7.1 圆的概念、定理
一、圆的相关概念
1、定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个________旋转________，另一个端点所形成的图形叫做圆.
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于________（半径）；
（2）到定点的距离等于________的点都在同一个圆上.
即：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的________.
2、弦：连接圆上任意两点的________叫做弦，经过圆心的弦叫做________.
3、弧：圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧.
（1）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做________；
（2）大于半圆的弧叫做________，小于半圆的弧叫做________；
（3）能够重合的两个圆叫做________；
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________.
4、圆心角：顶点在________上的角叫做圆心角.
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆________，我们把这样的角叫做圆周角.
6、对称性：圆是________对称图形，任何一条直径所在________都是圆的对称轴；圆也是________对称圆形，对称中心是圆心，且具有旋转形不变的性质.
二、垂径定理
1、垂直于弦的直径________这条弦并且平分弦所对的两条________.
2、推论：
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论，称为知二推三.
（1）平分弦所对的优弧
（2）平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
（3）平分弦（不是直径）
（4）垂直于弦
（5）过圆心
三、弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________，所对的弦的________也相等.
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个________、两条________、两条________或两弦的________中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都________.
四、圆周角定理：
1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
2、推论：
（1）同弧或等弧所对的________相等；
（2）半圆（直径）所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________.
五、圆内接多边形：
1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接________，这个圆叫做这个多边形的________.
2、定理：圆的内接四边形的对角________，并且任何一个外角都等于它的________.
考点一：圆的相关概念
下列结论正确的是（ ）
A. 经过圆心的直线是圆的对称轴???????????????????? B. 直径是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴?????????????????? D. 与直径相交的直线是圆的对称轴
变式跟进1（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲.乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
/
考点二：垂径定理
垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是( )
A. ①②?③④ B. ①③?②④ C. ①④?②③ D. ②③?①④
变式跟进2如图，为⊙的弦， 于点．若， ，则⊙的半径长为__________．
/
考点三：弧、弦、圆心角、弦心距
如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
/
变式跟进3如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
/
考点四：圆周角定理
如图，A、B、C三点都在⊙O上，若∠BOC=80°，则∠A的度数等于（ ）
/
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
变式跟进4如图，的直径AB的长为10，弦AC的长为的平分线交于点D．
求BC的长； 求弦BD的长．
/
考点五：圆内接四边形
如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是( )
/
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
变式跟进5如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，AC平分∠BCD.
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)若BD=6cm，求⊙O的半径.
/
一、单选题
1.（2017?河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（?? ） /
A.?18°???????????????????????????????????????B.?36°???????????????????????????????????????C.?54°???????????????????????????????????????D.?72°
2.（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（?? ）
/
A.?26π???????????????????????????????????B.?13π???????????????????????????????????C.?
96??
5
???????????????????????????????????D.?
39
10
??
5
3．（2018?南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
/
A．58° B．60° C．64° D．68°
4．（2018·日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
/
A．
2
5
5
B．
5
5
C．2 D．
1
2
5．（2018?锦州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=2
2
,则AE2+BE2的值为 （ ）
/
A．8 B．12 C．16 D．20
6．（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）
/
A． B． C． D．
7．（2019·甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）
/
A．54° B．64° C．27° D．37°
8．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
/
A． B． C． D．
二、填空题
9.（2017?绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为________. /
10.（2017?永州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是
????
的中点，点E是
????
上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=________度． /
11．（2018?吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，
????
=
????
，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．
/
12．（2018?毕节）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．
/
13．（2018?绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
/
14．（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是，则它所对的圆心角的度数是______.
15．（2019·安徽）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
/
16．（2019·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______．
/
三、解答题
17.（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径 /
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求 ??
??
2
+??
??
2
的值
18．（2018?青海）如图△??????内接于⊙??，∠??=
60
°
，CD是⊙??的直径，点P是CD延长线上一点，且????=????．
(1)求证：PA是⊙??的切线；
(2)若????=
5
，求⊙??的直径．
/
19．（2019·江西）在△??????中，????=????，点??在以????为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦????，使????//????；
/
（2）在图2中以????为边作一个45°的圆周角．
/
20．（2019·云南）如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=.
(1)求证：△DEB∽△DAE；
(2)求DA，DE的长；
(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.
