7.3 与圆有关的计算
一、正多边形和圆
一、正多边形和圆
1、正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的________；
2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的________；
3、正多边形的每一边所对的圆心角叫须知这个正多边形的________；
4、正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________.
5、正n边形的每一个内角都等于________，每一个中心角和外角都相等于________.
6、我们可以通过n等分圆周的方法得到正________边形.
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式：________.
2、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的________围成的图形叫做扇形.
3、扇形的面积公式：________或________.
三、圆柱和圆锥
1、圆柱
（1）圆柱的平面展开图
（2）圆柱的侧面积：________（3）圆柱的表面积：=________
（4）圆柱的体积：________
2、圆锥
（1）圆锥的平面展开图
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的________.
（2）圆锥的侧面积：________
（3）圆锥的表面积：=________
（4）圆锥的体积： ________
考点一：正多边形和圆
如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C. D. ∠BAC=30°
变式跟进1如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME=108°，②AN2=AM?AD；③MN=3-5；④S△EBC=25-1，其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
考点二：与正多边形有关的作图
如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．
变式跟进2如图，AB是⊙O的直径，AB=2.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF。
（2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积。
考点三：弧长公式
已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB=60°，则弧AB的长是（ ）
A. 2π B. π C. 32π D. 12π
变式跟进3如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则弧BF的长为_____．（结果保留π）
考点四：扇形的面积
如图，一块六边形绿化园地，六个角处都建有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（图中阴影部分）为________m2（结果保留π）
变式跟进4如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC绕点B顺时针旋转,使点A旋转至y轴的正半轴上的A处,若AO=OB=2,则阴影部分面积为( )
A. 23π B. 23π?1 C. 43π+1 D. 43π
考点五：圆锥的侧面积
圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. 6 B. 3 C. 6π D. 3π
变式跟进5小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
考点六： 圆柱和圆锥上的最短路径
如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 40cm
变式跟进6如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
一、单选题
1.（2017?天门）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2 ， 则此扇形的圆心角的度数是（?? ）
A.?300°?????????????????????????????????????B.?150°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?75°
2.（2017?山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（?? ）
A.?5πcm2?????????????????????????????B.?10πcm2?????????????????????????????C.?15πcm2?????????????????????????????D.?20πcm2
3．（2018?遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
4．（2018?遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
5．（2018?绵阳）如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（? ）
A．(30+529)πm2 B．40πm2 C．(30+521)πm2 D．55πm2
6．（2019·宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
8．（2019·娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题
9.（2017?黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．
10.（2017?内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 3 ，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是________．
11．（2018?赤峰）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是_________cm．
12．（2018?青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是_______．
13．（2018?烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=_____．
14．（2019·扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .
15．（2019·伊春）若一个圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．
16．（2019·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．
三、解答题
17.（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若BD=2 3 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
18．（2018?吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．
（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
（2）所画图形是什么对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留π）．
19．（2019·滨州）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为4，，求阴影部分的面积．
20．（2019·镇江）（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图中的）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．
（实际应用）:观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．
（1）求的度数；
（2）已知km，求这两个观测点之间的距离即上的长．（取）
一、单选题
1．（2018?鄂州模拟）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
2．（2018?镇江押题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将BD绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3?23 B．23?2π3 C．2π3?3 D．3?2π3
3．（2018?武安模拟）如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.6
4．（2018?寿光模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（ ）
A．3 B．4﹣3 C．4 D．6﹣23
5．（2019·南通模拟）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．（2019·淄博模拟）如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）
A．12 B．2 C．22 D．24
7．（2019·铁岭模拟）如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·益阳模拟）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
二、填空题
9．（2018?葫芦岛模拟）边长为6的正六边形外接圆半径是_____．
10．（2018·上海模拟）正六边形的中心角等于______度．
11．（2018?开远模拟）如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到 “三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为_____（结果保留π）
12．（2018?河南模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是______．
13．（2019·天津模拟）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.
