【北师大版八年级数学下册同步训练】2.2 不等式的基本性质（含解析）

2.2不等式的基本性质同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a>b，得ac>bc B．由a>b，得–2a>–2b
C．由a>b，得–a>–b D．由a>b，得a–2>b–2
2．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．﹣3x+6＞﹣3y+6 B．2x＞2y C．﹣3x＜﹣3y D．x﹣6＞y﹣6
3．若a>b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+53b D．-4a > -4b
4．已知，则下列四个不等式中，不正确的是（　）
A． B． C． D．
5．已知，是有理数，下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．–5a>–5b B．5ac>5bc
C．a–5b–5
7．若，，则下列不等式成立的是（ ??）．
A．?????????????????????? B．
C．??????????????????????? ? D．
8．，为实数，且，则下列不等式的变形正确的是（ ）.
A． B． C． D．
9．下列判断正确的是（ ）
A．如果a>b，则 B．如果a>0，则>0；
C．如果a＋b>0，则a>0； D．如果a/b<0，则a>0，b<0
10．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，则__________（填“”“”或“”）．
12．若则a2______a
13．已知a＜b,用“＜”或“＞”号填空： ； _____.
14．若，则______.（填“、或”号）
15．下列不等式中一定成立的是（　　）.
A．5a＞4a B．?a＞?2a C．2a＜3a D．a+2＜a+3
16．若，用“＞”或“＜”填空：
（1） ____， ____，____；
（2） ____；
（3）____；
（4）____.
17．下列四个判断：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，则a|c|>b|c|；③若a>b，则<1；④若a>0，则b-a18．若a三、解答题
19．在生活中不等关系的应用随处可见．如图表示机动车驶入前方道路的最低时速限制．此标志设在高速公路或其他道路限速路段的起点，你会表示这些不等关系吗？
20．用适当的符号表示下列关系：
（1）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（2）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（3）明天下雨的可能性不小于70%；
21．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题.
（1）完成下列填空：
已知
用“”“或“”填空
_______
_______
（2）一般地，如果那么_______（用“”或“”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性
22．现有不等式的两个性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．②在不等式的两边都乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a 与a 的大小(a≠0)．
(2)利用性质②比较2a 与a 的大小(a≠0)．
23．已知四个互不相等的实数从小到大依次为a，b，c，d，且b-a＜d-c，它们两个之和分别是37，39，44，48，53，55．
（1）填空：a+b=______，c+d=______；（2）求a，b，c，d的值．
24．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)若a－b＞0，则a b；
(2)若a－b＝0，则a b；
(3)若a－b＜0，则a b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质依次对每项进行判断得出即可．
【详解】
A、由a>b，当c<0时，得acB、由a>b，得–2a<–2b，错误；
C、由a>b，得–a<–b，错误；
D、由a>b，得a–2>b–2，正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可判断.
【详解】
解：A、∵x＞y，∴﹣3x+6＜﹣3y+6，故原式错误，符合题意；
B、∵x＞y，∴2x＞2y，故原式正确，不符合题意；
C、∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，故原式正确，不符合题意；
D、∵x＞y，∴x﹣6＞y﹣6，故原式正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质.
3．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可判断.
【详解】
∵a>b，
∴A. a+5＞b+5，A错误；
B. ，B错误；
C. 3a>3b，正确
D. -4a ＜ -4b，D错误，
故选C.
【点睛】
此题主要考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的基本性质判断.
4．A
【解析】
【分析】
根据不等式性质，即可得到答案.
【详解】
解：∵，
∴，故A错误；BCD选项正确；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了不等式性质，解题的关键是掌握不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向要改变.
5．C
【解析】
A. 当c=0时，该不等式不成立。故本选项错误；
B. 不等式a?b，再在两边同时加上c，不等式仍成立，即c?a>c?b.故本选项错误；
C. 不等式aD. 当c=0时，该不等式不成立。故本选项错误；
故选C.
6．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断即可.
【详解】
∵a>b，∴–5a<5a，故选项A不合题意；
c的值不确定，不能得到5ac>5bc，错误，故选项B不合题意；
a–5a+5>b–5，正确，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查不等式的性质，运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意不等式的性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必然先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．确定一个式子为正数、0或负数的条件时，通常是把这个式子是正数、0或负数转化为不等或相等关系，构造不等式或方程，通过解不等式或解方程来求解.
7．D
【解析】
【分析】
不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
【详解】
解：A、∵ ，∴，故A不符合题意；
B、∵，∴，∴，故B不符合题意；
C、∵，， ∴ ，故C不符合题意；
D、∵，，∴?,故D符合题意；
故答案为：D
【点睛】
本题考查不等式的性质，正确掌握不等式的基本性质是解题关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质3、1可判断B，根据不等式的性质2，可判断C、D．
【详解】
解：A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误.故选：C．
【点睛】
本题考查不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
9．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可判断.
【详解】
A. a>b，不知道a,b的符号，无法判断的大小，故错误；
B. 如果a>0，则>0，正确；
C.a＋b>0，无法判断a>0，故错误；
D. 如果a/b<0，则a>0，b<0或a<0, b>0故错误；
故选B.
【点睛】
此题主要考查不等式的判断，解题的关键是熟知不等式的性质.
