第三章 三角恒等变换章末复习
选择题
1．已知tan α＝，且α为第一象限角，则sin的值为( )
A．－ B. C．± D．±
2．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
的值为( )
A. B. C．tan 6° D.
4．在△ABC中，若2sincossin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．非等腰三角形 D．直角三角形
5．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
6．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
8．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )
A．1 B．2 C．1＋ D．1＋
9．已知cos x＝－，x为第二象限角，那么sin 2x＝( )
A．－ B．± C．－ D.
10．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．1
二、填空题
1．已知sin＝，则cos2＝________.
2．若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则m＝________.
3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
4．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
三、解答题
1. 化简：.
设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值．
已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
5．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．
6．已知sin －2cos ＝0.(1)求tan x的值；(2)求的值．
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第三章 三角恒等变换章末复习
选择题
1．已知tan α＝，且α为第一象限角，则sin的值为( )
A．－ B. C．± D．±
解析：选C 因为tan α＝，所以＝.又sin2α＋cos2α＝1，
所以或因为α为第一象限角，
所以为第一、三象限角，且所以sin＝± ＝± ＝±.
2．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
解析：选D 因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)．又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D.
的值为( )
A. B. C．tan 6° D.
解析：选A ∵＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝＝.
4．在△ABC中，若2sincossin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．非等腰三角形 D．直角三角形
解析：选B 在△ABC中，因为2sincossin C＝cos2，所以sin Bsin C＝cos2，即sin Bsin C＝，2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，即cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，所以cos(B－C)＝1，B－C＝0，B＝C，故选B.
5．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
解析：选A 由tan Atan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A，B均为锐角．
又tan(A＋B)＝<0，即tan C＝－tan(A＋B)>0，
∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
6．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得 sin(B＋C)＝2sin Ccos B
?sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B?sin Bcos C－cos Bsin C＝0?sin(B－C)＝0.
∵07．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.
∵β为第三象限角，且sin β＝－，∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
8．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )
A．1 B．2 C．1＋ D．1＋
解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋
tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
9．已知cos x＝－，x为第二象限角，那么sin 2x＝( )
A．－ B．± C．－ D.
解析：选C 因为cos x＝－，x为第二象限角，所以sin x＝，
所以sin 2x＝2sin xcos x＝2××＝－，故选C.
10．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．1
解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝2，①(cos α－cos β)2＝2，②
①＋②得2－2cos(α－β)＝1－＋＋，∴cos(α－β)＝.故选A.
二、填空题
1．已知sin＝，则cos2＝________.
解析： 因为cos＝sin＝sin＝.
所以cos2＝＝＝.
2．若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则m＝________.
解析：3 f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin＋m＋1，∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2＋m＋1＝6，∴m＝3.
3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
解析：钝角 由已知得∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，∴C是钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
4．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
所以f(x)的最大值为1.
三、解答题
1. 化简：.
解：原式＝
＝＝
＝tan 2α.
设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
解：∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，
∴sin＝ ＝ ＝，
cos＝ ＝ ＝，
∴cos＝cos＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值．
解：∵<β<α<，∴0＜α－β＜.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝ ＝.
∵＜α＜，＜β＜，∴π＜α＋β＜.
∵sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝－ ＝－.
∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝
×－×＝－.
已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1，
因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝，故α＝.
5．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．
解：f(x)＝sin 2x－cos 2x－2·＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－.
(1)函数f(x)的最小正周期为π.
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)．
所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．
(3)当0≤x≤时，≤2x＋≤，－≤sin≤1，
所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.
6．已知sin －2cos ＝0.(1)求tan x的值；(2)求的值．
解：(1)由sin －2cos ＝0，知cos ≠0，∴tan ＝2，∴tan x＝＝＝－.
(2)由(1)，知tan x＝－，
∴＝＝
＝＝×＝×＝.
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