14．（2019·泉州模拟）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
15．（2019·菏泽模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．
16．（2019·南京模拟）如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝_____．
三、解答题
17．（2018?杭州一模）已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
18．（2018?苏州模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
19．（2019·嘉兴模拟）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
20．（2019·葫芦岛模拟）如图，已知⊙A与菱形ABCD的边BC相切于点E，与边AB相交于点F，连接EF．
（1）求证：CD是⊙A的切线；
（2）若⊙A的半径为2，tan∠BEF＝，求图中阴影部分的面积．
7.3 与圆有关的计算
一、正多边形和圆
1、正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
3、正多边形的每一边所对的圆心角叫须知这个正多边形的中心角；
4、正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
5、正n边形的每一个内角都等于，每一个中心角和外角都相等于.
6、我们可以通过n等分圆周的方法得到正n边形.
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式：.
2、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
3、扇形的面积公式：或.
三、圆柱和圆锥
1、圆柱
（1）圆柱的平面展开图
（2）圆柱的侧面积：
（3）圆柱的表面积：=
（4）圆柱的体积：
2、圆锥
（1）圆锥的平面展开图
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
（2）圆锥的侧面积：
（3）圆锥的表面积：=
（4）圆锥的体积：
考点一：正多边形和圆
如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C. D. ∠BAC=30°
【答案】D
【解析】A选项中，因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；
B选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可知， ;再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；
C选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可得，，故C正确；
D选项中，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=12 ∠BOC=12 ×12∠BOA=14×60°=15°，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了圆与正多边形、垂径定理、圆周角定理等知识.灵活运用圆的相关知识是解题的关键.
变式跟进1如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME=108°，②AN2=AM?AD；③MN=3-5；④S△EBC=25-1，其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
【答案】①②③
【解析】解：∵∠BAE=∠AED=108°．∵AB=AE=DE，∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，∴∠AEN=∠ANE，∴AE=AN，同理DE=DM，∴AE=DM．∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，∴△AEM∽△ADE
∴AEAD=AMAE，∴AE2=AM?AD；
∴AN2=AM?AD；故②正确；
∵AE2=AM?AD，∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），解得：MN=3﹣5；故③正确；
在正五边形ABCDE中，∵BE=CE=AD=1+5，∴BH=12BC=1，∴EH=BE2?BH=5+25，∴S△EBC=12BC?EH=12×2×5+25=5+25，故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．
考点二：与正多边形有关的作图
如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】利用正六边形的特性作图即可.
解：（1）如图所示（答案不唯一）：
（2）如图所示（答案不唯一）：
【点评】本题考查了正六边形的性质.应用正多边形的性质进行作图是解题的关键.
变式跟进2如图，AB是⊙O的直径，AB=2.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF。
（2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积。
【答案】（1）作图见解析；
（2）PB、PE和所围成的图形面积为
【解析】 (1)以圆的半径长为半径以此在圆上画弧,然后再连接即可.(2)由正六边形边长BE所对的圆心角为60°，可求出扇形BOE的面积，
解：（1）作图略
（2）连结OE
∵PE切⊙O于E
∴∠OEP=90°
∵正六边形ACDBEF内接于⊙O
∴∠EOB=60°
∴
∵∠EOB=60°，∠OEP=90°
∴tan60°=
∵ EO=1
∴EP=
∴
∴
【点评】本题考查了利用圆作正六边形的方法、切线的性质、扇形的面积.熟练应用扇形面积公式是解题的关键.
考点三：弧长公式
已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB=60°，则弧AB的长是（ ）
A. 2π B. π C. 32π D. 12π
【答案】A
【解析】先根据同弧所对的圆心角是其所对圆周角的2倍求出∠AOB的度数，再根据扇形的弧长公式计算.
解：如图，
∵∠AOB与∠ACB对的弧相同，∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∴l=nπR180=120×π×3180=2π．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是no，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：l=nπR180.