/
一、单选题
1．（2018?鸡西模拟）已知点M、N在以AB为直径的圆O上，∠MON=x°，∠MAN= y°， 则点(x，y)一定在（ ）
A．抛物线上 B．过原点的直线上 C．双曲线上 D．以上说法都不对
2．（2018?苏州模拟）下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆； ③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④直径为圆中最长的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2018?安庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD=4，BD=5，则OA的长度为（ ）
/
A．
27
6
B．
15
6
C．
25
6
D．
2
3
4．（2018?宝鸡二模）如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是
????
上一点，连接PB、PC，若AD=2AB，则cos∠BPC的值为（ ）
/
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
2
D．
3
5
10
5．（2019·滨州模拟）下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A．/ B．/C．/ D．/
6．（2019·三明模拟）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（ ）
/
A．8 B．10 C． D．
7．（2019·濮阳模拟）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
/
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2019·沈阳模拟）如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米
/
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018?张家界模拟）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=___°．
/
10．（2018·重庆模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为_____．
/
11．（2018?南昌三模）如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝_______度．
/
12．（2018?山西模拟）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将
????
沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的
????
上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）
/
13．（2019·北京模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____．
/
14．（2019·安徽模拟）如图，AB是⊙??的一条弦，P是⊙?? 上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若????=4，∠??????=45°，则CD长的最大值为________________．
/
15．（2019·泰兴模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝_____．
/
16．（2019·大庆模拟）如图，菱形ABCD中，sin∠BAD＝ ，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AD于点E，已知DE＝1cm；菱形ABCD的周长为_____
/
三、解答题
17．（2018?连云港模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
/
18．（2018?哈尔滨调研）如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，点E为弧AD上一点，连接CE、DE，CD与AB交于点N．
（1）如图1，求证：∠AND=∠CED；
（2）如图2，AB为⊙O直径，连接BE、BD，BE与CD交于点F，若2∠BDC=90°﹣∠DBE，求证：CD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OF，若BE=BD+4，BC=2
10
，求线段OF的长．
/
19．（2019·南京模拟）如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(不与点、重合).
(1)当圆心在内部，时，________.
(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;
(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.
/
20．（2019·宁波模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，tan∠BAC=，BC=3，点D为线段AC上一动点，过点D作AB的垂线交⊙O于点E，交AB于点F，连结BD，CF，并延长BD交⊙O于点H．
(1)求⊙O的半径；
(2)当DE经过圆心O时，求AD的长；
(3)求证：=；
(4)求CF?DH的最大值．
/
/
7.1 圆的概念、定理
一、圆的相关概念
1、定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
即：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合.
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
（1）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（2）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；
（3）能够重合的两个圆叫做等圆；
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4、圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角.
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
6、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称圆形，对称中心是圆心，且具有旋转形不变的性质.
二、垂径定理
1、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧.
2、推论：
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论，称为知二推三.
（1）平分弦所对的优弧
（2）平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
（3）平分弦（不是直径）
（4）垂直于弦
（5）过圆心
三、弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等.
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.
四、圆周角定理：
1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2、推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
五、圆内接多边形：
1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
考点一：圆的相关概念
下列结论正确的是（ ）
A. 经过圆心的直线是圆的对称轴???????????????????? B. 直径是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴?????????????????? D. 与直径相交的直线是圆的对称轴
【答案】A
【解析】因为A选项,经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A选项正确,
B选项,直径所在的直线是圆的对称轴,所以B选项错误,
C选项,与圆相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以C选项错误,
D选项,与直径相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.故选A.
【点评】本题考查了圆的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握圆的对称性.
变式跟进1（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲.乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
/
【答案】（1）相等；（2）相等.
【解析】解：（1）BC=AB-AC=10，
甲所走的路径长=?2?π?=?2?π?=20π（m），
乙所走的路径长=?2?π?+?2?π?=?2?π?+?π?=20π（m），
所以两人所走路程的相等；
（2）两人走的路程远近相同．理由如下：甲所走的路径长=?2?π?=π?AB，
乙所走的路径长=?2?π?+?2?π?+?π?=π（AC+CD+DB）=π?AB，
即两人走的路程远近相同．
【点评】（1）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC和BC为直径的两个半圆长的和，然后根据圆的周长公式进行计算，再比较大小即可；
（2）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC、CD和DB为直径的三个半圆长的和，然后根据圆的周长公式分别计算他们所走的路径，再比较大小即可.
