【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章难点突破（二）：菱形的性质和判定专题训练题（含答案）

第19章 矩形、菱形与正方形
难点突破专题训练（六）
菱形的性质和判定
突破点1 与菱形性质有关的探究题
1.如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.
（1）连接 ；
（2）猜想： = ；
（3）证明（说明：写出证明过程的重要依据）.
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2.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF．
（1）求证：△EFC是等边三角形；
（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
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突破点2 菱形性质与判定的综合
3.如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分边AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是萎形；
（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？
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突破点3 菱形与反比例函数的综合
4.如图，直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=交于A（3，），B（-5，a），两点，AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E，判断四边形CBED的形状，并说明理由.
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参 考 答 案
1.解：（1）如下图，连接AF.
（2）AF=AE.
（3）四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABF=∠ADE.
在△ABF和AADE中，，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE.
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2.（1）证明：连接AC，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1=∠2=∠BAD，AD∥BC，AB=BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△AFC和△BEC中，，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴FC=EC，∠4=∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠3+∠5=60°，
∴△EFC是等边三角形；
（2）△AEF的周长有最小值，
理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形，
∴EF也是最短的．
CE是边长为2等边△ABC的高，
∴CE=，EF=，
∴AE+AF+EF=2+．
∴△AEF周长的最小值为：2+．
3.解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD.
∵CF∥AB，
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED.
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）.
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF.
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形
（3）∵AD=3，AE=5，
∴根据勾股定理得：ED=4，
∴EF=8，AC=6，
∴S菱形AECF=8×6÷2=24，
∴菱形AECF的面积是24.
4.解：四边形CBED是菱形.
∵双曲线y=过A（3，），
∴k=20.
把B（-5，a）代人y=，
得a=-4.
∴点B的坐标是（-5，-4）.
∵AD⊥x轴于D，
∴D（3，0）.
设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A（3，），B（-5，-4）代入得：
，
解得m=，n=，
∴直线AB的解析式为y=x+，
∴点C的坐标是（-2，0）.
∵BE∥x轴，
∴点E的坐标是（0，-4），
而CD=5，BE=5，且BE∥CD，
∴四边形CBED是平行四边形.
在Rt△OED中，ED2=OE2+OD2，
∴ED==5，
∴ED=CD，
∴□CBED是菱形.
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