2.3 平面向量基本定理
一、填空题
1.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 ( )
A.60° B.120° C.30° D.150°
2.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近A的三等分点,点P在BN上且/=//+//,则实数m的值为( )
/
A.1 B./ C./ D./
3.已知△ABC中,点D在BC边上,且/=2/,/=r/+s/,则r+s的值是( )
A./ B./ C.-3 D.0
4.（2019·湖南高一期末）已知/，/，则/（ ）
A．2 B．/ C．4 D．/
5.（2019·云南高一期末）已知向量/，/，则/（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
6．（2019·江西高一期末（文））已知向量/，/，若/，则/（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
7．（2019·福建高三月考）已知/，若/，则/的坐标为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
8.(2019·衡水高一检测)设α为锐角,a=(sin α,1),b=(1,2),若a与b共线,则角α= ( )
A. 15° B. 30° C.45° D.60°
9.若a=(x,2),b=/,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d等于 ( )
A./ B./ C.(1,2) D.(-1,-2)
10.已知两向量a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),若a∥b,则/= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2019·七台河高一检测)设a=(2,-1),向量b满足2a-b=(-1,3),则b等于( )
A.(-5,5) B.(5,-5) C.(-3,3) D.(3,-3)
12．（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
13．（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若向量/与向量/为共线向量，且/，则向量/的坐标为( )
A．/ B．/ C．/或/ D．/或/
二、填空题
1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=/AB,BE=/BC.若/=λ1/+λ2/ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.?
2.(2019·南通高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,F是BC边的中点,AF交BD于点E,若/=λ/,则λ=__________.?
/
3.若向量a=(x+3,x2-3x-4)与/相等,其中A(1,2),B(3,2),则x=________.?
4．已知/，/是两个不平行的向量，/、/，则/成立的充要条件是_________.
5．（2019·浙江高一期末）已知向量/，/，则/__________，与/方向相反的单位向量/__________.
6．（2019·浙江高一期中）已知向量/满足/.若/，则/ _______； /______.
7．（2018·四川高一月考）已知/，若/，则实数/=__________；/=__________.
8．（2018·浙江高一期中）如图，在/中，/为线段/上的一点，/，且/，则/_______，/_______.
/
三．解答题
1.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线.
(2)若/=2a+3b,/=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.
2.如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求证:AP∶PM=4∶1.
/
3.(2019·聊城高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,3),B(1,2), C(-3,2).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
(2)当t为何值时,t/+/与2/-/平行.
4.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求3a+b-2c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
/
2.3 平面向量基本定理
一、填空题
1.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 ( A )
A.60° B.120° C.30° D.150°
【解析】选A.平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.
2.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近A的三等分点,点P在BN上且/=//+//,则实数m的值为( D )
/
A.1 B./ C./ D./
【解析】选D.因为N为线段AC上靠近A的三等分点,所以/=//,因为点P在BN上,设/=t/,则/=/+/=/+t/=/+// =//+//,即/=//+//,因为/=//+//,
所以1-/=m+/,/=/,所以t=/,m=/.
3.已知△ABC中,点D在BC边上,且/=2/,/=r/+s/,则r+s的值是( D )
A./ B./ C.-3 D.0
【解析】选D.因为/=//=/(/-/),所以r=/,s=-/,所以r+s=0.
4.（2019·湖南高一期末）已知/，/，则/（ C ）
A．2 B．/ C．4 D．/
【答案】C【解析】由题得/=（0,4）所以/．
5.（2019·云南高一期末）已知向量/，/，则/（ A ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】A【解析】由题得/.
6．（2019·江西高一期末（文））已知向量/，/，若/，则/（ D ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D【解析】/向量/，/，且/，/，解得/.
7．（2019·福建高三月考）已知/，若/，则/的坐标为（ D ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D【解析】设/,因为/,
所以/.所以/,
所以/,解得:/ ,/.所以/.
8.(2019·衡水高一检测)设α为锐角,a=(sin α,1),b=(1,2),若a与b共线,则角α= ( B )
A. 15° B. 30° C.45° D.60°
【解析】选B.由题意得2sin α=1,因为α为锐角,所以α=30°.
9.若a=(x,2),b=/,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d等于 ( D )
A./ B./ C.(1,2) D.(-1,-2)
【解析】选D.c=(x+1,4),d=/,因为3(x+1)=4/,所以x=1.
所以c=(2,4),d=/,c-2d=(-1,-2).
10.已知两向量a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),若a∥b,则/= ( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.因为a∥b,所以2cos θ-sin θ=0,2cos θ=sin/ θ,所以/=/=/=4.
