2.2 平面向量的线性运算
一、选择题
1.(2019·荆州高一检测)在平行四边形ABCD中,=a,=b,则+等于( )
A.a B.b C.0 D.a+b
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 ( )
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
3.(2019·杭州高一检测)++= ( )
A. B. C. D.
4.设a,b为不共线的两个非零向量,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于( )
A.10 B.-10 C.2 D.-2
5.若||=8,||=5,则的取值范围等于 ( )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)[来源:Zxxk.Com]
6.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
A.=+ B.=- C.=-+ D.=--
7.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|等于( )
A.1 B.2 C.3 D.2
8.平面上有一个△ABC和一点O,设=a,=b,=c,又OA,BC的中点分别为D,E,则向量等于 ( )
A.(a+b+c) B.(-a+b+c) C.(a-b+c) D.(a+b-c)
9.平面内有三点A,B,C,设m=+,n=-,若|m|=|n|,则有 ( )
A.A,B,C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC=90° D.△ABC必为等腰直角三角形
10.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若=a,=b,则= ( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
11.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,则( B )
A.=2 B.= C.=3 D.2=
12.若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则( )
A.|2b|>|a-2b| B.|2b|<|a-2b| C.|2a|>|2a-b| D.|2a|<|2a-b|
二、填空题
1.在△ABC中,=a,=b,=c,则a+b+c=________.?
2.在下列四个式子中,能化简为的有____________.?
①(+)+; ②(+)+(+);③++; ④++.
3.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=b,=c,则等于________.?
4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.?
5.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=________.?
6.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R),n=e2-2e1共线,则k=________.?
7.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-|,试判断△ABC的形状是_______.?
8.设a,b是不共线的两个非零向量,记=ma,=nb,=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M,P,N三点共线,则+=________.?
解答题
1.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:+=+.
2.已知正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
3.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
4.设两个非零向量e1,e2不共线,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.问:是否存在实数k,使得A,B,D三点共线,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
5.在△ABC中,点D是边BC的中点,A,D,E三点共线,求证:存在一个实数λ,使得=λ(+).
2.2 平面向量的线性运算
一、选择题
1.(2019·荆州高一检测)在平行四边形ABCD中,=a,=b,则+等于( B )
A.a B.b C.0 D.a+b
【解析】选B.因为在平行四边形ABCD中,=,所以+===b.
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 ( D )
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
【解析】选D.因为向量a,b不共线,所以d=a-b是非零向量,因为c∥d,所以存在非零实数λ,使得c=λd,所以ka+b=λ(a-b),所以(k-λ)a+(1+λ)b=0,因为向量a,b不共线,所以
所以k=λ=-1,此时c与d反向.
3.(2019·杭州高一检测)++= ( D )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为++=+=+=,所以D正确.
4.设a,b为不共线的两个非零向量,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于( C )
A.10 B.-10 C.2 D.-2
【解析】选C.因为A,B,D三点共线,所以=λ=λ(-),所以a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),所以λ=1,k=2.
5.若||=8,||=5,则的取值范围等于 ( C )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)[来源:Zxxk.Com]
【解析】选C.=-,根据三角形法则,当,共线且同向时,||=3;当,共线且反向时,||=13;当,不共线时,3<||<13,故||∈[3,13].
6.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( B )
A.=+ B.=- C.=-+ D.=--
【解析】选B.=+=-=-=--.
7.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|等于( B )
A.1 B.2 C.3 D.2
【解析】选B.由正六边形知=,所以++=++=,
所以|++|=||=2.
8.平面上有一个△ABC和一点O,设=a,=b,=c,又OA,BC的中点分别为D,E,则向量等于 ( B )
A.(a+b+c) B.(-a+b+c) C.(a-b+c) D.(a+b-c)
【解析】选B.=+=-a+(b+c)=(-a+b+c).
