7.2 与圆有关的位置关系
一、点与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
（1）点在圆内；
（2）点在圆________；
（3）点在圆外；
/
2、不在同一条直线上的________点确定一个圆.
3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的________. 外接圆的圆心是三角形三条边的________的交点，叫做这个三角形的________心.
二、直线与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
（1）直线与圆相交（图1）有________交点；
（2）直线与圆相切（图2）有________交点；
（3）直线与圆________（图3）无交点；
/
2、相关概念：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________.
（2）直线和圆有________公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做________.
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________，
（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的________之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________心.
3、相关定理：
（1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于________的直线是圆的切线.
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过________的半径；
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过________；
推论2：过切点垂直于切线的直线必过________.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________.
三、圆和圆的位置关系
1、设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，则
（1）两圆外离（图1）无交点；
（2）两圆外切（图2）有一个交点；
（3）两圆相交（图3）有两个交点；
（4）两圆内切（图4） 有一个交点；
（5）两圆内含（图5）无交点；
/////
2、相关概念：
（1）如果两个圆没有公共点，那么这两个圆________，分为________（图1）和________（图5）两种情况；
（2）如果两个圆只有________公共点，那么这两个圆________，分为________（图2）和________（图4）两种情况；
（3）如果两个圆有________公共点，那么这两个圆相交.
考点一：点与圆的位置关系
已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP=6cm，则点P（?? ）
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.不能确定
变式跟进1如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为 3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（?? ）
/
A.?点B??????????????????????????????????????/B.?点D??????????????????????????????????????/C.?点E??????????????????????????????????????/D.?点A
考点二：确定圆的条件
如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
/
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
变式跟进2如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A，B，C的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．
/
考点三：三角形与外接圆
直角三角形两直角边长分别为
3
和1，那么它的外接圆的直径是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
变式跟进3如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（?? ）
/
A.?O是△AEB的外心，O是△AED的外心???????????????????/B.?O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C.?O不是△AEB的外心，O是△AED的外心????????????????/D.?O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
考点四：直线与圆的位置关系
在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心2.5cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（?? ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
变式跟进4如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．
/
考点五：圆和圆的位置关系
如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（????? ）
A.?外离?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?内切
变式跟进5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为 ?? 的圆相交，那么 ?? 的取值范围是（?? ）
A.???<5 ；??????????????????????????/B.???>5 ；??????????????????????????/C.???<10 ；??????????????????????????/D.?5考点六：切线的性质与判定
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
/
变式跟进6如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是
????
的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD=
4
5
，BF=15，求AC的长．
/
考点七：三角形与内切圆
在△ABC中，I是内心，∠ BIC=130°，则∠A的度数为________。
变式跟进7已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（?? ）
A.32 B.34 C.27 D.28
考点八：切线长定理
如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2
3
，则线段AB的长是（?? ）
/
A.
3
B.3 C.2
3
D.3
3
变式跟进8如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．
/
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA=2时，求AB的长．
一、单选题
1.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ / ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 / 的长为?????????? （? ??????）
/
A.?/?????????????????????????????????????????/B.?/?????????????????????????????????????????/C.?/?????????????????????????????????????????/D.?/
2.（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（?? ）
A.?0≤b＜2/???????????/B.?﹣2 /???????????/C.?﹣2 / 2 /???????????/D.?﹣2 / ＜b＜2 /
3．（2018·常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）
/
A．76° B．56° C．54° D．52°
4．（2018·重庆b卷）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2
3
，则线段CD的长是（ ）
/
A．2 B．
3
C．
3
2
D．
3
2
3
5．（2018·上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
/
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
6．（2019·台州）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（ ）
/
A． B．3 C．4 D．
7．（2019·无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
/
A．20° B．25° C．40° D．50°8．（2019·广西）如图，为的直径，是的切线，切点分别为点，点为线段上的一个动点，连接，已知，，当的值最小时，则的值为（ ）
/
A． B． C． D．
二、填空题
9.（2017?大庆）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为________．
10.（2017?上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是________．
/
11．（2018·益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.
