2.4-2.5平面向量的数量积及其应用举例
填空题
1.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2 ,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为 ( D )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,所以a2+a·b=0,所以9+3×2cos
=0,
所以cos =- ,所以= π.
2.(2019·厦门高一检测)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|等于 ( C )
A.1 B. C. D.3
【解析】选C.因为a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,所以 ,又因为|a|=1,|b|=2,所以a·b=0,所以a,b垂直,所以|a-b|=
3.已知a,b,c为非零向量,下列说法正确的是( A )
A.若|a·b|=|a||b|,则a∥b B.若a·c=b·c,则a=b
C.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c| D.(a·b)|c|=|a|(b·c)
【解析】选A.|a·b|=||a||b|cos θ|=|a||b|,所以cos θ=±1,即θ=0°或180°,此时a∥b;
B项中,当c=0时,不一定成立;C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;
D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不一定相等,所以不一定成立.
4.设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a·b=-10,则|2a-b|等于( D )
A.4 B.5 C.3 D.4
【解析】选D.因为a=(1,2),b=(-2,y),所以a·b=-2+2y=-10,所以y=-4,所以|2a-b|=|(4,8)|=4.
5.(2019·重庆高一)已知向量a,b满足|a+b|=|a|,|a|=|b|,则向量a,a+b夹角的余弦值为( C)
A. B. C. D.
【解析】选C.设|a|=,则|b|=1,|a+b|=2,两边平方得2+1+2a·b=4,所以a·b=,设向量a,a+b夹角为θ,则a·(a+b)=2+=,又因为a·(a+b)=2cos θ,所以cos θ==.
6.(2019·西安高一检测)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( B )
A.- B. C. D.
【解析】选B.由题意得·=·(-)=·(-)
=·=-·+-=-×+-=.
7.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ( A )
A. B.2 C.5 D.50
【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|==.
6.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=( B )
A. B. C. D.(1,0)
【解析】选B.方法一:设b=(x,y),其中y≠0,则a·b=x+y=.
由解得即b=.方法二:利用排除法.D中,y=0,所以D不符合题意;C中,向量不是单位向量,所以C不符合题意;A中,向量使得a·b=2,所以A不符合题意.
7.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为( B )
A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D.
【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.
8.(2019·芜湖高一检测)设点O在△ABC的内部,且有=(+),则△ABC的面积与△BOC的面积之比为 ( A )
A.3 B. C. 2 D.
【解析】选A.如图,取BC的中点D,则+=2,所以=(+)=3,
过O作OE∥BC交AB于点E,AB∥OD,所以四边形BDOE
为平行四边形,所以=,所以==3.
9.设△ABC的外心为O,AC=4,AB=3,则·= ( B )
A.- B. C.7 D.-7
【解析】选B.过O作OD⊥AC,OE⊥AB,D,E为垂足,
则·=||·||·cos∠BAO=||·(||·cos∠BAO)=||·==,
同理·===8,所以·=·(-)=·-·=8-=.
10.(2019·泰安高一检测)若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形ABCD是( B )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
【解析】选B.因为+=0,所以=-,即=,可得线段AB,CD平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为(-)·=0,所以⊥,即⊥,四边形ABCD的对角线互相垂直,因此四边形ABCD是菱形.
二、填空题
1.已知|b|=5,a·b=15,则a在b方向上的投影的值为________.?
答案:3【解析】设θ为a与b的夹角,故a在b方向上的投影为|a|cos θ= ==3.
2.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于________.?
答案:【解析】因为(3a+2b)⊥(λa-b),所以(λa-b)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0.
又因为|a|=2,|b|=1,a⊥b,所以12λ+(2λ-3)×2×1×cos 90°-2=0,所以12λ-2=0,所以λ=.
3.(2019·杭州高一检测)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a-b的夹角的大小为________.?
答案:60°【解析】因为|a+b|=|a-b|,所以a,b垂直,因为|a+b|=|a-b|=2|b|,所以a-b与a夹角为30°,
由矩形性质a+b与a夹角为30°,所以向量a+b与a-b的夹角的大小为60°.
4.(2019·金华高一检测)设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),则|a|=________.若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是________.?
答案: ∪(2,+∞)【解析】由题意得|a|==.因为a与b的夹角为钝角,
所以a·b=-2λ-1<0,解得λ>-.又当λ=2时,向量a=(-2,1),b=(2,-1)共线反向,满足a·b<0,但此时向量的夹角不是钝角,故λ=2不合题意.综上λ的取值范围是∪(2,+∞).