9.平面内有三点A,B,C,设m=+,n=-,若|m|=|n|,则有 ( C )
A.A,B,C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC=90° D.△ABC必为等腰直角三角形
【解析】选C.如图,作=,则ABCD为平行四边形,从而m=+=,n=-=-=.因为|m|=|n|,所以||=||.
所以四边形ABCD是矩形,所以△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°.
10.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若=a,=b,则= ( A )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
【解析】选A.由已知条件可知BE=3DE,所以DF=AB,所以=+=+ =a+b.
11.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,则( B )
A.=2 B.= C.=3 D.2=
【解析】选B.因为D为BC的中点,所以+=2,所以2+2=0,所以=-,所以=.
12.若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则( A )
A.|2b|>|a-2b| B.|2b|<|a-2b| C.|2a|>|2a-b| D.|2a|<|2a-b|
【解析】选A.如图,在三角形ABC中,=a,=b,
则=a-b,延长BC至D,使得BC=CD,连接AD,所以=2b,=a-2b,因为|a-b|=|b|,所以边AC=BC=CD,所以三角形ADB是直角三角形,所以|2b|>|a-2b|.
二、填空题
1.在△ABC中,=a,=b,=c,则a+b+c=________.?
答案:0【解析】由向量加法的三角形法则,得
+=,即a+b+c=++=0.
2.在下列四个式子中,能化简为的有答案:①②④____________.?
①(+)+; ②(+)+(+);③++; ④++.
【解析】①式可化为:(+)+=+=;②式可化为:+(++)= +0=;③式可化为:++=2+;④式可化为:++=.
3.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=b,=c,则等于________.?
答案:b-c【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形,所以==-=b-c.
4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.?
答案:【解析】因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以λ=.
5.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=________.?
答案:-4【解析】设λ<0,则ka+2b=λ(8a+kb),即ka+2b=8λa+λkb,由a,b不共线,故k=8λ,2=λk,
则k2=16,解得k=-4或k=4(舍去).
6.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R),n=e2-2e1共线,则k=________.?
答案:【解析】因为m与n共线,所以存在λ使得m=λn,即-e1+ke2=λ(e2-2e1),所以(-1+2λ)e1=(λ-k)e2,因为e1,e2不共线,所以解得k=.
7.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-|,试判断△ABC的形状是答案: 直角三角形________.?
【解析】因为-+-=+,-==-,又|-|=|-+ -|,所以|+|=|-|,所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以此平行四边形为矩形.所以AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.
8.设a,b是不共线的两个非零向量,记=ma,=nb,=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M,P,N三点共线,则+=________.?
答案:1【解析】若M,N,P三点共线,则存在实数λ,使得=λ,
所以-=λ(-),所以(1+λ)=+λ,即==a+b,因为a,b不共线,所以所以+=+=1.
解答题
1.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:+=+.
【证明】因为=+,=+,所以+=+++.又因为BP=QC且与方向相反,所以+=0,所以+=+,即+=+.
2.已知正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
【证明】设正方形的边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则中点E(1,0),F(2,1),所以=(2,1),=(1,-2),
所以·=2×1+1×(-2)=0,所以⊥,所以AF⊥DE.
3.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
【解析】(1)由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
因为=2e1-8e2,所以=2.又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)由(1)可知=e1-4e2,因为=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,所以=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,得解得k=12.
4.设两个非零向量e1,e2不共线,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.问:是否存在实数k,使得A,B,D三点共线,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【解析】假设存在实数k,使得A,B,D三点共线,
因为=-=(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2,=2e1+ke2.
又因为A,B,D三点共线,所以=λ,所以2e1+ke2=λ(-e1+4e2),
所以所以k=-8,所以存在k=-8,使得A,B,D三点共线.
在△ABC中,点D是边BC的中点,A,D,E三点共线,求证:存在一个实数λ,使得=λ(+).
【证明】由向量加法的平行四边形法则可知=(+).
因为A,D,E三点共线,所以可设=μ,则=(+).
令λ=,可得=λ(+).所以,存在一个实数λ,使得=λ(+).