变式跟进3如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则弧BF的长为_____．（结果保留π）
【答案】815π
【解析】解：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60°．∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，∴∠BCF=48°，∴BF的长=48?π×2180=815π．故答案为：815π．
【点评】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
考点四：扇形的面积
如图，一块六边形绿化园地，六个角处都建有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（图中阴影部分）为________m2（结果保留π）
【答案】2π
【解析】首先根据多边形的内角和求出所有扇形的圆心角之和，然后根据扇形的面积计算法则得出答案．
解：∵(6－2)×180°=720°，∴S=720π×12360=2πm2．
【点评】本题主要考查的就是多边形的内角和定理的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明白多边形的内角和公式．
变式跟进4如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC绕点B顺时针旋转,使点A旋转至y轴的正半轴上的A处,若AO=OB=2,则阴影部分面积为( )
A. 23π B. 23π?1 C. 43π+1 D. 43π
【答案】D
【解析】图形的整体面积为S扇形BAA′＋S△A′BC′，空白部分的面积为S扇形BCC′＋S△ABC,S△A′BC′＝S△ABC.
解：因为点O为AB的中点，所以OC＝OA＝OB＝2，BC＝22.
由旋转的性质可知，A′B＝AB＝2OB＝4，所以∠AOA′＝60°，∠CBC′＝60°，
阴影部分的面积为：
S扇形BAA′＋S△A′BC′－(S扇形BCC′＋S△ABC)
＝S扇形BAA′－S扇形BCC′
＝60π×42360－60π×222360＝43π.
故选D.
【点评】本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分不是规则图形，也不是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
考点五：圆锥的侧面积
圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. 6 B. 3 C. 6π D. 3π
【答案】A
【解析】解:设圆锥底面半径为rcm, 那么圆锥底面圆周长为2πrcm,
所以侧面展开图的弧长为2πrcm,S圆锥侧面积=12×2πr×10=216π×102360 , 解得：r=6,故选A.
【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算;正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
变式跟进5小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
【答案】B
【解析】圆锥的侧面积=12×2π×10×24=240π（cm2），
所以这张扇形纸板的面积为240πcm2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积.熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.
考点六： 圆柱和圆锥上的最短路径
如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 40cm
【答案】B
【解析】将圆柱侧面展开，连接,根据三角函数求出的长即可
解：根据题意得，，
∴
故选B．
【点评】本题考查了最短路径问题.化曲为直是理解题意的关键
变式跟进6如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
【答案】（1）S阴= 4π﹣8；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
【解析】解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，
设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π?1，
∴n=90°，
∵SA=SF，
∴△SFA是等腰直角三角形，
∴ S△SAF= ×4×4=8
又 S扇形S﹣AF=，
∴S阴=S扇形S﹣AF﹣S△SAF=﹣8=4π﹣8．
在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=，AE=2，
∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
【点评】（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π?1，求出n即可解决问题；（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．
一、单选题
1.（2017?天门）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2 ， 则此扇形的圆心角的度数是（?? ）
A.?300°?????????????????????????????????????B.?150°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?75°
【答案】B
【解析】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2 ， ∴S= 12 Rl，即60π= 12 ×R×10π， 解得：R=12， ∴S=60π= nπ×122360 ， 解得：n=150°， 故选B 【点评】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
2.（2017?山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（?? ）
A.?5πcm2?????????????????????????????B.?10πcm2?????????????????????????????C.?15πcm2?????????????????????????????D.?20πcm2
【答案】B
【解析】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径， ∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴△ABO于△CDO的面积=△AOD与△BOD 的面积， ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD ， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠ABO=36°， ∴∠AOD=72°， ∴图中阴影部分的面积=2× 72?π×52360 =10π， 故选B． 【点评】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD ， 根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定理得到∠AOD=72°，于是得到结论．
3．（2018?遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
【答案】B
【解析】直接得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积求法得出答案．
解：由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为：122+52=13，
该圆锥的侧面积为：π×5×13=65π．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥侧面积求法是解题关键．
4．（2018?遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
【答案】C
【解析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，再根据扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
解：该扇形的面积=120·π·62360=12π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长
5．（2018?绵阳）如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（? ）
A．(30+529)πm2 B．40πm2 C．(30+521)πm2 D．55πm2
【答案】A
【解析】利用圆的面积得到底面圆的半径为 5 ，再利用勾股定理计算出母线长， 接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积， 最后求它们的和即可 ．
解：设底面圆的半径为R，
则πR2=25π，解得R=5，
圆锥的母线长=22+52=29，
所以圆锥的侧面积=12?2π?5?29=529π；
圆柱的侧面积=2π?5?3=30π，
所以需要毛毡的面积=(30+529) πm2．
故选：A．
【点评】考查了圆锥的计算： 圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 ．
6．（2019·宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
解：6个月牙形的面积之和，
故选A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
7．（2019·山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
解：连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，
∴∠A=30°，
∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，
故选A.