/
12．（2018·内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为__________．
/
13．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．
/
14．（2019·河池）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____．
/
15．（2019·常州）如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．
/
16．（2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，…，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为_____．（为正整数）
/
三、解答题
17.（2017?福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 / 的长；
（Ⅱ）若 / = / ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
/
18．（2018·曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=
3
，求四边形OCDB的面积．
/
19．（2019·毕节）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.请你写出推理过程.
/
20．（2019·天津）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
/
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
一、单选题
1．（2018?芜湖二模）如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是( )
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
2．（2018?上海三模）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离
B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切
C．如果一条直/线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切
D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离
3．（2018?潍坊模拟）如图，圆O是等边三角形内切圆，则∠BOC的度数是（ ）
/
A．60° B．100° C．110° D．120°
4．（2018?德阳模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC下列结论：①∠P+∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③∠DBA=∠ABP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有（ ）
/
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
5．（2019·宜兴模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
/
A．8 B．6 C．12 D．10
6．（2019·上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
/
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
7．（2019·金华模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
/
A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
8．（2019·滨州模拟）如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )
/
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018?连云港模拟）如图，在⊙O中，PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，点C是⊙O上一点，连接BC、DC，∠APD=30°，则∠BCD=______．
/
10．（2018?乌拉特前旗一模）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为________．
/
11．（2018·内江模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是_____．
/
12．（2018?玉林三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．
/
13．（2019·益阳模拟）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是_____°．
/
14．（2019·绥化模拟）如图，等边△ABC中，AB＝4，O为三角形中心，⊙O的直径为1，现将⊙O沿某一方向平移，当它与等边△ABC的某条边相切时停止平移，记平移的距离为d ，则d的取值范围是 ．
/
15．（2019·台州模拟）如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为______．
/
16．（2019·岳阳模拟）如图，在△ABC中，CA=CB=10，AB=12，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．则下列结论：①DF⊥AC；②DO=DB；③cos∠E=．正确的是__.
/
三、解答题
17．（2018?咸宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．
（1）求证：FD=CD；
（2）若AE=8，tan∠E=
3
4
，求⊙O的半径．
/
18．（2018?无锡四模）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为/斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．
（1）如图2，ω＝45°，矩形OAB/C中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．
②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
/
（2）若ω＝120°，O为坐标原点．
①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝4
3
，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．
②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是 ．
/
19．（2019·北京模拟）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
/
20．（2019·武汉模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点．
（1）求证：∠P＝180°﹣2∠D；
（2）如图，PE∥BD交AD于点E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半径为2，求AE的长．
/
/
7.2 与圆有关的位置关系
一、点与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
（1）点在圆内；
（2）点在圆上；
（3）点在圆外；
/
2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
二、直线与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
（1）直线与圆相交（图1）有两个交点；
（2）直线与圆相切（图2）有一个交点；
（3）直线与圆相离（图3）无交点；
/
2、相关概念：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离，
（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3、相关定理：
（1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
三、圆和圆的位置关系
1、设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，则
（1）两圆外离（图1）无交点；
（2）两圆外切（图2）有一个交点；
（3）两圆相交（图3）有两个交点；
（4）两圆内切（图4） 有一个交点；
（5）两圆内含（图5）无交点；
/////
2、相关概念：
（1）如果两个圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离（图1）和内含（图5）两种情况；
（2）如果两个圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切（图2）和内切（图4）两种情况；
（3）如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交.
