16.1二次根式
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下面式子是二次根式的是( )．
A. B. C. D.
2.要使二次根式有意义，x必须满足( )
A. B. C. D.
3.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D. 且
4.下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.使代数式??有意义的整数x有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
7.要使有意义，则实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.化简的结果是( )
A. B. C. D.
9.若是整数，则满足条件的最小正整数n为______．
10.若，则ab的算术平方根是
A. 2 B. C. D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.在二次根式中，x的取值范围是________．
12.代数式有意义时，x应满足的条件是??????????．
13.已知：m、n为两个连续的整数，且，则______．
14.使得式子有意义的字母x的取值范围是______．
15.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：______．
16.若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式，则此等腰三角形的周长______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
17.若x、y都是实数，且，求的值．
18.若，求的平方根．
19.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么要使式子有意义，x的取值范围是什么？
20.若，，?．
若a、b、c都有意义，求x的取值范围；
若a、b、c是的三边，是否存在整数x，使得为直角三角形．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指形如的式子，解答此题根据二次根式的定义进行判断即可．
【解答】
解：A．，，是二次根式，符合题意；
B.，是三次根式，不合题意；
C.，无意义，不合题意；
D.是整式，不合题意；
故选A．
2.【答案】B
【解析】解：由题意，得
，
解得，
故选：B．
根据被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：
且
故选
令被开方数大于或等于0和分母不为0即可取出x的范围．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解有意义的条件，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：A、当时，无意义，故此选项错误；
B、当时，无意义，故此选项错误；
C、当时，无意义，故此选项错误；
D、无论x取什么值，都有意义，故此选项正确；
故选：D．
根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可．
此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式有意义的条件．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，，，
解得，
则，
则，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
且，
解得，
整数有，，0，1．
故选B．
．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得，
．
故选：A．
根据二次根式的性质可以得到是非负数，由此即可求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
8.【答案】D
【解析】解：由二次根式有意义可得，
原式．
故选D．
9.【答案】7
【解析】解：，4是平方数，
若是整数，则n的最小值为7．
故答案为：7．
把28分解因质因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值．
本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质、算术平方根，解决本题的关键是根据二次根式的性质求出b的值先根据二次根式的性质求出b的值，再求出a的值，最后根据算术平方根即可解答．
【解答】
解：，
，
，
，
，
2的算术平方根是．
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
故答案为
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，属于基础题．
直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．
【解答】
解：代数式有意义时，
，解得：．
故答案为：．
13.【答案】7
【解析】解：，
，
，，
．
故答案为：7．
先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出的取值范围是解答此题的关键．
14.【答案】且
【解析】解：依题意得：，且，
解得且．
故答案是：且．
二次根式的被开方数，且分式的分母，由此求得x的取值范围．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15.【答案】2
【解析】解：由数轴可得：
，
则
．
故答案为：2．
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题关键．
16.【答案】10
【解析】解：根据题意得，且，
解得且，
所以，，
，
解得，
当腰为2，底为4时不能构成三角形；
当腰为4，底为2时，周长为．
故答案为：10．
根据被开方数大于等于0列式求出a的值，然后代入求出b的值，再根据三角形的周长公式分情况讨论求解．
本题考查了二次根式有意义的条件、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
17.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则，
．
【解析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得y的值，然后代入求值即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
18.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则，
，
平方根为．
【解析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得y的值，然后计算出的值，再求平方根．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及平方根，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
19.【答案】解：由题意，得
，
解得；?
且，
解得，
有意义，x的取值范围是．
【解析】根据同类二次根式，可得a的值，根据被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出a的值是解题关键．
20.【答案】解：根据题意可得，，，
解得，，，
；
、b、c是的三边，整数x，
取的值为1，2，3，
当时，，，，
满足，
为直角三角形，
当时，，，，
满足，
为直角三角形，
当时，，，，?
不能满足条件，不能组成直角三角形，
则存在的x的值为1或2．
【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和勾股定理的逆定理，关键是根据二次根式的意义确定x的范围．
先根据二次根式有意义的条件可得x的取值范围；
根据三边和整数的要求得出x的值，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
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16.2二次根式乘除（培优题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若，，则的值用a、b可以表示为（ ）
A. B. C. D.
2.等式成立的条件是（ ）
A. B. C. 且 D.
3.下列二次根式；；；；；其中是最简二次根式的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4.把根号外的因式化到根号内：
A. B. C. D.
5.下列各式有意义的条件下不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，
化简的结果是（ ）
A. B. C. b D.
7.满足的整数x的个数是???（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.已知：，，则a与b的关系是（ ）
A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 平方相等
9.若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.