5.已知向量a,b满足|a+b|=3,|a-b|=4,则a·b=________.?
【解析】由已知两边平方得a2+b2+2a·b=9,a2+b2-2a·b=16,相减得4a·b=-7,所以a·b=-
6.(2019·杭州高一检测)已知=(9,2),=(x,y),=(-1,2).
(1)若∥,⊥,则x,y的值分别为________.?
(2)若·=-3,则||的最小值为________.?
答案:(1)-1,2 (2)【解析】(1)由题意得=(9+x,2+y),又∥,⊥,则2x+y=0,-(9+x)+2(2+y)=0;解得x=-1,y=2.(2)由·=-3得-x+2y=2,即x=2y-2,
||===,则当y=时,||取得最小值.
三、解答题
1.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标.
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
【解析】(1)设c=(x,y),因为|c|=2,所以=2,所以x2+y2=20.
由c∥a和|c|=2,可得解得或 故c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),[]所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2×5+3a·b-2×=0,
整理得a·b=-,所以cos θ= =-1.又θ∈[0,π],所以θ=π.
2.如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且=,BN与CM相交于E,设=a,=b,试用基底a,b表示向量.
【解析】易得==b,==a, 由N,E,B三点共线,设存在实数m,
满足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.由C,E,M三点共线,设存在实数n满足:
=n+(1-n)=na+(1-n)b.所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b,
由于a,b为基底,所以解之得所以=a+b.
3.(2019·南京高一检测)如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.点D是边AB上一点,满足=λ,点E是边CB上一点,满足=λ.
(1)当λ=时,求·.
(2)是否存在非零实数λ,使得⊥?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解题指南】(1)λ=时,点D,E分别是边AB,BC的中点,求出,的数量积即可.
(2)假设存在非零实数λ,使得⊥,利用,分别表示出和,求出·=0时的λ值即可.
【解析】(1)λ=时,=,=,所以点D,E分别是边AB,BC的中点,所以=+=+,=(+),所以·=·(+)=
·+·+·+=-×12+×1×2×cos 120°+×2×1×cos 60°+×22=.
(2)假设存在非零实数λ,使得⊥,由=λ,得=λ(-),
所以=+=+λ(-)=λ+(1-λ);又=λ,
所以=+=(-)+λ(-)=(1-λ)-;所以·=λ(1-λ)-λ·+(1-λ)2·-(1-λ)=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0,
解得λ=或λ=0(不合题意,舍去);即存在非零实数λ=,使得⊥.
2.4-2.5平面向量的数量积及其应用举例
填空题
1.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2 ,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
2.(2019·厦门高一检测)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|等于 ( )
A.1 B. C. D.3
3.已知a,b,c为非零向量,下列说法正确的是( )
A.若|a·b|=|a||b|,则a∥b B.若a·c=b·c,则a=b
C.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c| D.(a·b)|c|=|a|(b·c)
4.设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a·b=-10,则|2a-b|等于( )
A.4 B.5 C.3 D.4
5.(2019·重庆高一)已知向量a,b满足|a+b|=|a|,|a|=|b|,则向量a,a+b夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.(2019·西安高一检测)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )
A.- B. C. D.
7.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ( )
A. B.2 C.5 D.50
6.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=( )
A. B. C. D.(1,0)
7.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为( )
A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D.
8.(2019·芜湖高一检测)设点O在△ABC的内部,且有=(+),则△ABC的面积与△BOC的面积之比为 ( )
A.3 B. C. 2 D.
9.设△ABC的外心为O,AC=4,AB=3,则·= ( )
A.- B. C.7 D.-7
10.(2019·泰安高一检测)若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形ABCD是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
二、填空题
1.已知|b|=5,a·b=15,则a在b方向上的投影的值为________.?
2.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于________.?
3.(2019·杭州高一检测)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a-b的夹角的大小为________.?
4.(2019·金华高一检测)设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),则|a|=________.若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是________.?
5.已知向量a,b满足|a+b|=3,|a-b|=4,则a·b=________.?
6.(2019·杭州高一检测)已知=(9,2),=(x,y),=(-1,2).
(1)若∥,⊥,则x,y的值分别为________.?
(2)若·=-3,则||的最小值为________.?
三、解答题
1.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标.
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
2.如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且=,BN与CM相交于E,设=a,=b,试用基底a,b表示向量.
3.(2019·南京高一检测)如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.点D是边AB上一点,满足=λ,点E是边CB上一点,满足=λ.
(1)当λ=时,求·.
(2)是否存在非零实数λ,使得⊥?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