考点一：点与圆的位置关系
已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP=6cm，则点P（?? ）
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.不能确定
【答案】A
【解析】解：∵OP=6cm＞5cm， ∴点P在⊙O外．
故选A．
【点评】利用点与圆的位置关系的判断方法求解．
变式跟进1如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为 3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（?? ）
/
A.?点B??????????????????????????????????????/B.?点D??????????????????????????????????????/C.?点E??????????????????????????????????????/D.?点A
【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4， ∴BC=3，
∵且点D，E分别是AC，AB的中点，
∴CD=2，CE=
5
2
，
∴点B在⊙C上，
∴点E在⊙C内，
∵BC=3，
∴点D在⊙C内，
∴点A在⊙C外，
故选：D．
【点评】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．
考点二：确定圆的条件
如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
/
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
/
（2）解：连接OA，
/
设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x﹣8）2 ，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点评】（1）根据垂径定理作图即可。作出AB的垂直平分线，再作出AC的垂直平分线即可。
（2）连接OA，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程求解即可。
变式跟进2如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．
/
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A，B，C的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：如图1，点M即为所求
/
（2）解：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+4
依题意 {
4=16??+4??+4
2=36??+6??+4
，解得
所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=﹣
1
6
x2+
2
3
x+4
把点D（7，0）的横坐标x=7代入上述解析式，得
所以点D不在经过A、B、C的抛物线上；
（3）证明：如图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD
/
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5
在Rt△CEM中，∠CEM=90°
∴MC2=ME2+CE2=42+22=20
在Rt△CED中，∠CED=90°
∴CD2=ED2+CE2=12+22=5
∴MD2=MC2+CD2
∴∠MCD=90°
∵MC为半径
∴直线CD是⊙M的切线
【点评】（1）根据垂径定理的知识解答此题。
（2）观察图形，由点A的坐标，得到点B、C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，将x=7代入即可得出结果。
（3）要证直线CD是⊙M的切线．就需证明∠MCD=90°，运用勾股定理先分别求出MC2、CD2、MD2 ， 再用勾股定理的逆定理去判定∠MCD是否为直角即可。
考点三：三角形与外接圆
直角三角形两直角边长分别为
3
和1，那么它的外接圆的直径是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长=
(
3
)
2
+
1
2
=2， ∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
【点评】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
变式跟进3如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（?? ）
/
A.?O是△AEB的外心，O是△AED的外心???????????????????/B.?O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C.?O不是△AEB的外心，O是△AED的外心????????????????/D.?O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【答案】B
【解析】如图，连接OA、OB、OD．
/
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O表示△AED的外心，
故答案为：B．
【点评】根据三角形外接圆与外心的定义和正方形的性质可以得出OA=OB=OE，得出O是△ABE的外心，又OA=OE≠OD，得出O表示△AED的外心，选出正确选项.
考点四：直线与圆的位置关系
在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心2.5cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（?? ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
【答案】A
【解析】解：做AD⊥BC，
/
∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙A，
∴BC=5，
∴AD×BC=AC×AB，
解得：AD=2.4，2.4＜3，
∴BC与⊙A的位置关系是：相交．
故选A．
【点评】首先求出点A与直线BC的距离，根据直线与圆的位置关系得出BC与⊙A的位置关系．
变式跟进4如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．
/
【答案】相交
【解析】解：如图连接PC交MN于D，取MN的中点O，连接OP，
/
由题意PD＜OP，
∴圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，
∴以MN为直径的圆与直线AB相交，
故答案为相交；
【点评】设圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r，如果d?< r，那么直线与圆相交。如图连接PC交MN于D，取MN的中点O，连接OP，由题意可知PD＜OP，即圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，所以以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是相交。
考点五：圆和圆的位置关系
如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（????? ）
A.?外离?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?内切
【答案】D
【解析】解：∵两圆半径之差=8-5=3=圆心距8， ∴两个圆的位置关系是内切， 故答案为：D．
【点评】据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r．
变式跟进5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为 ?? 的圆相交，那么 ?? 的取值范围是（?? ）
A.???<5 ；??????????????????????????/B.???>5 ；??????????????????????????/C.???<10 ；??????????????????????????/D.?5【答案】D
【解析】延长CD交⊙D于点E，
/
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB=
??
??
2
+??
??
2
=15，
∵D是AB中点，∴CD=
1
2
AB=
15
2
，
∵G是△ABC的重心，∴CG=
2
3
CD =5，DG=2.5，
∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，
∴ 5故答案为：D.
【点评】各点到C的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内对比OC＜AC＜BC，确定O在圆内，B在圆外，写出半径r的取值即可．
考点六：切线的性质与判定
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
/
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：如图，连接OC．
/
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD= /=5，
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．
【点评】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．
变式跟进6如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是
????