10.甲、乙两位同学计代数式分别有用心作了如下变形：
甲；
乙：．
下列关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A. 甲、乙都正确 B. 甲、已知都不正确
C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.如果，则a的取值范围是______．
12.计算：______．
13.若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
14.分母有理化：____．
15.能使得?成立的所有整数a的和是______ ．
16.若a、b均为有理数，且，则__________，__________．
17.使等式成立的条件是_________________。
18.观察下列运算过程：
请运用上面的运算方法计算：______．
19.观察下列各式：，，，，那么如果用字母的整数表示上面的规律应该是______ ．
20.当时，化简：______．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
21.已知，，求的值．
22.仿照下列过程：
；
；
(1)运用上述的方法可知：______，______；
(2)拓展延伸：计算：．
四、解答题（本大题共2小题，共20.0分）
23.观察下列等式：
第1个等式：；??第2个等式：；
第3个等式：；??第4个等式：；
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式： ______ ；
(2)求的值．
24.若要化简我们可以如下做：
仿照上例化简下列各式：
______
______
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：．
故选：C．
，化简即可．
此题的关键是把写成的形式．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：等式成立的条件是，
解得：．
故选D
3.【答案】B
【解析】解：，
，
、、是最简二次根式，
故选B．
根据最简二次根式的定义即可判断．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】【分析】
根据被开方数是非负数，可得a的取值范围，根据二次根式的性质，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，利用被开方数是非负数得出a的取值范围是解题关键．
【解答】
解：由被开方数是非负数，得
．
，
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二次根式的性质，属于基础题型．根据二次根式的性质就出答案．
【解答】
解：，故B错误．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：根据数轴可以得到：，且，
则，
则原式．
故选：A．
首先根据数轴可以得到，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．
本题考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如的代数式叫做二次根式．当时，表示a的算术平方根，当时，，当a小于0时，二次根式无意义．
2、性质：．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的二次根式的化简，将不等式的左边分子分母同乘以，将不等式的右边分子分母同乘以，最后对化简后的根式进行估计其整数范围，进而求出问题的解，本题解题关键是二次根式的化简以及常见根式的值．
【解答】
解：将不等式的左边分子分母同乘以，右边分子分母同乘以，
得：，
即，
，
满足的整数x只有4、5、6、7、8、9，
即满足的整数x的个数有6个，
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化把的分子分母同乘，进一步化简与a比较得出结论即可．
解：，，
与b互为倒数．
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：，
，
，
故选D．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确找出有理化因式或把分子化为含有分母的乘积形式利用分子，分母同时乘以有理化因式或分子化为含有分母的乘积形式求解注意有理化的因式不能为0．
【解答】
解：分母为0分式没有意义，甲同学的解答只有在的情况下才成立，
只有乙同学的解答过程正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：
，
，
解得：，
故答案为：．
由可知，解之可得答案．
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质：及绝对值的性质是解题的关键．
12.【答案】6a
【解析】解：，
原式．
故答案为：6a
原式利用二次根式乘法法则计算，化简即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式性质，熟练掌握二次根式乘法法则是解本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
则，
故答案为：2．
根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程组，即可解答．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式的分母有理化．二次根式的分母有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的分母有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．根据平方差公式可得出的有理化因式为，把分子分母都乘以，再化简即可．
【解答】
解：原式?．
?故答案为
15.【答案】5
【解析】解：由题意可知：
解得：
是整数，
，0，1，2，3
所有整数a的和为：5，
故答案为：5
由二次根式有意义的条件即可求出a的值．
本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是正理解二次根式的性质，本题属于基础题型．
16.【答案】0；．
【解析】略
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的乘法法则：根据二次根式的乘法法则成立的条件得到，然后解不等式组即可．
【解答】
解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为．
先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19.【答案】
【解析】解：第一个等式是，
第二个等式是，
则规律为：．
根据第一个等式是，第二个等式是，总结规律，得到答案．
本题考查的是二次根式的性质与化简，从已知式子中找出规律是解题的关键，注意分子、分母之间的关系．
20.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：，
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型．
21.【答案】解：原式，
当，时，
原式．
【解析】先将分子、分母因式分解，再约分即可化简原式，继而将x、y的值代入计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的混合运算．
22.【答案】解：；； ?