10．A
【解析】
【分析】
先将不等式两边都加上1知3a+1＞-6b+1，结合-6b+1＞-6b-1利用不等式的同向传递性可得答案．
【详解】
解：∵3a＞-6b，∴3a+1＞-6b+1，又-6b+1＞-6b-1，∴3a+1＞-6b-1，故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
11．
【解析】
【分析】
根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变进行解答．
【详解】
解：∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．＞
【解析】
【分析】
根据正数大于负数即可得出结果.
【详解】
解：∵
∴a2>1.
∴a2>a
故答案为>.
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数来判断即可.
13．<，>.
【解析】
【分析】
不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变.
【详解】
∵a根据不等式性质，不等式两边同时减去3，不等号方向不变
∴a-3根据不等式性质，不等式两边乘以-4，不等号方向改变
∴-4a>-4b
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解本题的关键是注意等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变.
14．
【解析】
【分析】
根据不等式的性质解答即可．
【详解】
不等式两边乘以-6，根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变可得：3m＞n．故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可得到结论．
【详解】
A. 当a=0，5a=4a，故错误；
B. 当a=0，?a=?2a，故错误；
C. 当a<0时, 2a＞3a，故错误；
D.a+2故选D.
【点睛】
此题考查不等式的性质，解题关键在于掌握运算法则.
16．>, >, >, <, >, <
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质对各小题进行逐一解答即可.
【详解】
解:因为a>b
所以（1）根据不等式性质1可得： >， >，>；
（2）因为-2<0，所以<；
（3）因为>0,所以>；
（4）因为-1<0,所以-a<-b，所以： <.
故答案为：(1). >, (2). >, (3). >, (4). <, (5). >, (6). <
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质,熟知不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变是解答此题的关键.
17．①④
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质判断即可得答案.
【详解】
∵ac2＞bc2
∴c2>0，
∴两边同时除以c2得到a＞b，故①正确；
若a＞b，如果c=0则a|c|=b|c|，故②错误；
若a＞b，a，b异号时＜1不成立，故③错误；
若a＞0，则b-a＜b．一定成立，故④正确；
故答案为：①④
【点睛】
本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
18．＞
【解析】
试题分析：不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
解：∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴﹣2a+9＞﹣2b+9
点评：能够通过观察理解由已知变化到所要比较的式子，是如何的得到的是解题的关键．
19．见解析．
【解析】
试题分析：先要了解图标的含义，然后根据含义列出不等式即可．图①表示最低时速限制；图②表示车辆过桥洞时限制车高的标志；图③表示车辆过桥时限制车宽的标志；图④车辆过桥时限制车重的标志．
试题解析：
①设时速为a千米/时，则a≥50；
②设车高为bm，则b≤3.5；
③设车宽为xm，则x≤3；
④设车重为yt，则y≤10．
20．（1）有r≥300；（2）3a+4b≤268；（3）P≥70%．?
【解析】试题分析：（1）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（2）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（3）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
试题解析：
（1）设炮弹的杀伤半径为r米，则应有r≥300；
（2）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；
（3）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%.
【点睛】一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
21．（1）>、<；（2）<，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的运算即可得出；
（2）利用（1）的规律判断，利用不等式的基本性质即可证明.
【详解】
解：（1），，故答案为>、<；
（2）结论：，理由如下：
∵，∴，
∵，∴.
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
22．(1)2a【解析】
试题分析：（1）根据不等式的性质①，可得答案；（2）根据不等式的性质②，可得答案．
试题解析：
(1)当a＞0时，a＋a＞a＋0，即2a＞a.
当a＜0时，a＋a＜a＋0，即2a＜a.
(2)当a＞0时，由2＞1，得2·a＞1·a，即2a＞a.
当a＜0时，由2＞1，得2·a＜1·a，即2a＜a.
23．（1）a+b=37，c+d=55；（2）a=16，b=21，c=23，d=32
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据不等式的性质，可得两数和的大小，结合题中数据可得答案．
【详解】
（1）∵四个互不相等的实数从小到大依次为a，b，c，d，且b-a＜d-c，
∴ 它们两个之和中,a+b最小，c+d最大，
∴ a+b=37，c+d=55；
（2）由题意a＜b＜c＜d，
所以a+b＜a+c＜b+c＜b+d＜c+d，
且a+b＜a+c＜a+d＜b+d＜c+d
又∵b-a＜d-c，∴b+c＜a+d，
∴a+b＜a+c＜b+c＜a+d＜b+d＜c+d
∴a+b=37，a+c=39，b+c=44，a+d=48，b+d=53，c+d=55，
可解得：a=16，b=21，c=23，d=32．
【点睛】
本题考查有理数的加法，确定两数和的大小是解题关键．
24．（1）＞；（2）=；（3）＜；（4）4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1
【解析】
【分析】
（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，结果仍是等式，等式的两边同时加上b即可；
（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
【详解】
（1）因为a﹣b＞0，所以a﹣b+b＞0+b，即a＞b；
（2）因为a﹣b=0，所以a﹣b+b=0+b，即a=b；
（3）因为a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，即a＜b．
（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
=b2+3
因为b2+3＞0，所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
故答案为＞、=、＜、4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
【点睛】
（1）本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握．