第二章 平面向量单元检测
填空题
1．（2019·湖南高一期末）已知/，/，则/（ ）
A．2 B．/ C．4 D．/
2．（2019·福建高三月考）已知/，若/，则/的坐标为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
4．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－ B．－ C． D．
6．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
7．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是( )
A． B． C．3 D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，点E为BC的中点，点F在CD上．若·＝，则·的值是( )
//
A．－5－ B．5＋ C．4＋ D．5－
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若/＝λ/＋μ/ (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
/
A．1 B． / C．/ D． /
10．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A．A B．2a C．3a D．a2
二、填空题
1．（2018·浙江高一期中）如图，在/中，/为线段/上的一点，，且/，则/_______，/_______.
/
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若·＝·＝1，那么c＝________.
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．
4．(2019年高考·课标全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos?a，c?＝________．
5．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
三、解答题
1．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
2．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b满足关系|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；
(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值；
(3)求a与b夹角的最大值．
3．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
4．平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．
(1)若·＝－1，求sinαcosα的值；
(2)若|＋|＝且α∈(0，π)，求与的夹角．
/
平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
在△ABC中，·＝0，||＝12，||＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．
(1)求·的值；(2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由．
7.已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；
(4)求证：AD2＝BD·CD.
/
第二章 平面向量单元检测
填空题
1．（2019·湖南高一期末）已知/，/，则/（ ）
A．2 B．/ C．4 D．/
【答案】C【解析】由题得/=（0,4）所以/．
2．（2019·福建高三月考）已知/，若/，则/的坐标为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D【解】设/,因为/,所以/.
所以/,所以/,
解得:/ ,/.所以/.
3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
答案 B解析 设向量a，b的夹角为θ，则|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ＝－.
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.
4．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案 C解析 ∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．
5．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－ B．－ C． D．
答案 B解析 由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
6．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
答案 C解析 2＋2＝2＋2?2－2＝2－2?(－)·(＋)＝
(－)·(＋)?·(＋)＝·(－)?·(＋－＋)＝0?2·＝0?⊥，同理⊥.故O为△ABC的垂心．
7．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是( )
A． B． C．3 D．2
答案 C解析 ∵＝－＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，
∴||＝＝≤3.
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，点E为BC的中点，点F在CD上．若·＝，则·的值是( )
//
A．－5－ B．5＋ C．4＋ D．5－
答案 B解析 如图，过点F作FG⊥AB于点G，因为·＝||·||cos〈，〉＝||·||＝，所以||＝1.·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0－×(－1)＋2×4＋0＝5＋，故选B.
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若/＝λ/＋μ/ (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
/
A．1 B． / C．/ D． /
【答案】B【解析】∵E为线段AO的中点，∴/＝/＋/＝/＋/＝/＋/＝λ/＋μ/，∴λ＋μ＝/.故选：B
10．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A．A B．2a C．3a D．a2
答案 D解析 ＝－＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)，∴＝t＝(－at，at)．
又＝＋＝(a,0)＋(－at，at)＝(a－at，at)，∴·＝a(a－at)＋0×at＝a2(1－t)(0≤t≤1)．
∴当t＝0时，·取得最大值，为a2.
二．填空题
1．（2018·浙江高一期中）如图，在/中，/为线段/上的一点，，且/，则/_______，/_______.
/
【答案】/ / 【解析】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由/，得/，即/，所以/，/.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若·＝·＝1，那么c＝________.
答案 解析 由题知，·＋·＝2，
即·－·＝·(＋)＝2＝2?c＝||＝.
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．
答案 16解析 由ma＋nb＝c，可得故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在单位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为OP＋1＝3＋1＝4，其中O为坐标原点，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.
4．(2019年高考·课标全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos?a，c?＝________．
答案：解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos?a，c?＝＝.
5．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
/ /
图1 图2
答案： 解析：解法1：如图1，因为＝，＝，
＝－＝－＝＝，
＝＋＝＋λ，＝＋＋＝＋＋＝＋，
·＝(＋λ)·＝2＋λ2＋·
＝×4＋λ＋×2×1×cos120°＝＋λ＋≥2＋＝.
当且仅当＝λ即λ＝时，·的最小值为.
解法2：如图2建立坐标系，则A，B，C，D.
由＝λ，＝DC，可得E，F.
所以＝，＝，则·＝＋λ＋≥2＋＝，
当且仅当λ＝时等号成立．
三、解答题
1．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证明：(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0∴(a－b)⊥c.
(2)解：|ka＋b＋c|>1?|ka＋b＋c|2>1?(ka＋b＋c)2>1，
∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c相互之间的夹角均为120°，∴a2＝b2＝c2＝1.a·b＝a·c＝b·c＝－∴k2－2k>0 ∴k>2或k<0.
2．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b满足关系|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；
(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值；
(3)求a与b夹角的最大值．
解 (1)由已知|a|＝|b|＝1.∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2|a|2＋2ka·b＋|b|2＝3(|a|2－2ka·b＋k2|b|2)，∴8ka·b＝2k2＋2，∴f(k)＝a·b＝(k>0)．
(2)∵a·b＝f(k)>0，∴a与b不可能垂直．若a∥b，由a·b>0知a，b同向，
于是有a·b＝|a||b|cos0＝|a||b|＝1，即＝1，解得k＝2±.∴当k＝2±时，a∥b.
(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝a·b＝(k>0)，
∴cosθ＝＝＝，∴当＝即k＝1时，
cosθ取到最小值为.又0°≤θ≤180°，∴a与b夹角θ的最大值为60°.
3．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解 (1)若＝，则＝＋，故x＝y＝.
(2)若＝3，则＝＋＝＋(－)＝＋，·＝·(－)＝－2－·＋2＝－×42－×4×2×cos60°＋×2＝－3.
4．平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．
(1)若·＝－1，求sinαcosα的值；
(2)若|＋|＝且α∈(0，π)，求与的夹角．
/
解 (1)∵A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，∴＝(cosα－3，sinα).＝(cosα，sinα－3)，
又∵·＝－1，∴cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1，∴cosα＋sinα＝，
两边平方，得1＋2sinα·cosα＝.∴sinαcosα＝－.
(2)∵＋＝(3＋cosα，sinα)，|＋|＝，
∴(3＋cosα)2＋sin2α＝13，∴cosα＝，∵α∈(0，π)，∴α＝，sinα＝，
∴C，·＝，∴cos〈，〉＝＝＝，
∴与的夹角为.
5.平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
[解] (1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.∴＝(2y，y)．又＝－，
＝(1,7)，∴＝(1－2y,7－y)．同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
6.在△ABC中，·＝0，||＝12，||＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．
(1)求·的值；(2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由．
[解] (1)∵·＝0，∴AB⊥AC.又||＝12，||＝15，∴||＝9.
由已知可得＝(＋)，＝－，∴·＝(＋)·(－)
＝(2－2)＝(144－81)＝.
(2)·的值为一个常数．理由：∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，∴·＝0.故·＝(＋)·＝·＋·＝·＝.
7.已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；
(4)求证：AD2＝BD·CD.
[解] (1)证明：＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．
∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.
(2)设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)．
∵AD⊥BC，∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，∴5(x＋1)－5(y＋2)＝0，②
联立①②解得x＝，y＝.故D点坐标为.∴＝＝.
(3)cosθ＝＝＝.
(4)证明：∵＝，＝，＝，
∴||2＝，||＝＝，||＝＝.
∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.
/