原式．
【解析】解：，
，
故答案为：；．
见答案．
【分析】
将两式的分子、分母分别乘以，计算可得；
由将原式展开后，两两相互抵消即可得．
本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化和根据计算得出规律．
23.【答案】解：；
，
，
．
【解析】【分析】
本题考查最简二次根式的知识，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
原式仿照阅读材料中的方法：结果与分母只差一个符号，根据此规律求出值即可；
分别将阅读材料中结果依次代入，互为相反数为0，化简即可．
【解答】
解：，
故答案为；
见答案．
定
24.【答案】
【解析】解：，
；
故答案为：；
，
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案；
直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
第2页，共2页
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16.2二次根式的乘除（基础题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.式子化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
6.已知??，则的值是（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
7.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.若成立，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.若，，则可以表示为（ ）
A. B. C. D. ab
10.若，，把代数式中的m移进根号内结果是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.化简的结果为______．
12.最简二次根式与是同类二次根式，则______．
13.若，则实数______．
14.计算的结果是______．
15.实数a、b在数轴上对应的如图所示，化简 ______ ．
16.是整数，则正整数n的最小值是______．
17.计算： ______ ．
18.已知：，计算的值是______．
19.已知点在第二象限，化简：．
20.已知，，则代数式的值为______．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
21.计算：
22.计算：
四、解答题（本大题共2小题，共20.0分）
23.已知，求代数式的值．
24.阅读下列材料，并解决相应问题：
．
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
；
若a是的小数部分，求的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】
解：原式，不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.原式，不是最简二次根式；
D.原式，不是最简二次根式，
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质根据二次根式的性质化简，即可解答．
【解答】
解：，
故选C．
3.【答案】D
【解析】解：．
故选：D．
直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式，同类二次根式的有关知识，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键．根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【解答】
解：根据题意得，，
，
．
故选D．
5.【答案】D
【解析】解：，
，
，
故选D．
根据二次根式有意义的条件和推出，再根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的定义有关知识，首先根据题意求出x，y，然后再进行计算即可解答．
【解答】
解：由题意可得：
，
解得，
把代入求出，
原式．
故选A．
7.【答案】A
【解析】解：A、，正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：A．
直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简：直接根据二次根式的性质解答即可．
【解答】
解：，
而，
，
．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：，，
可以表示为：
故选：C．
首先化简二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
10.【答案】C
【解析】??
解：，
．
故选C．
根据二次根式的性质解答．
将根号外的m移到根号内，要注意自身的符号，注意：当时，，当时，．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的性质进行化简．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：4，
根据被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．
本题考查了同类二次根式，关键是根据被开方数相同的二次根式是同类二次根式解答．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
故答案为：
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的的性质，本题属于基础题型．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】
解：
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：由数轴可得：，，
则，
故原式
．
故答案为：．
首先利用数轴得出，，则，进而化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的化简，正确得出各项符号是解题关键．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．估计是将32拆成，先把化简为，所以只要乘以2得出即可得出整数，由此可得出n的值．
【解答】
解：
解：，
当时，，
的最小值为2．
故答案为2．
17.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
利用二次根式的乘除法法则计算即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．
先将x的值分母有理化得出，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】
解：，
．
故答案为．
19.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了完全平方公式以及各象限内点的坐标特点根据第二象限的坐标特点得到，，解得，而原式，再根据绝对值的意义得到原式，然后去括号合并即可．
【解答】
解：点在第二象限，
，，解得，
原式
．
故答案为3．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握提公因式法因式分解和二次根式混合运算顺序和运算法则．将x、y的值代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】
解：当，时，
原式
，
故答案为：．
21.【答案】解：原式
．
【解析】本题考查的是二次根式的乘除有关知识，首先对该式进行变形，然后再进行计算即可解答．
22.【答案】解：原式
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
【解析】本题主要考查二次根式的加减法和零次幂指数等于解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．根据二次根式的性质化简各二次根式，再计算加减可得．二次根式的性质：，根据a的符号再去绝对值符号，然后合并同类二次根式．
23.【答案】解：
，
当时，
原式．
【解析】本题考查了因式分解，利用了公式法分解因式，代数式求值解题时先将看作一个整体，那么所求的代数式正好是个完全平方式，可按公式将所求代数式进行化简，然后整体代入求值即可．
24.【答案】解：；
由题意可得：，．
【解析】此题主要考查了分母有理化和估算无理数的大小，正确表示出有理化因式是解题关键．
直接找出分母有理化因式进而化简求出答案；
直接表示出a的值，进而化简求出答案．
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16.3二次根式的加减（基础题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.下列二次根式化简后，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