考点二：垂径定理
垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是( )
A. ①②?③④ B. ①③?②④ C. ①④?②③ D. ②③?①④
【答案】B
【解析】垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧，故本题选B．
【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理及其推论即可得出答案.
变式跟进2如图，为⊙的弦， 于点．若， ，则⊙的半径长为__________．
/
【答案】
【解析】解：∵，
∴为的中点，
∴，
在中， ， ，
∴．
∴⊙的半径为．
故答案为：
【点评】利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，进行解题即可.
考点三：弧、弦、圆心角、弦心距
如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________?°．
/
【答案】75
【解析】解：∵，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°.
【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角也相等，熟知相关性质是解题的关键.
变式跟进3如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
/
【答案】证明见解析.
【解析】证明：如图,∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴AE=BE,CF=DF,在△OBE与△ODF中,
,
∴△OBE≌△ODF（HL）,
∴BE=DF,2BE=2DF,
即AB=CD.
/
【点评】先利用HL定理可证得△OBE≌△ODF,可证BE=DF,继而可证AB=CD.
考点四：圆周角定理
如图，A、B、C三点都在⊙O上，若∠BOC=80°，则∠A的度数等于（ ）
/
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
【答案】B
【解析】解：由圆周角定理，得：∠A=∠BOC=40°．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理，结合图形并熟练应用圆周角定理是解题的关键.
变式跟进4如图，的直径AB的长为10，弦AC的长为的平分线交于点D．
求BC的长； 求弦BD的长．
/
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC===5；
（2）如图，连接BD，同理可知∠ADB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD．∵AD2+BD2=AB2，∴2BD2=100，解得：BD=5．
/
【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
考点五：圆内接四边形
如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是( )
/
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
【答案】B
【解析】解：四边形是圆内接四边形，
故选B.
【点评】利用圆内接四边形的对角互补即可解答.
变式跟进5如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，AC平分∠BCD.
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)若BD=6cm，求⊙O的半径.
/
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：∵AC平分∠BCD，∠BCD=120° ,
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∵∠ACD=∠ABD, ∠ACB=∠ADB .
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∴△ABD是等边三角形.
（2）解：作直径DE,连结BE
/
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°
∴∠BED=∠BAD=60°
∵DE是直径,
∴∠EBD=90°.
∴∠EDB=30°.
∴DE=2BE .
设EB=x,则ED=2x,
∴（2x）2-x2=62.
∵x＞0.
∴.
∴
即.
【点评】本题目是一道圆的简单证明题目，以圆的内接四边形为背景，圆的内接四边形的对角互补，在圆中往往通过连接直径构造直角三角形.在通过三角函数或勾股定理来求解线段的长度.
一、单选题
1.（2017?河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（?? ） /
A.?18°???????????????????????????????????????B.?36°???????????????????????????????????????C.?54°???????????????????????????????????????D.?72°
【答案】B
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴
????
=
????
， ∴∠CAB=∠BAD=36°， ∵∠BCD=∠BAD， ∴∠BCD=36°， 故选B． 【点评】根据垂径定理推出
????
=
????
，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
2.（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（?? ）
/
A.?26π???????????????????????????????????B.?13π???????????????????????????????????C.?
96??
5
???????????????????????????????????D.?
39
10
??
5
【答案】B
【解析】解：连接OA，
/ ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴AM=
1
2
AB=6， ∵OM：MD=5：8， ∴设OM=5x，DM=8x， ∴OA=OD=13x， ∴AM=12x=6， ∴x=
1
2
， ∴OA=
1
2
×13， ∴⊙O的周长=2OA?π=13π， 故选B． 【点评】连接OA，根据垂径定理得到AM=
1
2
AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=
1
2
×13，于是得到结论．
3．（2018?南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
/
A．58° B．60° C．64° D．68°
【答案】A
【解析】根据????=????，根据等边对等角得到∠??=∠??????=
32
°
,根据????是直径，得到∠??????=
90
°
,根据直角三角形的性质即可求得∠??的度数.
解：因为????,????均为半径，
所以????=????，
所以∠??=∠??????=
32
°
,
因为????是直径，
所以∠??????=
90
°
,
在△??????中，
∠??=
90
°
?∠??=
58
°
.
