【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章难点突破（三）：菱形的性质和判定专题训练题（含答案）
文档属性
| 名称 | 【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章难点突破（三）：菱形的性质和判定专题训练题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-09 22:58:52 | ||
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文档简介
第19章 矩形、菱形与正方形
难点突破专题训练（七）
菱形的性质和判定
突破点1 正方形性质的综合运用
1.已知：如图，正方形BEFG的边BG在正方形ABCD的边BC上，连结AG、EC.
（1）观察猜想AG与CE之间的大小关系，并说明你的理由；
（2）请你延长AG交CE于点M，AM与CE是什么样的位置关系？请说明理由.
/
2.如图，正方形ABCD中，AB=√3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度.
（1）求证:DF+BE=EF；
（2）求:∠EFC的度数；
（3））求△AEF的面积.
/
突破点2 矩形、菱形和正方形判定的综合
3.如图，∠C=90°，DE垂直平分BC，AF=CE．
（1）请你判断四边形AFEC的形状，并说明理由；
（2）猜想：∠A的大小为多少时，四边形AFEC为菱形？
（3）你认为四边形ACEF可能为正方形吗？
/
4.如图，点D是△ABC是的BC边上的一个动点，过点D作直线l∥AB交∠ABC的平分线于点E，交∠ABC的外角平分线于点F，连接AE，CE，CF．
（1）试探索ED与DF之间的数量关系，并予以证明；
（2）当点D在边BC上运动时，四边形ABEF是否是菱形，说明理由；
（3）在点D运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形BFCE是正方形，请给出证明．
/
参 考 答 案
1.（1）AG=CE．
理由是：∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，
∴AB=BC，∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE．
在△ABG与△CBE中，，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=CE；
（3）AM⊥CE．
理由是：∵△ABG≌△CBE
∴∠GAB=∠BCE，
∵∠CGM=∠AGB，
∵∠ABG=90°，
∴∠GAB+∠AGB=90°，
∴∠GCM+∠CGM=90°，
∴∠CMG=90°，
∴AM⊥CE．
2.（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，
/
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；
（2）∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AGE=75°，
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，
∴∠EFC=30°．
（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，
∴BE=1，CE=-1，
∵∠EFC=30°，
∴CF=3-，
∴S△CEF=CE?CF=2-3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ADF-S△AEB-S△CEF=S正方形ABCD-S△AEF-S△CEF，
S△AEF=S正方形ABCD-S△AEF-S△CEF=3-．
3. 解：（1）四边形AFEC为平行四边形；理由如下：
如图所示：
/
∵FD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠FDB=∠ACB，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
∴CE=AE，
又∵AF=CE，
∴AF=AE，
∴∠F=∠3，∴∠F=∠5，
在△EAF和△AEC中，，
∴△EAF≌△AEC（AAS）
∴EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠BAC=60°时，四边形AFEC为菱形；理由如下：
∵∠BAC=60°，CE=AE，
∴△EAC是等边三角形，即AC=AE=EC，
又∵由（1）知，四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形；
（3）不可能；
因为若AFEC为正方形，则∠ACE=90°，那么点E与D重合，这不符合题意．
4.解：（1）ED=DF；
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵l∥AB，
∴∠1=∠3，
则∠2=∠3，
∴ED=DB，
同理可证：DB=DF，
∴ED=DF；
（2）四边形ABFE不可能是菱形．
理由：连接AF，
/
若四边形ABFE是菱形，则AF⊥BE，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBH，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
则∠2+∠4=（∠1+∠2+∠3+∠4）=90°，
即BE⊥BE，
在同一平面内，过同一点不可能有两条直线同时垂直于同一直线．
（3）当点D运动到BC的中点，且△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形时，四边形BFCE是正方形．
证明：∵D是BC的中点，
∴CD=DB，由（1）知：ED=DF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
由（2）知∠FBE=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
又∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵EF∥AB，
∴BC⊥EF，
∴四边形BFCE是正方形．
/
难点突破专题训练（七）
菱形的性质和判定
突破点1 正方形性质的综合运用
1.已知：如图，正方形BEFG的边BG在正方形ABCD的边BC上，连结AG、EC.
（1）观察猜想AG与CE之间的大小关系，并说明你的理由；
（2）请你延长AG交CE于点M，AM与CE是什么样的位置关系？请说明理由.
/
2.如图，正方形ABCD中，AB=√3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度.
（1）求证:DF+BE=EF；
（2）求:∠EFC的度数；
（3））求△AEF的面积.
/
突破点2 矩形、菱形和正方形判定的综合
3.如图，∠C=90°，DE垂直平分BC，AF=CE．
（1）请你判断四边形AFEC的形状，并说明理由；
（2）猜想：∠A的大小为多少时，四边形AFEC为菱形？
（3）你认为四边形ACEF可能为正方形吗？
/
4.如图，点D是△ABC是的BC边上的一个动点，过点D作直线l∥AB交∠ABC的平分线于点E，交∠ABC的外角平分线于点F，连接AE，CE，CF．
（1）试探索ED与DF之间的数量关系，并予以证明；
（2）当点D在边BC上运动时，四边形ABEF是否是菱形，说明理由；
（3）在点D运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形BFCE是正方形，请给出证明．
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参 考 答 案
1.（1）AG=CE．
理由是：∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，
∴AB=BC，∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE．
在△ABG与△CBE中，，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=CE；
（3）AM⊥CE．
理由是：∵△ABG≌△CBE
∴∠GAB=∠BCE，
∵∠CGM=∠AGB，
∵∠ABG=90°，
∴∠GAB+∠AGB=90°，
∴∠GCM+∠CGM=90°，
∴∠CMG=90°，
∴AM⊥CE．
2.（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，
/
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；
（2）∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AGE=75°，
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，
∴∠EFC=30°．
（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，
∴BE=1，CE=-1，
∵∠EFC=30°，
∴CF=3-，
∴S△CEF=CE?CF=2-3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ADF-S△AEB-S△CEF=S正方形ABCD-S△AEF-S△CEF，
S△AEF=S正方形ABCD-S△AEF-S△CEF=3-．
3. 解：（1）四边形AFEC为平行四边形；理由如下：
如图所示：
/
∵FD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠FDB=∠ACB，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
∴CE=AE，
又∵AF=CE，
∴AF=AE，
∴∠F=∠3，∴∠F=∠5，
在△EAF和△AEC中，，
∴△EAF≌△AEC（AAS）
∴EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠BAC=60°时，四边形AFEC为菱形；理由如下：
∵∠BAC=60°，CE=AE，
∴△EAC是等边三角形，即AC=AE=EC，
又∵由（1）知，四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形；
（3）不可能；
因为若AFEC为正方形，则∠ACE=90°，那么点E与D重合，这不符合题意．
4.解：（1）ED=DF；
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵l∥AB，
∴∠1=∠3，
则∠2=∠3，
∴ED=DB，
同理可证：DB=DF，
∴ED=DF；
（2）四边形ABFE不可能是菱形．
理由：连接AF，
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若四边形ABFE是菱形，则AF⊥BE，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBH，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
则∠2+∠4=（∠1+∠2+∠3+∠4）=90°，
即BE⊥BE，
在同一平面内，过同一点不可能有两条直线同时垂直于同一直线．
（3）当点D运动到BC的中点，且△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形时，四边形BFCE是正方形．
证明：∵D是BC的中点，
∴CD=DB，由（1）知：ED=DF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
由（2）知∠FBE=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
又∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵EF∥AB，
∴BC⊥EF，
∴四边形BFCE是正方形．
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