的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
/
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD=
4
5
，BF=15，求AC的长．
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：连接OC，如图1所示．
/
∵点C是 /的中点，
∴ /= /，
∴OC⊥BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE，
∴AD∥OC．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．
/
∵点C是 /的中点，
∴ /= /，∠BAC=∠CAE，
∴ /= /．
∵cos∠CAD= /，
∴ /= /，
∴AB= /BF=20．
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO= /AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD= /，
∴AM=AO?cos∠OAM=8，
∴AC=2AM=16．
【点评】（1）连接OC，由点C是
????
的中点利用垂径定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直径可得出AD⊥BE，进而可得出AD∥OC，再根据AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可证出CD是⊙O的切线．（2）过点O作OM⊥AC于点M，由点C是
????
的中点利用圆周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根据角平分线的定理结合cos∠CAD=
4
5
可求出AB的长度，在Rt△AOM中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出AC的长度．
考点七：三角形与内切圆
在△ABC中，I是内心，∠ BIC=130°，则∠A的度数为________。
【答案】80°
【解析】???解 ：如图，
/
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，
∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，
∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°
【点评】已知∠BIC=130°，则根据三角形内角和定理可知∠IBC+∠ICB=50°，根据三角形内心得出∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，则得到∠ABC+∠ACB=100度，再根据三角形的内角和就可以得出答案。
变式跟进7已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（?? ）
A.32 B.34 C.27 D.28
【答案】D
【解析】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．
/
设AB=a，BC=b，则有2=
??+???12
2
，
∴a+b=16，
∴a2+2ab+b2=256，
∵a2+b2=122=144，
∴2ab=112，
∴
1
2
ab=28．
∴△ABC的面积为28．
故选D．
【点评】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=
??+???12
2
，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2=256，因为a2+b2=122=144，推出2ab=112，推出
1
2
ab=28，由此即可解决问题．
考点八：切线长定理
如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2
3
，则线段AB的长是（?? ）
/
A.
3
B.3 C.2
3
D.3
3
【答案】A
【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D， ∴AC=EC，DE=DB，PA=PB，
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB=2
3
，
∴PA=PB=
3
，
链接PA和AO，
/
∵⊙O的半径为1，
∴sin∠APO=
????
????
=
1
3
=
3
3
，
∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=PB=
3
．
故选：A．
【点评】直接利用切线长定理得出AC=EC，DE=DB，PA=PB，进而求出PA的长，然后判定三角形APB为等边三角形即可确定AB的长．
变式跟进8如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．
/
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA=2时，求AB的长．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴AP=BP，
∵∠P=60°，
∴∠PAB=60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°，
∴∠BAC=90°﹣60°=30°
（2）解：连接OP，
/
则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30°，
∴OP=4，
由勾股定理得： /，
∵AP=BP，∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴ /．
【点评】（1）根据切线长定理推出AP=BP，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=60°，求出∠PAO=90°即可；（2）根据直角三角形性质求出OP，根据勾股定理求出AP，根据等边三角形的判定和性质求出即可．
一、单选题
1.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ / ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 / 的长为?????????? （? ??????）
/
A.?/?????????????????????????????????????????/B.?/?????????????????????????????????????????/C.?/?????????????????????????????????????????/D.?/
【答案】B
【解析】解： ∵O为BC中点.BC=2/.
∴OA=OB=OC=/.
又∵AC、AB是⊙O的切线，
∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB,
∵∠A＝90°.
∴四边形ODAE为正方形.
∴∠DOE=90°.
∴（2r）2+（2r）2=/.
∴r=1.
∴弧DE=/=/=/.
故答案为B.
【点评】根据O为BC中点.BC=2/.求出OA=OB=OC=/；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度.
2.（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（?? ）
A.?0≤b＜2 /???????????/B.?﹣2 /???????????/C.?﹣2 / 2 /???????????/D.?﹣2 / ＜b＜2 /
【答案】D
【解析】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= / OC=2 / ．即b=2 / ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 / ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 / ＜b＜2 / ．
/
【点评】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
3．（2018·常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）
/
A．76° B．56° C．54° D．52°
【答案】A
【解析】先利用切线的性质得∠??????=90°，则可计算出∠??????=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠??=∠??????=38°，然后根据圆周角定理得∠??????的度数.
