第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
课时1 平行四边形的判定(一)
知识点1 利用平行四边形的定义进行判定
【核心提示1】两组对边分别平行的四边形是 .
1.在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,因此这个图形是 .
2.如图所示,两张等宽的纸条交叉重叠在一起 ,则重叠部分的四边形ABCD一定是( )
A.正方形 B.平行四边形
C.三角形 D.长方形
3.(江苏淮安)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是 .(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段)
4.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB,GH∥AD,则图中有
个平行四边形.
知识点2 平行四边形的判定定理1
【核心提示2】两组对边分别相等的四边形是 .
5.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,因此这个图形是 .
6.在四边形ABCD中,已知AB=7,BC=5,CD= 7,当AD= 时,四边形ABCD是平行四边形.
7.一个四边形边长依次为 a,b,c,d,且(a-c)2 +=0,则这个四边形为
.
8.如图,点D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连结AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连结CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 .9.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,要使四边形ABCD为平行四边形,则应增加的条件是( )
A.OB=OA B.OB=OC
C.AB=CD D.∠ABC+∠BCD=180°
10.如图,已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上两点,且AE∥CF,若∠AEB=100°,∠ADB=25°,则∠BCF等于( )A.125° B.40° C.75° D.90°
知识点3 平行四边形的判定定理2
【核心提示3】一组对边平行且相等的四边形是 .
11.在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,因此这个图形是 .
12.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC,AD上,请添加一个条件使四边形AECF是平行四边形 .(只填一个即可)
13.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( )
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD
C.AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC
14.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
15.(云南曲靖)如图,AD,BE,CF是正六边形ABCDEF的对角线,图中平行四边形的个数有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
16.如图,已知点E,F分别是四边形ABCD的对角线AC上的两点,且AF=CE,DF= BE,DF∥BE.求证:四边形ABCD是平行四边形.
17.如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE.求证:四边形DEBF是平行四边形.
18.在□ABCD中,分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连结BE、DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.
19.如图,E、F分别是□ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若M、N分别是BE、DF的中点,连结MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
20.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD和等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF_⊥AB,垂足为F,连结DF.
(1)求证:AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
参 考 答 案
核心提示1 平行四边形
1.平行四边形
2.B
3.示例:AD∥BC
4.9
核心提示2 平行四边形
5.平行四边形
6.5
7.平行四边形
8.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9.C
10.C
核心提示3 平行四边形
11.平行四边形
12.示例:AF=CE
13.C
14.D
15.C
16.证明:∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC.
又∵AF=CE,DF=BE,
∴△ADF≌△CBE,
∴AD=CB.
∵∠CFD=180°-∠DFA,∠AEB=180°-∠BEC,
∴∠CFD=∠AEB.
又∵AE=AF-EF=CE-EF=CF,DF=BE,
∴△ABE≌△CDF,
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
17.证明:∵BE∥DF,
∴∠DFA=∠BEC.
在△ADF和△CBE中,,
∴△ADF≌△CBE,
∴BE=DF.
又∵BE=DF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
18.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD.
∵△ADE和△CBF都是等边三角形,
∴DE=AE=AD,BF=CF=BC,∠DAE=∠BCF=60°.
∴DE=BF,AE=CF.
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB-∠DAE,
∴∠DCF=∠BAE,
∴△DCF≌△BAE(SAS).
∴DF=BE.
∴四边形BEDF是平行四边形.
19.(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∠A=∠C,
又∵AE=CF,?∴△ABE≌△CDF.
(2)解:四边形MFNE是平行四边形.
由(1)知△ABE≌△CDF,∴BE=DF,∠ABE=∠CDF,
又∵ME=BM=BE,NF=DN=DF,∴ME=NF=BM=DN,
∵∠ABC=∠CDA,
∴∠MBF=∠NDE,
∵AD=BC,AE=CF,
∴DE=BF,?∴△MBF≌△NDE,
∴MF=NE,?∴四边形MFNE是平行四边形.
20.证明:(1)∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AE=AB,AB=2AF.
由Rt△ABC中,∠BAC=30°,易推得AB=2BC,
∴AF=BC.
在R△AFE和Rt△BCA中,
,
∴Rt△AFE≌Rt△BCA,
∴AC=EF.
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°,
又∵∠AFE=90°,
∴EF∥AD.
∵AC=EF,
∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.