故选：A.
【点评】本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
4．（2018·日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
/
A．
2
5
5
B．
5
5
C．2 D．
1
2
【答案】D
【解析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.
解：∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB=
1
2
，
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．
5．（2018?锦州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=2
2
,则AE2+BE2的值为 （ ）
/
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定理可得??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
=
4
2
=16,由此即可得结论.
解：∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=2
2
，
∴EF=4；
连接BD，
/
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中，??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
=
4
2
=16,
∴AE2+BE2=16.
故选C.
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.
6．（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连结，，设半径为r，根据垂径定理得 ，在中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
解：连结，，如图，设半径为，
/
∵，，
∴，点、、三点共线，
∵，
∴，
在中，
∵，，
即，
解得，
故选：B.
【点评】本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
7．（2019·甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）
/
A．54° B．64° C．27° D．37°
【答案】C
【解析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．
解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∵∠CDB＝∠BOC＝27°
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
二、填空题
9.（2017?绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为________. /
【答案】90°
【解析】解：∠DAE与∠DOE在同一个圆中，且所对的弧都是
????
， 则∠DOE=2∠DAE=2×45°=90°. 故答案为90°. 【点评】运用圆周角与圆心角的关系即可解答.
10.（2017?永州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是
????
的中点，点E是
????
上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=________度． /
【答案】100
【解析】如图，
/ 连接AE， ∵点D是
????
的中点， ∴∠AED=∠CED， ∵∠CED=40°， ∴∠AEC=2∠CED=80°， ∵四边形ADCE是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠AEC=180°， ∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°， 故答案为：100． 【点评】可利用等弧所对的圆周角相等，连结AE，构造出另一个圆周角∠AED=∠CED，同时构造出圆内接四边形AECD，利用其性质对角互补即可求出.
11．（2018?吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，
????
=
????
，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．
/
【答案】29
【解析】由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，∠BDC=
1
2
∠BOC求解即可；
解：连接OC，
/
∵
????
=
????
，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=
1
2
∠BOC=29°，
故答案为29．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（2018?毕节）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．
/
【答案】30°
【解析】连接OC,由题意得出△AOC是等边三角形即可解答.
解：如图，连接OC．
/
∵AB是直径，
????
=
????
=
????
，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【点评】本题考查了等弧所对的圆心角相等的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关知识.
13．（2018?绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
/
【答案】10或70
【解析】分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得.
解：如图，作半径????⊥????于C，连接OB，
/
由垂径定理得：????=
1
2
AB=
1
2
×60=30cm，
在????△??????中，????=
50
2
?
30
2
=40????，
当水位上升到圆心以下时??水面宽80cm时，
则????′=
50
2
?
40
2
=30????，
水面上升的高度为：40?30=10????；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70????，
综上可得，水面上升的高度为30cm或70cm，
故答案为：10或70．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
14．（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是，则它所对的圆心角的度数是______.
【答案】30°.
【解析】直接根据圆周角定理求解．
解：根据圆周角定理：是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，可知它所对的圆心角的度数是30°
故答案为： 30°.
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（2019·安徽）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
/
【答案】
【解析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
/
【点评】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
16．（2019·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______．
/
【答案】16
【解析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16．
解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，
/
∵，
∴，
∵以点为圆心的圆与轴相切．
∴的半径为3，
∴，
∵是直径，
∴，
∴长度的最大值为16，
故答案为16．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键．
三、解答题
17.（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径 /
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求 ??
??
2
+??
??
2
的值
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE是⊙O的直径， ∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE是等腰直角三角形. （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB, 同理AP=AE, 又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ∴CP=BE, 在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2, ∴CP2+PB2=PE2=4.