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
8．（2019·娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1．
解：点运动一个用时为秒．
如图，作于D，与交于点E．
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
二、填空题
9.（2017?黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．
【答案】2π
【解析】解：设扇形的半径是R，则 60?π?r2360 =6π， 解得：r=6， 设扇形的弧长是l，则 12 lr=6π，即2l=6π， 解得：l=2π． 故答案是：2π． 【点评】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形= 12 lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．
10.（2017?内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 3 ，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是________．
【答案】π﹣ 334
【解析】解：∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE= 32 ， ∵OC= 3 ， ∴OE= 32 ， ∴∠OCE=30°， ∴∠COD=120°， ∴图中阴影部分面积= 120?π×(3)2360 ﹣ 12 ×3× 32 =π﹣ 334 ， 故答案为：π﹣ 334 ． 【点评】根据垂径定理得到CE= 32 ，根据勾股定理得到OE= 32 ，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．
11．（2018?赤峰）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是_________cm．
【答案】53
【解析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．
解：设底面圆的半径为r．
∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，∴圆锥的母线l=10cm，∴180π×10180=2πr，解得：r=5（cm），∴圆锥的高h=l2?r2=53（cm）．
故答案为：53．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．
12．（2018?青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】723?43π
【解析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为：=
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB=AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为：×3×3=
∵△OAF的面积为：×2×=，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π
故答案为：﹣π.
【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
13．（2018?烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=_____．
【答案】3:2
【解析】根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，OM=3a
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为：120?π?3a180=233πa
则r1=33a
同理：扇形DEF的弧长为：120?π?2a180=43πa
则r2=23a
r1：r2=3：2
故答案为：3：2
【点评】本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．
14．（2019·扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .
【答案】15.
【解析】连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行分析即可得.
解：连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°-36°=24°，
即360°÷n=24°，∴n=15，
故答案为：15.
【点评】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．
15．（2019·伊春）若一个圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．
【答案】
【解析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可
解：∵圆锥的底面圆的周长是，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为 cm，
，
解得：
故答案为．
【点评】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积
16．（2019·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．
【答案】6.
【解析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
解：圆锥的底面周长cm，
设圆锥的母线长为，则： ，
解得，
故答案为．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ．
三、解答题
17.（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若BD=2 3 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】答案见解析
【解析】解：（Ⅰ）BC与⊙O相切． 证明：连接OD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD． 又∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA． ∴∠CAD=∠ODA． ∴OD∥AC． ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切． （Ⅱ）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2， 根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2 ， 即（x+2）2=x2+12， 解得：x=2，即OD=OF=2， ∴OB=2+2=4， ∵Rt△ODB中，OD= OB， ∴∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S扇形AOB= = ， 则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ． 故阴影部分的面积为2 ﹣ ．
【点评】（Ⅰ）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线； （Ⅱ）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
18．（2018?吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．
（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
（2）所画图形是什么对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留π）．
【答案】（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；（2）轴对称；（3）周长为8π．
【解析】(1)利用旋转变换的性质画出图象即可；
(2)根据轴对称图形的定义即可判断；
(3)利用弧长公式计算即可.
解：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：
(2)观察图象可知图象是轴对称图形，
(3)周长=4×90×π×4180=8π．
故答案为：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；(2)轴对称；(3)8π．
【点评】本题考查作图——旋转变换、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形.
19．（2019·滨州）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为4，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
（1）连接，再根据可得，而可得，再结合，便可证明，即直线是的切线.