解：∵MN是⊙O的切线，
∴????⊥????，
∴∠??????=90°，
∴∠??????=∠???????∠??????=90°?52°=38°，
∵????=????，
∴∠??=∠??????=38°，
∴∠??????=2∠??=76°，
故答案为：A.
【点评】考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题.
4．（2018·重庆b卷）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2
3
，则线段CD的长是（ ）
/
A．2 B．
3
C．
3
2
D．
3
2
3
【答案】B
【解析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2
3
，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
解：连接OD
/
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2
3
，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴
????
????
＝
????
????
，即
2
3
????
＝
4
2
，
∴CD=
3
．
故选B．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
5．（2018·上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
/
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【答案】A
【解析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论．
解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选A．
//
【点评】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.
6．（2019·台州）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（ ）
/
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】连接，，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.
解：设与的切点为，
连接，，
∵等边三角形的边长为8，
∴，，
∵圆分别与边，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：A．
/
【点评】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
7．（2019·无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
/
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.
解：连接OA，如图：
/
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=∠AOB=25°，
故选B.
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.
8．（2019·广西）如图，为的直径，是的切线，切点分别为点，点为线段上的一个动点，连接，已知，，当的值最小时，则的值为（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】延长到使得，则与关于对称，连接与相交于点，此时值最小，连接，两线相交于点，过作于，先求得，再求，进而求，运用相似三角形得，便可得解.
解：延长到使得，则与关于对称，连接与相交于点，此时值最小，连接，两线相交于点，过作于，
/
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键.
二、填空题
9.（2017?大庆）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为________．
【答案】1
【解析】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，
∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．
故答案为：1．
【点评】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.
10.（2017?上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是________．
/
【答案】8＜r＜10
【解析】解：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时， ⊙A的半径为：AC=AD=4，
⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；
/
如图2，
/
当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，
⊙A的半径为：AB=AD=5，
⊙B的半径为：r=2AB=10；
∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．
故答案为：8＜r＜10．
【点评】先计算两个分界处r的值：即当C在⊙A上和当B在⊙A上，再根据图形确定r的取值．
11．（2018·益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.
/
【答案】45
【解析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．
解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵AD=CD，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°．
故答案为45．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
12．（2018·内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为__________．
/
【答案】12
【解析】先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE=
1
2
（AD+BC），所以S四边形ABCD=OE?CD=3CD，只有当CD=AB=4时，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值．
解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而OA=OB，
∴OE为直角梯形ADCB的中位线，
∴OE=
1
2
（AD+BC），
∴S四边形ABCD=
1
2
（AD+BC）?CD=OE?CD=3CD，
当CD=AB=4时，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12．
【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
13．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．
/
【答案】70°
【解析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=
1
2
∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．
解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=
1
2
∠ABC=
1
2
×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
14．（2019·河池）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____．
/
【答案】76．
【解析】由切线的性质得出PA=PB，PA⊥OA，得出∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，由已知得出∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：76．
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．
15．（2019·常州）如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．
/
【答案】
【解析】连接，作于，根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求，然后解直角三角形即可求得的值．
解：连接，作于，
⊙与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．
/
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
16．（2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，…，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为_____．（为正整数）
/
【答案】
【解析】连，，，、、与轴分别交于、、，在中，，，由勾股定理得出，同理：，，……，得出的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，得出规律，即可得出结果．
解：连接，，，、、与轴分别交于、、，如图所示：
在中，，
∴，
同理：，，……，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，
…按照此规律可得点的坐标是，即，
故答案为：．
/
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．
三、解答题
17.（2017?福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 / 的长；
（Ⅱ）若 / = / ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
/
【答案】答案见解析
【解析】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
/
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= /AB=2，
∴ /的长= /×π×2=π；
（Ⅱ）∵ /= /，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= /CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【点评】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= / CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
18．（2018·曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=
3
，求四边形OCDB的面积．
/
【答案】（1）PM与⊙O相切，理由见解析；（2）
3
2
.