【点评】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证. （2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
18．（2018?青海）如图△??????内接于⊙??，∠??=
60
°
，CD是⊙??的直径，点P是CD延长线上一点，且????=????．
(1)求证：PA是⊙??的切线；
(2)若????=
5
，求⊙??的直径．
/
【答案】（1）见解析；（2）⊙??的直径为2
5
．
【解析】(1)连接OA，根据圆周角定理求出∠??????，再根据同圆的半径相等从而可得∠??????=∠??????=
30
°
，继而根据等腰三角形的性质可得出∠??=
30
°
，继而由∠??????=∠???????∠??，可得出????⊥????，从而得出结论；
(2)利用含
30
°
的直角三角形的性质求出????=2????，可得出?????????=????，再由????=
5
，可得出⊙??的直径．
解：(1)连接OA，如图，
/
∵∠??=
60
°
，
∴∠??????=2∠??=
120
°
，
又∵????=????，
∴∠??????=∠??????=
30
°
，
又∵????=????，
∴∠??=∠??????=
30
°
，
∴∠??????=∠???????∠??=
90
°
，
∴????⊥????，
∴????是⊙??的切线．
(2)在????△??????中，∵∠??=
30
°
，
∴????=2????=????+????，
又∵????=????，
∴????=????，
∵????=
5
，
∴2????=2????=2
5
．
∴⊙??的直径为2
5
．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
19．（2019·江西）在△??????中，????=????，点??在以????为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦????，使????//????；
/
（2）在图2中以????为边作一个45°的圆周角．
/
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）分别延长????、????交半圆于??、??，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到∠??=∠??????，则可判断????//????；
（2）在（1）基础上分别延长????、????，它们相交于??，则连接????交半圆于??，然后证明????⊥????，从而根据圆周角定理可判断∠??????=45°．
解：（1）如下图：分别延长????、????交半圆于??、??，线段????为所求弦．
/
理由如下：∵AB=BC,
∴∠B=∠C，
又∵
????
=
????
，
∴∠F=∠C，
∴∠C=∠F，
∴EF∥BC，
（2）如下图，（以下画法供参考）：在（1）基础上分别延长????、????，它们相交于??，则连接????交半圆于??， 则∠??????为所作．
理由如下：∵EF∥BC，
∴
????
=
????
，
∴∠EBC=∠FCB，
∴MC=MB，
又∵AB=AC，
∴MA垂直平分BC，
∴D为
????
的中点，
∵
????
为半圆，
∴∠CBD=45°.
【点评】本题考查了作图?复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
20．（2019·云南）如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=.
(1)求证：△DEB∽△DAE；
(2)求DA，DE的长；
(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.
/
【答案】(1)证明见解析； (2)DA=，DE=；(3)MD＝.
【解析】(1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判定即可；
(2)由直径所对的圆周角是直角可得BE⊥AF，再根据中垂线的性质可得AB=BF=10，由△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=，可得cos ∠EAD = ，在Rt△ABE中，解直角三角形可求得AE的长，BE的长，再由△DEB ∽△DAE，根据相似三角形的对应边成比例可得 ， 结合DB=DA-AB即可求得AD、DE的长；
(3)连接FM，根据∠BEF＝90°，根据90度角所对的弦是直径可确定出BF是B、E、F三点确定的圆的直径，再根据点F在B、E、M三点确定的圆上，可得四点F、E、B、M在同一个圆上，继而确定出点M在以BF为直径的圆上，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝可求得AM的长，再根据MD＝DA－AM即可求得答案.
解：(1)DE2＝DB·DA，
∴，
又∵∠D＝∠D，
∴△DEB∽△DAE；
(2)∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，
又∵AE=EF，BF=10，
∴AB=BF=10，
∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=，
∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=，
在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝，得AE=ABcos∠EAD=8，
∴，
∵△DEB ∽△DAE，
∴，
∵DB=DA-AB=DA-10，
∴，解得，
经检验，是的解，
∴DA=，DE=；
(3)连接FM，
/
∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，
∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，
∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，
∴点M在以BF为直径的圆上，
∴FM⊥AB，
在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝得
AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×＝，
∴MD＝DA－AM＝.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，确定圆条件，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
一、单选题
1．（2018?鸡西模拟）已知点M、N在以AB为直径的圆O上，∠MON=x°，∠MAN= y°， 则点(x，y)一定在（ ）
A．抛物线上 B．过原点的直线上 C．双曲线上 D．以上说法都不对
【答案】B
【解析】由圆周角定理得出∠MON与∠MAN的关系，从而得出x与y的关系式，进而可得出答案.
解：∵∠MON与∠MAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角，
∴∠MAN=
1
2
∠MON，
∴??=
1
2
?? ，
∴点(x，y)一定在过原点的直线上.
故选B.