（2）连接，再证明，利用相似比则可证明
（3）根据阴影部分的面积由扇形AOE的面积减去三角形AOE的面积计算可得.
解：（1）如图所示，连接，
∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）连接，则，则，
则，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，即；
（3）连接，
∵，
∴，
∴，
，
【点评】本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点.
20．（2019·镇江）（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图中的）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．
（实际应用）:观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．
（1）求的度数；
（2）已知km，求这两个观测点之间的距离即上的长．（取）
【答案】（1）；（2）（km）．
【解析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC=67°，证出∠HBD=∠DHC=67°，由平行线的性质得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性质得出∠BOE=23°，得出∠POB=90°-23°=67°；
（2）同（1）可证∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧长公式即可得出结果．
解：（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）同（1）可证，
，
（km）．
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
一、单选题
1．（2018?鄂州模拟）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
【答案】A
【解析】根据已知得出直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120°半径是30cm的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案。
解：直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120°半径是30cm的扇形
假设每个圆锥容器的地面半径为rcm
120°×π×30180°=2πr
解得r=10(cm)
故答案选A.
【点评】本题考查扇形弧长的计算方法和扇形围成的圆锥底面圆的半径的计算方法。
2．（2018?镇江押题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将BD绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3?23 B．23?2π3 C．2π3?3 D．3?2π3
【答案】B
【解析】阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．
解：由旋转可知AD=BD，
∵∠ACB=90°,AC=23，
∴CD=BD，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC=2π3 33AC=2，
∴阴影部分的面积=23×2÷2?60π×22360=23?2π3.
故答案选：B.
【点评】本题考查的知识点是旋转的性质及扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质及扇形面积的计算.
3．（2018?武安模拟）如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.6
【答案】D
【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣2小于等于1．故选D．
【点评】本题考查了正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
4．（2018?寿光模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（ ）
A．3 B．4﹣3 C．4 D．6﹣23
【答案】B
【解析】首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．
解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC
∵AB=BC=2
∴AD=AB?sin∠B=3，
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE=OE′=2
∵点A的坐标为（0，6）
∴OA=6
∴DE′=OA-AD-OE′=4-3
故选B．
【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．
5．（2019·南通模拟）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A．
6．（2019·淄博模拟）如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）
A．12 B．2 C．22 D．24
【答案】D
【解析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到BC为⊙O的直径，则AB＝AC＝2，设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝90?π?2180，然后解方程即可．
解：连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，BC＝2，
∴AB＝AC＝2，
设该圆锥底面圆的半径为r，
∴2πr＝90?π?2180，解得r＝24，
即该圆锥底面圆的半径为24．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
7．（2019·铁岭模拟）如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°， ∵DF是菱形的高， ∴DF⊥AB， ∴DF=AD?sin60°=6×=3， ∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3=18-9π． 故选B．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
8．（2019·益阳模拟）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
【答案】B
【解析】根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．
解：如图：
BC=AB=AC=1，
∠BCB′=120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×.故选B．
二、填空题
9．（2018?葫芦岛模拟）边长为6的正六边形外接圆半径是_____．
【答案】6
【解析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
解：正6边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴边长为6的正六边形外接圆半径是6,故答案为：6.
【点评】本题考查了正多边形和圆，得出正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题的关键．
10．（2018·上海模拟）正六边形的中心角等于______度．
【答案】60°
【解析】正六边形的圆心角等于一个周角，即为360°，正六边形有6个中心角，所以每个中心角=360°6=60°
【点评】本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的中心角的概念
11．（2018?开远模拟）如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到 “三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为_____（结果保留π）
【答案】18π
【解析】根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和，利用扇形面积公式解答即可．
解：∵正六边形的内角为(6?2)×18006＝120°，
∴扇形的圆心角为360°?120°＝240°，
∴“三叶草”图案中阴影部分的面积为240π×32360×3＝18π，
故答案为：18π．
【点评】此题考查正多边形与圆，关键是根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和解答．
12．（2018?河南模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】6-π
【解析】分别求出DC=BC=CE=2，BD=BF=22，求出∠DCE=90°，∠DBF，分别求出△BCD、△BEF、扇形DBF、扇形DCE的面积，即可得出答案．
解：过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=2，∠DCB=45°，
由勾股定理得：BD=22，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，
∴∠DCE=90°，BF=BD=22，∠FBE=90°-45°=45°，
∴BM=FM=2，ME=2，
∴阴影部分的面积S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE-S扇形DBF
=12×2×2+12×4×2+90π×22360?90π×(22)2360
=6-π，
故答案为：6-π．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．
13．（2019·天津模拟）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.
