【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章难点突破（一）：矩形的性质和判定专题训练题（含答案）

第19章 矩形、菱形与正方形
难点突破专题训练（五）
矩形的性质和判定
突破点1 利用矩形的性质求线段或角
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD与点E，若BE：ED=1：3，AD=6.
（1）求∠BAE的度数；
（2）AE等于多少？
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2.如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAC=60°，AC=10，求矩形的周长和面积.
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突破点2 矩形性质与判定的综合
3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
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4．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度.
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突破点3 矩形中的动点问题
5.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5.求0C的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
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参 考 答 案
1.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠BAE=30°；
（2）∵△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=6，
∴AE=AD=3．
2.（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BD=AC=10，OA=OC=AC=5，BO=OD=BD=5，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠BAC=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=5，
∴OA=OB=AB=5，
∴BD=2OB=2，
在Rt△BAD中，AB=5，BD=10，
由勾股定理得：AD=
=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，AD=BC=55，
∴矩形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=10+10
；
（2）矩形的面积=AB×BC=5×5=25．
3.证明：（1）∵MN∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACE，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴OE＝OC.
同理可证OF＝OC，
∴OE＝FO.
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝×180°＝90°.
由（1）得OE＝OF，
又∵O为AC的中点，∴AO＝CO.
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
4.（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD为矩形.
（2）解：延长DA，CE交于点G，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
在△AGE和△BCE中，
/，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG=BC，
∵DF=1.6，F为AD中点，
∴BC=3.2，
∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵∠DFC=2∠BCE，
∴∠BCE=∠FCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠G，
∴CF=FG=4.8.
5.解：（1）∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO，
∴OF=OC
同理可证：OC=OE，
∴OE=OF.
（2）由（1）知：OF=OC，OC=OE，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC，
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°，
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°，
∴EF==13，
∴OC=EF=.
（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.
理由：由（1）知OE=OF，当点O移动到AC中点时有OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形.
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