【解析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=
1
2
OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=
1
2
OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
解：（1）PM与⊙O相切．
理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，
/
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE=
1
2
OP，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC=
1
2
OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PC，
∴PM是⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC=
3
3
PC=
3
3
×
3
=1，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2×
3
4
×12=
3
2
．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．
19．（2019·毕节）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.请你写出推理过程.
/
【答案】（1）见解析；（2）推理过程见解析.
【解析】(1)由直径所对的圆周角是直角，以及∠A=30°可得∠ABC=60°，从而可判断△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，再结合切线的性质可求得∠P＝30°，继而可推得PB=OB，再根据AB=2OB，即可确定AP与BP的数量关系；
(2)连接OC，由圆周角定理以及切线的性质结合等角对等边可以推导得出∠BCP＝∠A，再由三角形内角和定理即可确定出两角的关系.
解：(1)连接OC，
/
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠COB=60°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，
∴∠P＝90°-∠BOC＝30°，
∴PO=2OC，
∴PB=OB，
∵AB=2OB，
∴AP=AB+PB=3PB；
(2)如图，连接OC，
/
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°，
∴∠BCP=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，
∴2∠BCP＝180°﹣∠P，
∴∠BCP＝(90°﹣∠P).
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
20．（2019·天津）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
/
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算； （Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
/
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
/
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
一、单选题
1．（2018?芜湖二模）如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是( )
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【答案】C
【解析】两圆内含时，无公切线；两圆内切时，只有一条公切线；两圆外离时，有4条公切线；两圆外切时，有3条公切线；两圆相交时，有2条公切线．
解：根据两圆相交时才有2条公切线．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系．熟悉两圆的不同位置关系中的外公切线和内公切线的条数．
2．（2018?上海三模）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离
B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切
C．如果一条直/线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切
D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离
【答案】D
【解析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
解：A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；
B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；
C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；
D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．
3．（2018?潍坊模拟）如图，圆O是等边三角形内切圆，则∠BOC的度数是（ ）
/
A．60° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【解析】由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=
1
2
（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵圆O是等边三角形内切圆，
∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180°﹣60°）=60°，
∴∠BOC=180°﹣60=120°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=
1
2
（∠ABC+∠ACB）．
4．（2018?德阳模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC下列结论：①∠P+∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③∠DBA=∠ABP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有（ ）
/
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】C
【解析】①中，根据切线的性质可知∠P+∠AOB=180°，又根据圆周角定理，得∠D=
1
2
∠AOB，所以可判断它错误；
②中，根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；
③中，根据垂径定理和弦切角定理得∠ABP=∠D，所以可知正确；
④中，根据③中的推导过程，可知它错误．
解：①∠OAP=∠OBP=90°，则∠P+∠AOB=180°，又因为∠D=
1
2
∠AOB，错误；
②根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；
③根据垂径定理，得弧AD=弧AB，则∠ADB=∠ABD，再根据弦切角定理，得∠ABP=∠D，正确；
④根据③中的推导过程，显然错误．
故选C．
【点评】此题综合运用了垂径定理、弦切角定理以及圆周角定理．
5．（2019·宜兴模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
/
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【解析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
6．（2019·上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
/
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
【答案】B
【解析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出结论．
解：作DE⊥BC于E，如图所示：
则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，
∴CE＝4＝DE，
当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；
当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，
设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝；
∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤；
故选B．
/
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．
7．（2019·金华模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
/
A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
【答案】A
【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
解：连接AQ，AP．
/
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）．
故选A．
【点评】此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
8．（2019·滨州模拟）如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )
/
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．
解：连接AC，AO．
∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG=BG=AB．
∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4．
又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC==4．
∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30°，∴所对圆心角的度数为60°．
∵直径AC=4，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．
故选D．
/
【点评】本题是圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，是解答本题的关键．
二、填空题
9．（2018?连云港模拟）如图，在⊙O中，PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，点C是⊙O上一点，连接BC、DC，∠APD=30°，则∠BCD=______．
/
【答案】30
【解析】解：如图，连接OD，
/
∵PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，∠APD=30°，
∴∠PDO=90°，
∴∠POD=60°，
∴∠BCD=30°.
故答案为30.