11.(2019·七台河高一检测)设a=(2,-1),向量b满足2a-b=(-1,3),则b等于( B )
A.(-5,5) B.(5,-5) C.(-3,3) D.(3,-3)
【解析】选B.设b=(x,y),因为a=(2,-1),向量b满足2a-b=(-1,3),所以(4-x,-2-y)=(-1,3),
所以/解得x=5,y=-5,所以b=(5,-5).
12．（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】B【解析】对于/，/与/共线，不能作为基底；
对于/，/与/不共线，能作为基底；
对于/，/与/共线，不能作为基底；
对于/，/与/共线，不能作为基底，故选B.
13．（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若向量/与向量/为共线向量，且/，则向量/的坐标为( C )
A．/ B．/ C．/或/ D．/或/
【答案】C【解析】根据题意，设向量/的坐标为/，
由向量/与向量/为共线向量得/，即/，所以/，
因为/，即有/，解得/，/时，/，
/时/，所以向量/的坐标为/或/.故本题正确答案为C.
二、填空题
1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=/AB,BE=/BC.若/=λ1/+λ2/ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.?
答案:/【解析】/=/+/=//+//=//+/(/-/)=-//+//,
因为/=λ1/+λ2/,所以λ1=-/,λ2=/,故λ1+λ2=/.
2.(2019·南通高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,F是BC边的中点,AF交BD于点E,若/=λ/,则λ=__________.?
/
答案:/【解析】因为AD∥BC,F是BC边的中点,所以/=/=/,所以/=//,
因为/=λ/,所以λ=/.
3.若向量a=(x+3,x2-3x-4)与/相等,其中A(1,2),B(3,2),则x=________.?
【解析】因为A(1,2),B(3,2),所以/=(2,0).又因为a=/,[所以(x+3,x2-3x-4)=(2,0).
所以/所以x=-1.答案:-1
4．已知/，/是两个不平行的向量，/、/，则/成立的充要条件是_________.
【答案】/【解析】由于/，/是两个不平行的向量，所以/，/是非零的向量，
若/，则/； 反之，根据平面向量基本定理得，存在唯一一组实数对/，使/成立，所以/成立的充要条件是/.
5．（2019·浙江高一期末）已知向量/，/，则/__________，与/方向相反的单位向量/__________.
【答案】/ /
【解析】依题意/，故/.与/方向相反的单位向量/为/.
6．（2019·浙江高一期中）已知向量/满足/.若/，则/ _______； /______.
【答案】/ / 【解析】因为/，所以（/1）×m/4=0,所以m=/4.
所以/.
7．（2018·四川高一月考）已知/，若/，则实数/=__________；/=__________.
【答案】0 0 【解析】∵/
∴/，
∵/，∴/，解得/．
8．（2018·浙江高一期中）如图，在/中，/为线段/上的一点，/，且/，则/_______，/_______.
/
【答案】/ / 【解析】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由/，得/，即/，所以/，/.
三．解答题
1.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线.
(2)若/=2a+3b,/=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.
【解析】(1)由已知ka-b=(k,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+(4,2)=(5,2).
当ka-b与a+2b共线时,2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-/.
(2)由已知可得/=2a+3b=(2,0)+(6,3)=(8,3)./=a+mb=(1,0)+(2m,m)=(2m+1,m).
因为A,B,C三点共线,所以/∥/,所以8m-3(2m+1)=0,得m=/.
2.如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求证:AP∶PM=4∶1.
/
【证明】设/=b,/=c,则/=/b+/c,/=//=/c/,/=/+/=/c-b.
因为/∥/,/∥/,所以存在λ,μ∈R,使得/=λ/,/=μ/,
又因为/+/=/,所以λ/-μ/=/,/
又因为b与c不共线,所以/解得/故/=//,即AP∶PM=4∶1学,
3.(2019·聊城高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,3),B(1,2), C(-3,2).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
(2)当t为何值时,t/+/与2/-/平行.
【解析】(1)由题设知,/=(3,-1),/=(-1,-1),则/+/=(2,-2),/-/=(4,0),
所以|/+/|=2/,|/-/|=4,所以所求的两条对角线的长分别为2/,4.
由题设知,t/+/=(1-2t,2+3t),2/-/=(-5,4),由t/+/∥2/-/,得4(1-2t)+5(2+3t)=0,所以t=-2.
4.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求3a+b-2c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
【解析】(1)因为a=(3,2),b=(-1/,2),c=(4,1),所以3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6).
(2)因为a=mb+nc,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
所以/解得/
(3)由a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,所以k=-/
/.
