【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章重点巩固训练题（二）（含答案）

第19章 矩形、菱形与正方形
本章重点巩固训练（二）类型1 正方形的性质与判定
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，求证:四边形DECF是正方形.
2.（陕西）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G.
求证:AG=CG.
3.如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，试判断EF与AP的数量关系，并说明理由.
4.如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方行ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，DG=2，连接CF.求△FCG的面积.
5.（江苏杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG.
（1）写出线段AG，GE，GF之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长.
类型2 特殊平行四边形的探究性问题
6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB.（1）如果∠ABC=90°，判断四边形AEDF的形状；
如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△FAC．
（1）试说明四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？
7.探究:如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD、AE，求证:△ACE≌△CBD.
应用:如图2，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD、EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数.
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=∠D，点E是线段AD上的一个动点（点E与点A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.
（1）探究四边形ECFH的形状，并说明理由；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?为什么?
（3）若（2）中的菱形ECFH是正方形，请探究线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.

参 考 答 案
1.证明:∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°.
∵ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形DECF是正方形.
2.证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD.
∵AE=CF，
∴DE=DF，
又∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF=∠DCE，
在△AGE和△CGF中，
，
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴AG=CG.
3.解：EF=AP.理由如下:
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形.
如图，连结PC，则PC=EF
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC.
在△PAD和△PCD中，
，
∴△PAD≌△PCD（S.A.S.），
∴PA=PC
∴EF=AP.
4.解：过点F作FM⊥CD交DC延长线于M，如下图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=CD=6，DC∥AB，
∴∠CGE=∠AEG，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EH=GF，GF∥HE，
∴∠FGE=∠HEG，∴∠CGF=∠AEH，
在△FGM和△HEA中，，∴△FGM≌△HEA（AAS），∴FM=AH=2，∵DG=2，DC=6，∴GC=4，∴△FCG的面积=GC·FM=×4×2=4.
5.解：（1）AG2=GE2-GF2.
理由:连结CG.
∵四辺形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形HGFC是矩形，
∴CF=GE.
在Rt△GFC中，CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2.
（2）作BN⊥AG于N，在BN上取一点M，使得AN=BM.设AN=x.
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，
∴∠GBN=30°，
∴∠MAB=∠ABM=15°，
∴∠AMN=30°，
∴BM=AM=2x，MN=x，
在Rt△ABN中，
∵AB2=AN2+BN2，
∴42=x2+（2x+x）2，
解得x=（负值舍去），
∴BN=，
∴BG=
6.解：（1）∵△ABD，△BCE，△FAC是等边三角形，
∴AB=DB，BC=BE，AC=AF，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△DBE≌ABC（SAS），
∴DE=AC，
∴DE=AF．
同理可得DA=EF，
∴四边形AFED是平行四边形；
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．理由如下：
∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=360°-60°-150°-60°=90°，
∴平行四边形AFED是矩形；
（3）当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时，四边形ADEF是正方形．理由如下：
由（2）可知，当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，
∵AB=AC，
∴矩形AFED是正方形；
（4）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，
此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
7.解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC.
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD，
∴△ACE≌△CBD（S.A.S.）.
应用:如图，连结AC，则△ABC是等边三角形.
由探究可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D.
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠ABC=∠CGE.
∵∠ABC=60?，
∴∠CGE=60?.
8.解：（1）四边形EGFH是平行四边形.理由如下:
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴四边形EGFH是平行四边形.
（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形.
理由:在四边形ABCD中，∵点E是AD的中点，
∴AE=DE.
又∵∠A=∠D，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE（S.A.S.），
∴BE=CE.
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴EG=EH.
又由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形.
（3）FF⊥BC，EF=BC.
证明:∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°.
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴BE=CE，
即△BCE是等腰直角三角形.
连结EF，易得△FBE≌△FCE，
∴∠BFE=∠CFE=90°，∠FBE=∠FCE=45°，
则EF=BF=CF，
∴EF⊥BC，且EF=BC.