【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章重点巩固训练题（一）（含答案）
文档属性
| 名称 | 【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章重点巩固训练题（一）（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-09 22:38:11 | ||
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文档简介
第19章 矩形、菱形与正方形
本章重点巩固训练（一）
类型1 矩形的性质与判定
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF.求证：OE=OF.
2.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF=DC.
3.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CF的延长线于F，且AF=BD，连接BF.
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M、N分别是AB、CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CHN
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长.
5.如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.
（1）求证:△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证:四边形BFDE是矩形.
类型2 菱形的性质与判定
6.在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.
7.已知：如图所示，在□ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于点E，∠ABC的平分线交AD于点P，AE、BF交于点O，连结EF.求证:四边形ABEF是菱形.
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由.
9.菱形ABCD的边长为24cm.∠BAD=60°，质点P从点A出发沿着线路AB—BD—DA匀速前进，质点Q同时从点D出发沿着线路DC—CB—BD匀速前进.
（1）求BD的长；
（2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/s、5cm/s，经过12s后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形?并说明理由.
8.如图，在菱形ABCD中，P是AB上一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接BE.
（1）求证：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
参 考 答 案
1.证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°
AC=BD，OD=BD，OC=AC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD，即∠EDO=∠FCO.
又∵DE=CF，
∴△ODE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF.
2.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=90°.
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
又∵AD=AE，
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴DF=AB，
∴DF=DC.
3.（1）证明：∵点E是AD的中点，∴AE=DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE.
∴∠EAF≌△EDC.∴AF=DC.
∵AF=BD，
∴BD=DC，即D是BC的中点.
（2）四边形AFBD是矩形.证明如下：
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC，又由（1）可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴四边形AFBD是矩形.
4.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN//BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN.
（2）如图，连结AN.
根据矩形的对称性可知∠PAN=∠CBN，
由（1），知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN.
∵MN∥AD.
∴∠PAN=∠ANM，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN.
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2.
设AP=x，则PD=6-x，PN=x.
在Rt△PDN中，PD2+DN2=PN2，
∴（6-x）2+22=x2，解得x=.
即AP的长为.
5.证明:（1）在ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，
∴∠CDF=∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（A.S.A.）.
（2）由（1），知△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°，
∴平行四边形BFDE是矩形.
6.证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
?∵点E，F分别为边CD，AD的中点，
∴AD-2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，? ?在△ADE和△CDF中，， ?∴△ADE≌△CDF（SAS）.
7.证明：∵四边形ABCD是平行四过形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理，AB=AF，
∴AF=BE.
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
8.解：四边形CDEF是菱形.
证明如下：∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DC=DE，又BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴∠BDC=∠BDE.又FD= FD，
∴△CDF≌△EDF（SAS），
∴∠FCD=∠FED.
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CH∥DE，
∴∠HFE=∠FED.
∴∠HFE=∠FCD，
∴FE∥CD，
∴四边形FEDC是平行四边形，又DC=DE，
∴□FEDC是菱形.
9.解：（1）∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=24cm
（2）∵vp=4cm/s，
∴sp=vpt=48cm.
又∵BD=AB=24cm，
∴点P到达点D，即点M与点D重合.
∵vQ=5cm/s，
∴sQ=vQt=60cm，
∴点N在BD的中点，
∴∠ANM=90°，即△AMN为直角三角形.
10. 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AC平分∠BCD.
∵CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴∠EBC=∠EDC.
又∵AB∥DC，∴∠APD=∠CDP，
∴∠EBC=∠APD.
（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD.
理由：连接DB，如下图.
∵∠DAB=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形.
∵P是AB边的中点，
∴DP⊥AB，
∴S△ADP=AP·DP，S菱形ABCD=AB·DP.
∵AP=AB，
∴S△ADP=×AB·DP=S菱形ABCD，
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的.
本章重点巩固训练（一）
类型1 矩形的性质与判定
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF.求证：OE=OF.
2.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF=DC.
3.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CF的延长线于F，且AF=BD，连接BF.
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M、N分别是AB、CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CHN
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长.
5.如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.
（1）求证:△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证:四边形BFDE是矩形.
类型2 菱形的性质与判定
6.在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.
7.已知：如图所示，在□ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于点E，∠ABC的平分线交AD于点P，AE、BF交于点O，连结EF.求证:四边形ABEF是菱形.
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由.
9.菱形ABCD的边长为24cm.∠BAD=60°，质点P从点A出发沿着线路AB—BD—DA匀速前进，质点Q同时从点D出发沿着线路DC—CB—BD匀速前进.
（1）求BD的长；
（2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/s、5cm/s，经过12s后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形?并说明理由.
8.如图，在菱形ABCD中，P是AB上一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接BE.
（1）求证：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
参 考 答 案
1.证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°
AC=BD，OD=BD，OC=AC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD，即∠EDO=∠FCO.
又∵DE=CF，
∴△ODE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF.
2.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=90°.
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
又∵AD=AE，
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴DF=AB，
∴DF=DC.
3.（1）证明：∵点E是AD的中点，∴AE=DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE.
∴∠EAF≌△EDC.∴AF=DC.
∵AF=BD，
∴BD=DC，即D是BC的中点.
（2）四边形AFBD是矩形.证明如下：
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC，又由（1）可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴四边形AFBD是矩形.
4.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN//BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN.
（2）如图，连结AN.
根据矩形的对称性可知∠PAN=∠CBN，
由（1），知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN.
∵MN∥AD.
∴∠PAN=∠ANM，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN.
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2.
设AP=x，则PD=6-x，PN=x.
在Rt△PDN中，PD2+DN2=PN2，
∴（6-x）2+22=x2，解得x=.
即AP的长为.
5.证明:（1）在ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，
∴∠CDF=∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（A.S.A.）.
（2）由（1），知△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°，
∴平行四边形BFDE是矩形.
6.证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
?∵点E，F分别为边CD，AD的中点，
∴AD-2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，? ?在△ADE和△CDF中，， ?∴△ADE≌△CDF（SAS）.
7.证明：∵四边形ABCD是平行四过形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理，AB=AF，
∴AF=BE.
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
8.解：四边形CDEF是菱形.
证明如下：∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DC=DE，又BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴∠BDC=∠BDE.又FD= FD，
∴△CDF≌△EDF（SAS），
∴∠FCD=∠FED.
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CH∥DE，
∴∠HFE=∠FED.
∴∠HFE=∠FCD，
∴FE∥CD，
∴四边形FEDC是平行四边形，又DC=DE，
∴□FEDC是菱形.
9.解：（1）∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=24cm
（2）∵vp=4cm/s，
∴sp=vpt=48cm.
又∵BD=AB=24cm，
∴点P到达点D，即点M与点D重合.
∵vQ=5cm/s，
∴sQ=vQt=60cm，
∴点N在BD的中点，
∴∠ANM=90°，即△AMN为直角三角形.
10. 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AC平分∠BCD.
∵CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴∠EBC=∠EDC.
又∵AB∥DC，∴∠APD=∠CDP，
∴∠EBC=∠APD.
（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD.
理由：连接DB，如下图.
∵∠DAB=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形.
∵P是AB边的中点，
∴DP⊥AB，
∴S△ADP=AP·DP，S菱形ABCD=AB·DP.
∵AP=AB，
∴S△ADP=×AB·DP=S菱形ABCD，
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的.