【点评】本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
2．（2018?苏州模拟）下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆； ③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④直径为圆中最长的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据圆周角定理对③行判断，根据直径对④判断．
解：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以①错误；不共线的三点确定一个圆，所以②错误；在圆中，任何一条弦都对应着两条弧，而这两条弧一般是不相等的，只有弦是直径时，所对的两条弧才相等，故③错误；直径为圆中最长的弦，故④正确；
故选：A.
【点评】本题考查的是圆，熟练掌握垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论和确定圆的条件是解题的关键.
3．（2018?安庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD=4，BD=5，则OA的长度为（ ）
/
A．
27
6
B．
15
6
C．
25
6
D．
2
3
【答案】C
【解析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由勾股定理求出BH=3，设OD=x，则OH= x-3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：连接OD，如图所示：
/
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵HD=4，BD=5，
∴BH=3，
设OD=x，则OH= x-3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2=（x-3）2+42，
解得：x=
25
6
，
∴OA=OD=
25
6
，
故选C．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
4．（2018?宝鸡二模）如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是
????
上一点，连接PB、PC，若AD=2AB，则cos∠BPC的值为（ ）
/
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
2
D．
3
5
10
【答案】A
【解析】连接BD，根据圆周角定理可得cos∠BDC=cos∠BPC，又BD为直径，则∠BCD=90°，设DC为x，则BC为2x，根据勾股定理可得BD=
5
x，再根据cos∠BDC=
????
????
=
??
5
??
=
5
5
，即可得出结论.
解：连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD过圆心O，
∵∠BDC=∠BPC（圆周角定理）
∴cos∠BDC=cos∠BPC
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵
????
????
=
1
2
,
∴设DC为x，
则BC为2x，
∴BD=
??
??
2
+??
??
2
=
??
2
+
2??
2
=
5
x，
∴cos∠BDC=
????
????
=
??
5
??
=
5
5
，
∵cos∠BDC=cos∠BPC，
∴cos∠BPC=
5
5
.
故答案选A.
/
【点评】本题考查了圆周角定理与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的应用.
5．（2019·滨州模拟）下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A．/ B．/C．/ D．/
【答案】D
【解析】根据圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．
解：A中，∠A=∠B； B中，∠A与∠B的大小无法判定； C中，∠A+∠B=180°； D中，∠B=2∠A． 故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．（2019·三明模拟）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（ ）
/
A．8 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．
解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝,
∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝，
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．
7．（2019·濮阳模拟）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
/
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
8．（2019·沈阳模拟）如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米
/
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r， 根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
/
二、填空题
9．（2018?张家界模拟）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=___°．
/
【答案】40．
【解析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．
解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACB=∠D=40°．
故答案为：40．
/
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
10．（2018·重庆模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为_____．
/
【答案】130°
【解析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可．
解：∵OA=OB，∠ABO=40°，
∴∠AOB=100°，
∴∠ACB=×（360°﹣100°）=130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握等弧所对的圆周角等于其所对圆心角的二分之一是解答本题的关键.
11．（2018?南昌三模）如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝_______度．
/
【答案】90
【解析】根据垂径定理得出
????
=
????
，根据∠CAB=67.5°求出
????
和
????
的度数都是135°，求出
????
的度数，即可得出答案．
解：∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴
????
=
????
，
∵∠CAB=67.5°，
∴
????
和
????
的度数都是2×67.5°=135°，
∴
????
的度数是360°-135°-135°=90°，
∴∠AOB=90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，能求各段弧的度数是解此题的关键．
12．（2018?山西模拟）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将
????
沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的
????
上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）
/
【答案】①②
【解析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．
解：如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．
/ 由题知：
????