【答案】48°
【解析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
解：连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB==72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM==120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
【点评】本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
14．（2019·泉州模拟）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
【答案】4
【解析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．
解：设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，
故答案为4．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA的长是解本题的关键．
15．（2019·菏泽模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】
【解析】连接BD，易证△DAB是等边三角形，即可求得△ABD的高为，再证明△ABG≌△DBH，即可得四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，由图中阴影部分的面积为S扇形EBF﹣S△ABD即可求解.
解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中， ，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积是解题关键．
16．（2019·南京模拟）如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝_____．
【答案】22
【解析】先利用圆的周长公式计算出PA的长，然后利用勾股定理计算PO的长．
解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，
所以PA＝3，
所以圆锥的高OP＝PA2?OA2=32?12=22
故答案为22．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
三、解答题
17．（2018?杭州一模）已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
【答案】（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为183
【解析】（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.
解：（1）所作图形如下图所示：
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°=33，OE=3，
∴AB=63，
∴CD=23，
∴S△OCD=12×23×3=33，
∴S阴影=6S△OCD=183.
18．（2018?苏州模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
【答案】（1）6π；（2）GB=DF，理由详见解析.
【解析】（1）根据弧长公式l=nπr180 计算即可； （2）通过证明给出的条件证明△FDC≌△GBC即可得到线段GB与DF的长度关系．
解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°， ∴弧DE的长 l1=90×π×2180 =π，
同理弧EF的长 l2=90×π×4180 =2π，弧FG的长 l3=90×π×6180 =3π， 所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π． （2）GB=DF． 理由如下：延长GB交DF于H． ∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG， ∴△FDC≌△GBC． ∴GB=DF．
【点评】本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式．
19．（2019·嘉兴模拟）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
【答案】（1）120°；（2）见解析；
【解析】(1)根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算；
(2)证明△AOG≌△BOH，根据全等三角形的性质证明结论．
解：(1)∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝6?2×180°6＝120°；
(2)连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
AG=BH∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△AOG≌△BOH(SAS)
∴OG＝OH．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（2019·葫芦岛模拟）如图，已知⊙A与菱形ABCD的边BC相切于点E，与边AB相交于点F，连接EF．
（1）求证：CD是⊙A的切线；
（2）若⊙A的半径为2，tan∠BEF＝，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】（1）作AH⊥CD于H，连结AE，AC， 根据菱形性质得到AC平分∠BCD，AE⊥BC，AH⊥CD，得到AE＝AH，即CD为⊙A的半径，所以⊙A与边CD也相切；（2）tan∠BEF＝，所以∠BEF＝30°，得到∠AEF＝60°，又因为AE＝AF，得到∠FAE＝60°，∠B＝30°，然后利用扇形公式算出扇形FAE面积，用三角形ABE的面积减去扇形AEF面积即可
解：（1）证明：作AH⊥CD于H，连结AE，AC，如图，
∵BC与⊙A相切于点E，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，
而AE⊥BC，AH⊥CD，
∴AE＝AH，
即CD为⊙A的半径，
∴⊙A与边CD也相切；
（2）解：∵tan∠BEF＝，
∴∠BEF＝30°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝60°，
∵AE＝AF，
∴∠FAE＝60°，∠B＝30°，
∵AE＝2，
∴S扇形FAE＝，BE＝
∴S阴影＝S△ABE﹣S扇形AEF＝×2×2﹣π＝2﹣π．
【点评】本题考查切线性质、菱形性质和阴影部分面积的计算等知识点，做出辅助线找到扇形与三角形，利用面积相减是本题关键