3.若为整数，则a的值可能是（ ）
A. B. 27 C. 24 D. 20
4.下列各式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.计算的结果是（ ）
A. B. 0 C. D.
7.若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
8.已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9.若，，则的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 7
10.若三角形的三边长为，，则此三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.计算的结果是______．
12.计算：______．
13.已知，，那么a，b的大小关系是a______用“”，“”或“”填写
14.最简二次根式与是同类二次根式，则______．
15.计算：______．
16.计算：的结果是_________．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
17.计算：
18.计算：．
四、解答题（本大题共2小题，共120.0分）
19.先化简，再求值：，其中．
20.如果最简二次根式与是同类二次根式．
（1）求出a的值；
（2）若，化简：．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算正确；
D、2和不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
根据，，被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则．
2.【答案】C
【解析】解：，，，
因为、、与的被开方数不相同，不能合并；
化简后C的被开方数与相同，可以合并．
故选：C．
先把各根式化简，与的被开方数相同的，可以合并．
本题考查了同类二次根式的概念．注意同类二次根式是在最简二次根式的基础上定义的．
3.【答案】D
【解析】解：，
A.当时，，则，不为整数，不符合题意；
B.当时，，不能合并，不符合题意；
C.当时，，不能合并，不符合题意；
D.当时，，，则，b为整数，符合题意；
故选D．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：，A选项成立，不符合题意；
，B选项成立，不符合题意；
，C选项不成立，符合题意；
，D选项成立，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
C.3与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D.，故本选项正确．
故选D．
根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，在进行二次根式的加减运算时要把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
6.【答案】B
【解析】解：原式
．
故选B．
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
【解答】
解：，
，
，
，
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：A、当时，，故A选项错误；
B、当时，，与是同类二次根式，故B选项正确；
C、当时，，故C选项错误；
D、当时，，故D选项错误．
故选：B．
根据题意，它们的被开方数相同，将各选项的值代入求解即可．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
9.【答案】B
【解析】解：，，
，
，
，
故选B．
根据a、b的值可以求得和ab的值，从而可以解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
10.【答案】A
【解析】解：，
三角形的三边长为，，2，此三角形为直角三角形，
故此三角形的面积为：．
故选：A．
直接利用勾股定理的逆定理得出此三角形为直角三角形，再利用直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可．
本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化简与同类二次根式合并．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为．
直接化简二次根式进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：，
所以．
故答案为．
把b的值进行分母有理化即可得到得到a与b的大小关系．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14.【答案】5
【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：5．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
本题考查了一元一次方程的解法和同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式．
15.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接合并同类二次根式即可求解．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的减法的知识点，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可?
【解答】
解：原式
．
故答案为．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先化简各二次根式，再合并同类二次根式、计算乘法即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：原式
．
【解析】先利用平方差公式计算、化简二次根式，再计算加减可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则及平方差公式．
19.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
20.【答案】解：由题意可知：
????
，
，
原式
【解析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案．
根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
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16.3二次根式的加减（培优题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若，，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D. 4
3.已知??则?
A. B. C. D.
4.已知，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
5.二次根式化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
6.若，，则代数式的值为（ ）
A. 3 B. C. 5 D. 9
7.已知，，则的值为（ ）
A. 16 B. 20 C. D. 4
8.若，，则???
A. B. C. D.
9.在中，，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
10.已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amnbn，则4ab ?
A. 5 B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.已知，那么 ______ ．
12.观察分析下列数据：0，，，，，，，，根据数据排列的规律得到第13个数据应是______．
13.对正实数a，b作定义，若，则 ______ ．
14.已知：，，则______．
15.已知：，求的值____．
16.已知，化简：______．
17.如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是______．
18.已知，，则 ______ ．
19.，a和b都是正整数且a是偶数，满足，则____________．
20.如图，中，，AD为BC边上中线，若，周长为，则的面积为??????????．
三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
21.已知，，求的平方根．
已知，，试求的值．
23.观察下列一组等式，解答后面的问题：
，，，，
根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
利用上面的规律，比较与的大小．
24.我们学习完全平方公式和后，可以进行如下化简：
．
(1)仿照上述运算，填空．
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??
