1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
选择题
函数f(x)＝sin图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝π
2．将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sinx＋ B．y＝sinx－ C．y＝sin D．y＝sin
3. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2016·绵阳模拟)为了得到y＝3sin(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋)(x∈R)的图象上所有的点的( )
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)的一条对称轴方程可以为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
函数y=4sin(2x+π)的图象关于( )
A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x=对称
8.(2018·济宁高一检测)将函数f(x)=的图象左移个单位长度,再将图象上各点横坐标变为原来的,则所得到的图象的解析式为( )
A.y=sinx B.y= C.y= D.y=
9．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|≤)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
10.(2018·福州高一检测)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
11.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5cm
C.该质点在0.1s和0.5s时速度最大
D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大
12.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调增区间为( )
A. B. C. D.
(2018·石家庄高一检测)将函数y=的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
(2018·南昌高一)已知函数y=2sinx的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a的值不可能是( )
A. B.π C. D.
15.(2018·西安高一检测)函数y=(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
二、填空题
1．用“五点法”作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________，________，________，________，________.
f(x)是以2π为周期的奇函数,若的值为
3．简谐振动y＝sin的频率和相位分别是________．
4. (2018·济宁高一检测)设函数,则该函数的最小正周期为 ,f(x)在的最小值为 .
(2018·济南高一检测)函数的最小正周期是 ,单调递增区间是 .
将函数f(x)=sin(ωx+φ),图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则= .
三、解答题
(2016·盐城模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
(2018·浏阳高一检测)已知函数y=a-bcos3x(b>0)的最大值为,最小值为-,求函数y=-4asin3bx的单调区间,最大值和最小正周期.
已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
选择题
函数f(x)＝sin图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝π
解析：B 对于函数f(x)＝sin，令x＋＝kπ＋，求得x＝kπ＋，k∈Z，
可得它的图象的一条对称轴为x＝，故选B.
2．将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sinx＋ B．y＝sinx－ C．y＝sin D．y＝sin
解析：C. y＝sinxy＝sin.
3. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：由图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，得2＝2sin.∴φ－＝2kπ＋，k∈Z.
即φ＝2kπ＋，由k＝0，得φ＝π，所以y＝2sin.答案：A
(2016·绵阳模拟)为了得到y＝3sin(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋)(x∈R)的图象上所有的点的( )
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
解析：B. y＝3sin，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到
y＝3sin.
下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：A. 选项C，D的周期为2π，所以排除；选项B，当x∈时，2x＋∈，
y＝sin为减函数，y＝cos为增函数，故选A.
将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)的一条对称轴方程可以为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
解析:f(x)＝sin的图象向右平移个单位得g(x)＝sin＝sin(2x－π)＝－sin2x.由2x＝kπ＋得g(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)取k＝1，得x＝，故选A.
函数y=4sin(2x+π)的图象关于( )
A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x=对称
【解析】选B.因为y=4sin(2x+π)=-4sin2x,所以y=4sin(2x+π)为奇函数,其图象关于原点对称.
8.(2018·济宁高一检测)将函数f(x)=的图象左移个单位长度,再将图象上各点横坐标变为原来的,则所得到的图象的解析式为( )
A.y=sinx B.y= C.y= D.y=
【解析】选B.函数f(x)=的图象左移个单位长度得到f(x)=,再将图象上各点横坐标变为原来的得到.
9．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|≤)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：A 由题意知T＝＝6.由f(x)的图象过点(0,1)知sinφ＝，因为|φ|≤，所以φ＝.
10.(2018·福州高一检测)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【解析】选B.由y==cos2x,为偶函数,故排除A.
由y==-sin2x,为奇函数,且周期为=π.故B满足条件.
y=与y=为非奇非偶函数.
11.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5cm
C.该质点在0.1s和0.5s时速度最大
D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大
【解析】选B.周期为2×(0.7-0.3)=0.8s,故A错;由题中图象可知,振幅为5cm,故B对;在最高点时,速度为零,加速度最大,故C、D错.
12.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调增区间为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由已知得2=?ω=,所以f(x)=,令-+2kπ≤πx-≤+2kπ,解得-+2k≤x≤+2k,k∈Z,又x∈[-1,1],所以-≤x≤,所以函数f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为.
(2018·石家庄高一检测)将函数y=的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.将函数y=的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)可得到函数y=,然后该函数的图象向右平移个单位可得到函数y==sin2x,由2x=kπ?x=,k∈Z,所以该函数的对称中心为.
(2018·南昌高一)已知函数y=2sinx的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a的值不可能是( )
A. B.π C. D.
【解析】选D.因为y=2sinx的定义域为[a,b],值域为[-2,1],所以x∈[a,b]时,-1≤sinx≤,故sinx能取得最小值-1,最大值只能取到.当a=-,b=时,b-a最小为;当a=-,b=时,b-a最大为,即≤b-a≤,即b-a一定取不到.
15.(2018·西安高一检测)函数y=(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】选D.由≤2,所以,k≥4π,又k为正整数,故k的最小值为13.
二、填空题
1．用“五点法”作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________，________，________，________，________.
解析：令x－分别等于0，，π，，2π，得x的值分别为：，，，，.故这五个点是，，，，.
答案：
f(x)是以2π为周期的奇函数,若的值为
【解析】因为f(x)是以2π为周期的奇函数,所以
所以,
3．简谐振动y＝sin的频率和相位分别是________．
解析：答案：，4x＋。简谐振动y＝sin的周期是T＝＝，相位是4x＋，频率f＝＝.
4. (2018·济宁高一检测)设函数,则该函数的最小正周期为 ,f(x)在的最小值为 .
【解析】由题意可知,π;因为x∈,所以∈,所以∈,所以f(x)在的最小值为.
(2018·济南高一检测)函数的最小正周期是 ,单调递增区间是 .
【解析】由题意得, =-,所以=π,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即单调递增区间是,k∈Z.
将函数f(x)=sin(ωx+φ),图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则= .
【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,可得函数y=sin(2ωx+φ)的图象,再把所得图象向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω(x-)+φ]=sin[2ωx+φ-]=sinx的图象,所以2ω=1,且φ-ω=2kπ,k∈Z,所以ω=,φ=+2kπ,所以f(x)=sin,所以=sin=sin=.
三、解答题
(2016·盐城模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
【解析】 (1)由题中图象知，A＝2，又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点代入，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z.即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又－<φ<，所以φ＝,所以f(x)＝2sin.
(2)当x∈时，x＋∈所以sin∈ 即f(x)∈[－，2]．
(2018·浏阳高一检测)已知函数y=a-bcos3x(b>0)的最大值为,最小值为-,求函数y=-4asin3bx的单调区间,最大值和最小正周期.
【解析】由已知条件得解得
所以y=-2sin3x,其最大值为2,最小正周期为,由2kπ-≤3x≤2kπ+,k∈Z,
得-+≤x≤+,k∈Z,所以单调递减区间为(k∈Z),
由2kπ+≤3x≤2kπ+,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z,所以单调递增区间为(k∈Z).
已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
【解析】 (1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，所以对称中心为(k∈Z)．
(3)sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，
此时x的取值集合是.
