【北师大版八年级数学下册同步训练】1.4 角平分线（含解析）

1.4角平分线同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )．
A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝3，则点D到AB的距离是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．下列说法错误的是( )
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则( )
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
6．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于( )
A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm
7．如图,OC平分∠AOB,CM⊥OB于点M,CM=3,则点C到射线OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．到三角形三边距离相等的点应是这个三角形（　　）的交点．
A．三条边上的高 B．三个内角的平分线
C．三条边的垂直平分线 D．三条边上的中线
二、填空题
9．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段__________（只需写出一组即可）
10．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　 ▲ 　．
11．如图∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD＝1，则PC等于_____．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么点D到线段AB的距离是_____cm．
13．已知∠AOB=70°,∠BOC=20°,OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，则∠EOF=________.
14．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE相交于点O，有下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线．其中正确结论的序号是 ________．
三、解答题
15．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D.过点D作DE⊥AB于点E.求证：△ACD≌△AED．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AP，若AP平分∠CAB，求∠B的度数．
18．如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，
∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC
考点：(1)、全等三角形的判定与性质；(2)、作图—基本作图．
2．C
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD．
【详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E．
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，即点D到直线AB的距离是3．
故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理判断即可．
【详解】
A、角平分线上的点到角的两边距离相等，故本选项正确；
B. 直角三角形的两个锐角互余，故本选项正确；
C、应该是：等腰三角形底边上的角平分线、中线、高线互相重合，故此选项错误；
D、根据等边三角形的判定定理“有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形”知本选项正确．故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，注意，有一个角是60°的“等腰三角形”是等边三角形，而不是有一个角是60°的“三角形”是等边三角形．
4．C
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD=DE，再求出BD长，即可得出BC的长．
【详解】
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵D到AB的距离等于4，
∴CD=DE=4，
又∵BD=2CD，
∴BD=8，
∴BC=4+8=12，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．B
【解析】
试题分析：根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故选B．
6．A
【解析】
试题解析：由∥可知，
，
为的角平分线，
易知，，
则，
所以．
故选．
7．C
【解析】
【分析】
过C作CF⊥AO，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
【详解】
过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵CM=3，∴CF=3．
故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角角平分线的性质即可判断.
【详解】
到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点，故选B.
【点睛】
此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.
9．PC=PD
【解析】
解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD（角平分线性质）．
故填PC=PD．
10．4
【解析】
作DE⊥AB，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵CD=4，∴DE=4。
11．2
【解析】
【分析】
作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质得到PD＝PE＝1，根据平行线的性质求出∠PCB＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：作PE⊥OB于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝1，
∵∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCB＝∠AOB＝30°，
∴PC＝2PE＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．3
【解析】
【分析】
求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．
【详解】
解：CD＝BC﹣BD，
＝8cm﹣5cm＝3cm，
∵∠C＝90°，
∴D到AC的距离为CD＝3cm，
∵AD平分∠CAB，
∴D点到线段AB的距离为3cm．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．25°或45°
【解析】
【分析】
此题分点C在∠AOB的内部和外部两种情况讨论．
【详解】
(1)当点C在∠AOB的内部时，
∠EOF=12 ∠AOB?12∠BOC=35°?10°=25°
(2)当点C在∠AOB的外部时，
∠EOF=12∠AOB+12∠BOC=35°+10°=45°
故答案为25°或45°.
【点睛】
本题考查角平分线的定义及角的有关计算，分两种情况是解答关键.
14．①③
【解析】
【分析】
由已知条件易得∠BAD=∠CAD，AE=CE，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可．
【详解】
∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，
∴∠BAD=∠CAD，AE=CE，
①在△ABE中，∠BAD=∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；
②AO≠OD，所以BO不是△ABD的中线，故②错误；
③在△ADC中，AE=CE，DE是△ADC的中线，故③正确；
④∠ADE不一定等于∠EDC，那么ED不一定是△EBC的角平分线，故④错误；
∴正确的有2个选项①③.
【点睛】
本题考查三角形的角平分线、中线性质，熟练掌握性质是解题的关键
15．证明见解析.
【解析】
分析：根据角平分线的性质得出PE=PF，结合OP=OP得出Rt△OPE和Rt△OPF全等，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，从而得出答案．
详解：证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，
在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，
∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及中垂线的性质，属于基础题型．根据题意得出OC是线段EF的中垂线是解决这个问题的关键．
16．见解析.
【解析】
【分析】
首先根据AD平分∠CAB， ，可得CD=DE，即可证明△ACD≌△AED.
【详解】
证明： AD平分∠CAB

CD=DE
△ACD≌△AED（AAS）.
【点睛】
本题主要考查三角形的全等证明，是基本知识，应当熟练掌握.
17．（1）作图见解析；（2）30°.
【解析】
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质可得BP=AP，根据等边对等角可得∠B=∠PAB，然后再根据角平分线定义可得∠CAP=∠PAB，进而可得∠B=∠PAB=∠CAP，然后可得答案
【详解】
解：（1）如图：作线段AB的垂直平分线；
（2）∵PD是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠PAB，
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP＝∠PAB，
∴∠B＝∠PAB＝∠CAP，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠PAB+∠CAP＝90°，
∴∠B＝30°．
【点睛】
本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握性质是解题的关键
18．见解析.
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等，连接MN，作MN的垂直平分线，∠AOB的平分线，相交于点P，则点P即为建中转站的位置．
【详解】
解：如图所示：．
【点睛】
本题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，角平分线的作法是解题的关键．