10．（2018?乌拉特前旗一模）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为________．
/
【答案】4
【解析】令OC交BE于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AD⊥CD，
∴BE∥CD，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴OC⊥BE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，在Rt△ABE中，/，
∵OF⊥BE，
∴BF=EF=4，
∴CD=4．
11．（2018·内江模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是_____．
/
【答案】
【解析】当CD∥AB时，切线CD的长最小．
由切线长定理，得
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
因为CD∥AB，
∴
∴是等边三角形，
∴
故答案为：
12．（2018?玉林三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．
/
【答案】
2
．
【解析】当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．
解：连接CP、CQ；如图所示：
∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ2=CP2﹣CQ2，∴当PC⊥AB时，线段PQ最短．
∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=2
3
，∴CP=
?????????
????
=
2
3
×2
4
=
3
，∴PQ=
??
??
2
???
??
2
=
3?1
=
2
，∴PQ的最小值是
2
．
故答案为：
2
．
/
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
13．（2019·益阳模拟）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是_____°．
/
【答案】35．
【解析】连结BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，又因为BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∠BDC＝110°，所以CD=BD,所以∠BCD＝∠DBC＝35°,又∠ABD＝90°，所以∠A=∠DBC＝35°．
14．（2019·绥化模拟）如图，等边△ABC中，AB＝4，O为三角形中心，⊙O的直径为1，现将⊙O沿某一方向平移，当它与等边△ABC的某条边相切时停止平移，记平移的距离为d ，则d的取值范围是 ．
/
【答案】≤d≤
【解析】最短的平移距离为向下平移与AB相切，最长的平移距离为向上平移与AC、BC相切．根据垂径定理求出最短距离和最长距离．
15．（2019·台州模拟）如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为______．
/
【答案】
【解析】连接OD，则OD⊥BD，过E作EH⊥BC于H，则四边形EODH是正方形，可得EH=5，BH=7，易求tan∠BEH==，再由∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，证明∠ACB=∠BEH即可得到tan∠ACB=．
故答案为：.
/
16．（2019·岳阳模拟）如图，在△ABC中，CA=CB=10，AB=12，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．则下列结论：①DF⊥AC；②DO=DB；③cos∠E=．正确的是__.
/
【答案】①③
【解析】首先连接OD,由CA=CB，OB=OD,易证得OD∥AC,又由DF是O的切线,即可证得①;首先连接BG,CD,可求得CD的长,然后由AB×CD=2S△ABC=AC×BG,求得BG的长,易证得BG∥EF,即可得cos∠E =cos∠CBG=即可得出③
解：证明:连接OD,
/
∴CA=CB,OB=OD,
∴∠A=∠ABC,∠ABC=∠ODB,
∴∠A=∠ODB
∴OD∥AC
∵DF是O的切线,
∴OD⊥DF
∴DF⊥AC.故①正确
连接BG,CD
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∵CA=CB=10
∴AD= BD=AB==6
OD=CB=5
∴②错误.
CD=
∵AB·CD =2S△ABC=AC·BG,
∴BG=
∵BG⊥AC,DF⊥AC
∴BG∥EF，
∴∠E=∠CBG,
∴cos∠E=cos∠CBG= ,
∴③正确
故答案为①③
【点评】此题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键在于作辅助线，本题作辅助线的技巧为：①根据直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形；②根据切线垂直于过切点的直径，连接切点与圆心.
三、解答题
17．（2018?咸宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．
（1）求证：FD=CD；
（2）若AE=8，tan∠E=
3
4
，求⊙O的半径．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）
25
6
；
【解析】（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=4，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=5，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长．
解：（1）∵AC 是⊙O 的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠B，
∵DA=DE，
∴∠EAD=∠E，
又∵∠B=∠E，
∴∠B=∠EAD，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD，
∴△ADF≌△ADC，
∴FD=CD．
（2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G．
/
∵DE=AE，DG⊥AE，
∴EG=AG=
1
2
AE=4．
∵tan∠E=
3
4
，
∴
????
????
=
3
4
，即
????
4
=
3
4
，解得DG=4．
∴ED=
??
??
2
+??
??
