题
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是_____．
10．如图，中，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于E、D，若，则的度数为__________
11．如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长为，则的长为__________．
12．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．若∠DBC=18°，则∠A=______°．
13．MN是线段AB的垂直平分线，AB长为16cm，则点A到MN的距离是_____cm．
14．小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ．
三、解答题
15．如图在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A=40°，则
（1）求∠DBC的度数，
（2）若AB=12，BC=7,求△BCD的周长
16．如图，在△ABC中，AB=AC=8cm.
（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长.

17．已如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，AB=9，BC=7，求△BCD的周长．
18．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD．求∠DBC的度数.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm，再利用外角的性质得∠ADC=30°，解直角三角形即可得AC的值．
【详解】
解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质）
∴∠ADC=30°（外角性质）
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC=30°是正确解答本题的关键．
3．C
【解析】
【分析】由线段????的垂直平分线性质得AE=BE,因此的周长=BC+BE+CE=BC+AC=12+7=19.
【详解】因为，线段????的垂直平分线交????于??，
所以，AE=BE,
所以，AE+CE=BE+CE=AC=12.
所以，的周长=BC+BE+CE=BC+AC=12+7=19.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线. 解题关键点：熟记线段垂直平分线性质.
4．A
【解析】
【分析】
首先连接BE，由DE是线段AB的垂直平分线，即可得BE=AE=2，即可求得答案．
【详解】
连接BE．
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE．
∵AE=2，∴BE=2，即B、E两点间的距离是2．
故选A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5．A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质与等腰三角形的性质即可求解.
【详解】
∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C=∠ABC=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于点D，
∴∠ABE=∠A＝40°
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
【点睛】
此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
6．D
【解析】
【分析】
作出图形，分①△ABC是锐角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求解即可；②△ABC是钝角三角形时，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】
解：①△ABC是锐角三角形时，如图1，∵∠AED=40°，∴顶角∠A=90°-40°=50°；②△ABC是钝角三角形时，如图2，∵∠AED=40°，∴顶角∠BAC=90°+40°=130°，综上所述，此等腰三角形的顶角为50°或130°．故选：D．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，需要注意的是要分两种情况解答．
7．A
【解析】
分析：由AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，可得AD=BD，又由△DBC的周长为BC+CD+BD可得：△DBC的周长即为AC+BC，继而求得答案．
详解：
∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，∴AD=BD，∵△DBC的周长为BC+CD+BD，∴△DBC的周长为AC+BC，又∵AC=5，BC=3，∴△BDC的周长是8故选A．
点睛：考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握数形结合和等量代换思想的应用．
8．C
【解析】
【分析】
求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可
【详解】
∵∠A=30°,∠B=90°
∴∠ACB=180°?30°?90°=60°
∵DE垂直平分斜边AC
∴AD=CD
∴∠A=∠ACD=30°
∴∠DCB=60°?30°=30°
∵BD=2
∴CD=4=AD
∴AB=4+2=6
在△BCD中,由勾股定理得：CB==2，
在△ABC中,由勾股定理得：AC==4
故选：C
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质, 三角形内角和定理, 等腰三角形的性质, 含30度角的直角三角形, 勾股定理，需要灵活运用这些定理进行推理
9．12cm
【解析】
试题分析：根据线段中垂线的性质可得：AE=BE，则△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=4+8=12cm．
10．80°．
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，得到∠DAB=∠B=40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DB=DA，∴∠DAB=∠B=40°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=80°．故答案为：80°．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质可知BE=CE，所以的周长，由此可得的长.
【详解】
解：是的垂直平分线
又
故答案为：
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活应用此性质进行线段的转化是解题的关键.
12．48
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD=BD,求出∠A=∠ABD,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可得出答案.
【详解】
解:设∠A=，
AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E,
AD=BD,∠A=∠ABD=,
AB=AC,
∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠DBC=+,
在△ABC中，三角形三内角和为，
+（+）2=180，
可得：x=48
故答案为:48.
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质及应用及等腰三角形性质的综合应用.
13．8
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线得出AD=BD,AD⊥MN,求出AD长即可
【详解】
如下图
∵MN是线段AB的垂直平分线,AB=16
∴AD=BD=12AB=8cm. AD⊥MN，即点A到MN的距离是8cm,
故答案为:8
【点睛】
本题考查了对线段垂直平分线性质和点到直线的距离的理解和运用，熟悉垂直平分线概念是解题关键。
14．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上
【解析】
其中蕴含的道理是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上.
15．（1）30° （2）19
【解析】
【分析】
（1）由AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线DE交AC于点D，可得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，继而求得答案；（2）由AB=AC=12，BC=7，AD=BD，可得△BCD的周长等于AC+BC．
【详解】
解：（1）在中，，，
∴.
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，∴，
∴.
答：的周长为19.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
16．（1）图形见解析;(2) 6cm．
【解析】
【分析】
（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AM=BM，从而将△MBC的周长转化为：AM+CM+BC，即AC+BC=14cm，依此可求BC．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵△MBC的周长是14cm，
∴MB+MC+BC=AM+CM+BC=AC+BC=14cm，
∵AC=8cm，∴BC=6cm．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质.
17．16
【解析】
【分析】
根据题意知△BCD的周长=BD+CD+BC，根据垂直平分线性质得BD+CD=AD+CD=AC=BC，即可得到答案．
【详解】
∵DE是AB的垂直平分线
∴DA=DB
∴C△BCD=BD+CD+BC
=AD+CD+BC
=AC+BC
又AB=AC,AB=9，BC=7
∴C△BCD =AB+BC=16 .
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质.
18．
【解析】
【分析】
由AB＝BC，∠ABC＝110°可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，由计算即可.
【详解】
解：AB＝BC，∠ABC＝110°
垂直平分AB，点D在DE上

故答案为：
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，同时涉及到等腰三角形的性质，灵活利用这两个性质求角的度数是解题的关键.