沿着弦AB折叠，正好经过圆心O ∴OF=OA=
1
2
OB ∴∠AOF=∠BOF=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等） ∠D=
1
2
∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半） ∴∠ACD=180°-∠ACB=60° ∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形） 故，①②正确 ?? 下面研究问题EO的最小值是否是1 /? 如图2，连接AE和EF ∵△ACD是等边三角形，E是CD中点 ∴AE⊥BD（三线合一） 又∵OF⊥AB ∴F是AB中点 即，EF是△ABE斜边中线 ∴AF=EF=BF 即，E点在以AB为直径的圆上运动． 所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小 /
此时，AE=EF，AE⊥EF ∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1 ∴AF=
3
（勾股定理） ∴OE=EF-OF=AF-OF=
3
-1 所以，③不正确 综上所述：①②正确，③不正确． 故答案是：①②．
【点评】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
13．（2019·北京模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____．
/
【答案】6
【解析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6，
故答案为：6．
/
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
14．（2019·安徽模拟）如图，AB是⊙??的一条弦，P是⊙?? 上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若????=4，∠??????=45°，则CD长的最大值为________________．
/
【答案】2
2
【解析】由三角形中位线定理可得????＝
1
2
???? ，即当????为直径时，????长最大，由直角三角形的性质可求????的长，即可求解．
解：∵C，D分别是AB，BP的中点
∴????＝
1
2
???? ，
当????为直径时，????长最大，
∵????为直径，
∴∠??????＝90° ，且∠??????＝45° ，????＝4 ，
∴???????? 为等腰直角三角形，
∴????＝4
2
∴????＝
1
2
????=2
2
∴CD长的最大值为2
2
故答案为2
2
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，熟练运用圆周角定理是解题的关键．
15．（2019·泰兴模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝_____．
/
【答案】28°
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABD=62°，
∴∠ACD=∠ABD=62°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°．
故答案为28°．
【点评】本题考查圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
16．（2019·大庆模拟）如图，菱形ABCD中，sin∠BAD＝ ，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AD于点E，已知DE＝1cm；菱形ABCD的周长为_____
/
【答案】10cm
【解析】连接BE，根据圆周角定理可得∠DEB=90°，根据三角函数定义设未知数，由AB=AD列方程可得结论．
解：连接BE，
/
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
Rt△ABE中，sin∠BAD＝ ，
设BE＝4x，AB＝5x，则AE＝3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵DE＝1，
∴5x＝1+3x，
x＝ ，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×5×＝10cm，
故答案为：10cm
【点评】此题主要考查了圆周角定理、菱形的性质以及锐角三角函数关系的应用，正确设未知数是解题关键．
三、解答题
17．（2018?连云港模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
/
【答案】(1)5;(2)6
【解析】（1）⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，根据垂径定理得到AC=
1
2
AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在Rt△AOC中，根据勾股定理即可求出求⊙O半径OA的长；
（2）AE是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，在Rt△ABE中，用勾股定理即可求得EB的长．
解：（1）∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
/
∴AC=
1
2
AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r-2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r-2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴⊙O半径OA的长为5.
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴????=
??
??
2
???
??
2
=
1
0
2
?
8
2
=6.
【点评】属于圆的综合题，考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
18．（2018?哈尔滨调研）如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，点E为弧AD上一点，连接CE、DE，CD与AB交于点N．
（1）如图1，求证：∠AND=∠CED；
（2）如图2，AB为⊙O直径，连接BE、BD，BE与CD交于点F，若2∠BDC=90°﹣∠DBE，求证：CD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OF，若BE=BD+4，BC=2
10
，求线段OF的长．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）OF=
5
.
【解析】（1）连接BE，则∠CAB=∠CEB，∠BCD=∠DEB，由CD是∠ACB的平分线得∠ACD=∠BCD，从而，∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB；由∠CAB+∠ACD=∠AND可得结论；
（2）根据2∠BDC=90°-∠DBE得∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC，由∠BDC=∠BAC得∠BDC+∠DBE=∠CFB，结合AB是直径可得∠CFB=∠CBN，从而可证明∠CDE=∠CED，故可得结论；
（3）过C作CM⊥BE，CK⊥DB易证△CEM≌△CDK，△CMB≌△CKB从而求出CM=6，作FH⊥BC于点H,FH交CM于点G，易证△CGH≌△FHB，得CG=BF，设FM=x，利用tan∠GFM=tan∠MCB=
1
3
=
4???
??
求得 FM=3,CF=3
5
. 作EQ⊥DF交DF于点Q，通过△CBF∽△EDF设FQ=3k，EQ==6k，则DQ=2k,EF=3
5
k，DE=2
10
k得BE=5+3
5
k，BD=BE-4=3
5
k+1，作DP⊥BE交于点P，运用勾股定理求出k的值，连接OD,在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5，故OF=
5
.
解： (1)证明：连接BE.