2
=5．
∵∠B=∠E，tan∠E=
3
4
，
∴sin∠B=
????
????
=
????
????
=
3
5
，即
5
????
=
3
5
，解得AB=
25
3
．
∴⊙O的半径为
25
6
．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键．
18．（2018?无锡四模）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为/斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．
（1）如图2，ω＝45°，矩形OAB/C中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．
②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．
/
（2）若ω＝120°，O为坐标原点．
①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝4
3
，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．
②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是 ．
/
【答案】（1）①（2，0），（1，
2
），（﹣1，
2
）；②y=
2
x；③ y=
2
x，y=﹣
2
2
x+
2
；（2）①半径为4，M（
8
3
3
，
4
3
3
）；②
3
﹣1＜r＜
3
+1．
【解析】（1）①如图2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；②如图2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③如图3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1时，⊙M的半径即可解决问题.
解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F，
/
由题意OC=CD=1，OA=BC=2，
∴BD=OE=1，OD=CF=BE=
2
，
∴A（2，0），B（1，
2
），C（﹣1，
2
），
故答案为（2，0），（1，
2
），（﹣1，
2
）；
②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M，
/
∵OD∥BE，OD∥PM，
∴BE∥PM，
∴
????
????
=
????
????
，
∴
2
??
=
1
??
，
∴y=
2
x；
③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M，
/
则有
????
????
=
????
????
，
∴
??
2
=
2
???
2
，
∴y=﹣
2
2
x+
2
，
故答案为y=
2
x，y=﹣
2
2
x+
2
；
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N，
/
∵ω=120°，OM⊥y轴，
∴∠MOA=30°，
∵MF⊥OA，OA=4
3
/，
∴OF=FA=2
3
/，
∴FM=2，OM=2FM=4，
∵MN∥y轴，
∴MN⊥OM，
∴MN=
4
3
3
，ON=2MN=
8
3
3
，
∴M（
8
3
3
，
4
3
3
）；
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．
/
∵MK∥x轴，ω=120°，
∴∠MKO=60°，
∵MK=OK=2，
∴△MKO是等边三角形，
∴MN=
3
，
当FN=1时，MF=
3
﹣1，
当EN=1时，ME=
3
+1，
观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为
3
﹣1＜r＜
3
+1．
故答案为：
3
﹣1＜r＜
3
+1．
【点评】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
19．（2019·北京模拟）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
/
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，再利用切线长定理证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
解：(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线，
∵CD切⊙O于点D，
∴BC＝CD；
(2)连接BD，
∵BC＝CD，∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝BD?tan∠ABD＝．
/
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．（2019·武汉模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点．
（1）求证：∠P＝180°﹣2∠D；
（2）如图，PE∥BD交AD于点E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半径为2，求AE的长．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】（1）连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP＝∠OBP＝90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB＝2∠D，继而可求得结论．
（2）过点O作OG⊥AD，连接OB，OE，连接OA交PE于点F，由PE∥BD，可得△OPF∽△EFA，即可求得∠OPE＝∠OAD，从而可求得AG，即可求出AE
解：（1）证明：如图1，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB＝180°﹣∠AOB，
∵∠AOB＝2∠D，
∴∠P＝180°﹣2∠D；
/
（2）
如图2，过点O作OG⊥AD，连接OB，OE，连接OA交PE于点F
由（1）得，∠OPA＝90°﹣∠D
OB⊥PB；OA⊥PA
∴∠POA＝180°﹣90°﹣∠OPA＝∠D
又∵PE∥BD，
∴∠D＝∠PEA
∴∠PEA＝∠POA
∵∠PFO＝∠EFA
∴△OPF∽△EFA
∴∠OPE＝∠OAD
∴tan∠OAD＝tan∠OPE＝
∴OG＝AG
∴在△OAG中，由勾股定理得
AG2+OG2＝OA2?，解得AG＝6
∴AD＝12
又∵DE＝2AE
∴AE＝AD＝×12＝4
/
【点评】此题主要考查圆的切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理．灵活运用相似三角形边的比例关系是解题的关键．在做涉及圆的题目中，作好辅助线是解题的突破口．
/