(2)若，，则? ? ? ? ? ? ?．
(3)根据上述规律求值：．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、原式，故A错误；
B、原式，故B错误；
C、原式
，故C正确；
D、原式，故D错误．
故选：C．
分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各选项进行逐一计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键
2.【答案】B
【解析】解：，，
，
则，
；
故选B．
根据，，判断出，再把要求的式子进行配方，即可求出答案．
此题考查了二次根式的化简求值，关键是根据已知条件判断出，从而得出正确答案．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查完全平方公式及二次根式的化简求值，由平方关系：，先代值，再开平方．
【解答】
解：，
，
，
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了代数式的值，根据可得，再求平方根可得答案．
【解答】
解：根据可得
，
则的值为．
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是最简二次根式的定义及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键先根据二次根式的定义得到a的取值范围，再结合二次根式的性质对原式进行化简即可得出正确选项．
【解答】
解：有意义，
，
．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了代数式的值、完全平方公式以及算术平方根，先化简，再计算即可．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选A．
7.【答案】A
【解析】解：，，
，，
由题可知：
，
，
．
故选：A．
先把所求式子变形为完全平方式，再把题中已知条件代入即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，需要同学们对完全平方公式灵活运用能力．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．把已知条件两边平方得到，再根据完全平方公式得到，则利用二次根式的性质得，然后根据，去绝对值即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故选A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
首先根据题意利用基本不等式求出AC的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出的面积，将AC的最大值代入即可求出的面积的最大值．
【解答】
解：，，
利用余弦定理得出：，
，
即，
，
面积最大值为，
面积最大值为．
故选B．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
根据已知首先求出m，n的值，进而化简原式得出关于a、b的方程组，求出即可．
【解答】
解：，n分别表示的整数部分和小数部分，
因为，所以，
故，．
．
．
等式两边相对照，因为结果不含，
所以，
解得：．
所．
故选D．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式得出，进而得出的值．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12.【答案】6
【解析】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，，
第13个答案为：．
故答案为：6．
通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，，可以得到第13个的答案．
此题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
13.【答案】32
【解析】解：
，
，
方程可化为，解得，
故答案为：32
根据定义把化为普通方程，求解即可．
本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故答案是：．
先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．
考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．
15.【答案】2020
【解析】【分析】
本题考查了求代数式的值及二次根式的化简求值先化简，然后代入求值．
【解答】
解：
原式
．
故答案为2020．
16.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题．
【解答】
解：已知，
所以，
故答案为3．
17.【答案】2
【解析】解：设正三角形的边长为a，则，
解得．
则图中阴影部分的面积．
故答案是：2．
由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积．
考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽．
18.【答案】
【解析】解：，
，
，
而，
．
故答案为．
先把两边平方得到，然后把代入计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
19.【答案】4096或1600．
【解析】【分析】
本题考查的是实数的运算，先根据题意得出与的值是解答此题的关键．
先把化为的形式，再由a，b都是正整数即可得出结论．?
【解答】
解：，，a和b都是正整数且a是偶数，
，或，，
，或，，
或，
故答案为4096或1600．
20.【答案】4
【解析】解：设AB长为a，AC长为b，
在中，，AD为BC边上中线且，
，
，
又周长为，
，
．
的面积为：．
故答案为：4．
设AB长为a，AC长为b，根据AD为直角三角形ABC斜边BC的中线，可求出BC的长度，即求出的值，然后根据周长为，可求出的值，求解即可．
本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键在于根据AD为直角三角形ABC斜边BC的中线，求出BC的长度．
21.【答案】解：，
，
，
，
所以的平方根为．
【解析】本题考查了二次根式的化简求值以及平方根的求法，掌握完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式公式，把化为，再代入即可．
22.【答案】解：，，，
．
【解析】根据，，求得，，，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：原式
；
，
，
而，
．
【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
利用分母有理化得到原式，然后合并后利用平方差公式计算；
通过比较它们的倒数进行判断．
24.【答案】解：
原式
．
【解析】【分析】
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，有一定难度．
明确二次根式化简求值的方法并利用完全平方公式进行灵活变形是解答本题的关键．
仿照案例，利用完全平方公式计算即可；
利用完全平方公式计算；
先仿照案例，去掉外边的根号，然后中间部分两两相消，剩下首尾两项，不难得解．
【解答】
解：；
，，
见答案．
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