/
∠CED=∠CEB+∠DEB
∠AND=∠CAB+∠ACD
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠ACD=∠BCD=∠DEB
∵∠CAB=∠CEB，
∴∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB
∠CED=∠AND；
(2)∵2∠BDC=90-∠DBE
∴∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC
∵∠BDC=∠BAC
∴∠BDC+∠DBE=∠CFB
∴90°-∠DBE=90°-∠CAB
∵AB是直径，∴∠ACB=90
∴∠CFB=∠CBN，
∠CNB=∠CBE=∠CDE
∠CNB=∠AND=∠CED
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD；
(3)过C作CM⊥BE，CK⊥DB
∴∠CME=∠CKD=90°，∠CEM=∠CDK，CE=CD
∴△CEM≌△CDK，∴EM=DK，CM=CK
∴△CMB≌△CKB，∴BM=BK
∴BE-BD=2BM=4，BM=2，∴CM=6.；
作FH⊥BC于点H,FH交CM于点G
/
∵∠FCB=45°∴△CGH≌△FHB，∴CG=BF
设FM=x，∴CG=BF=x+2，GM=6-(x+2)=4-x
tan∠GFM=tan∠MCB=
1
3
=
4???
??
∴x=3,FM=3,CF=3
5
.
∵△CBF∽△EDF(可以用正切值相等)
作EQ⊥DF交DF于点Q
设FQ=3k，EQ==6k，则DQ=2k,EF=3
5
k，DE=2
10
k
∴BE=5+3
5
k，BD=BE-4=3
5
k+1
作DP⊥BE交于点P,∵∠PED=∠BCD=45°,
∴PD=PE=
1
2
DE=2
5
k,PB=BE-PE=5+
5
k；
在Rt△PDB中，PB2+PD2=DB2,(5+
5
k)2+(2
5
k)2=(3
5
k+1)2
∴k=
3
5
5
, DF=5k=3
5
=CF, BD=3
5
k+1=10,；
∴OF⊥CD
连接OD,∴∠AOD=∠BOD=90°,∴OD=
1
2
BD=5
2
在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5，∴OF=
5
【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．综合性比较强，难度偏大．
19．（2019·南京模拟）如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(不与点、重合).
(1)当圆心在内部，时，________.
(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;
(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.
/
【答案】（1）120；（2）60；（3）|∠ABO﹣∠ADO|＝60°.
【解析】（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；
（2）根据平行四边形的性质得∠BOD=∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠A，则∠BCD=2∠A，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD+∠A=180°，易计算出∠A的度数；
（3）讨论：当∠OAB比∠ODA小时，如图2，与（1）一样∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，
所以∠ADO-∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO-∠ADO=60°．
解： (1)连接OA,如图1,
/
∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°；
故答案为120°；
(2)∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BCD=2∠A，
∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，
∴∠A=60°；
(3)当∠OAB比∠ODA小时，如图2，
/
∵OA=OB,OA=OD,
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD?∠OAB=∠ADO?∠ABO=∠BAD，
由(2)得∠BAD=60°，
∴∠ADO?∠ABO=60°；
当∠OAB比∠ODA大时，
同理可得∠ABO?∠ADO=60°，
综上所述,.
20．（2019·宁波模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，tan∠BAC=，BC=3，点D为线段AC上一动点，过点D作AB的垂线交⊙O于点E，交AB于点F，连结BD，CF，并延长BD交⊙O于点H．
(1)求⊙O的半径；
(2)当DE经过圆心O时，求AD的长；
(3)求证：=；
(4)求CF?DH的最大值．
/
【答案】（1）5；（2）；（3）见解析；（4）当时，为最大值
【解析】由AB是直径知，依据及勾股定理求解可得；
由知，结合为公共角可证∽得，据此可得；
由∽知，结合为和的公共角可证∽，依据相似三角形的性质可得答案；
连接CH，先证∽得，即，再设，则，，从而得出，利用二次函数的性质求解可得．
解：为直径，
，
，
，
由勾股定理：；
，
，
为和的公共角，
∽，
，
；
由可得∽，
，即，
又为和的公共角，
∽，
；
连结CH，
/
由知∽，
，
，
，
又，
∽，
，即，
设，则，，
，
当时，为最大值．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理及二次函数的性质的运用等知识点．
/
