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2.1平面向量的实际背景及其基本概念
向量：既有大小又有方向的量；
向量的表示：
有向线段：带方向的线段，包括起点、方向、长度；
用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小
就是向量的长度(或称模)，记作______．
字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书
写时，可写成带箭头的小写字母，，，….
几种特殊的向量
零向量
长度等于0的向量，记作0（大写）
单位向量
长度等于1的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量平行,记作//
规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量。
2.2平面向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作＝a，＝b，则向量___叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．
（2）平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b，作＝a，
＝b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则向量___＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
注：三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和；多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和
（3）向量加法结合律和交换律
定义
如果两个向量长度__相等_，而方向_相反_那么称这两个向量是相反向量
性质
①对于相反向量有：a＋(－a)＝_____
②若a、b互为相反向量，则a＝ _-b__，a＋b＝_____
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法
（1）相反向量
向量的减法
定义
a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的___相反向量__
作法
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则向量a－b＝____.如图所示
几何
意义
如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的__终点____指向向量a的__终点___的向量
3.向量的数乘
（1）定义
定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个_向量__，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度
|λa|＝|λ||a|
方向
λ>0
λa的方向与a的方向___相同_
λ＝0
λa＝____
λ<0
λa的方向与a的方向_相反___
几何意义
λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．
注：①对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量．
②若λ＝0，则λa＝0（向量）；③若a＝0，则λa＝0（向量）．
（2）向量数乘的运算律
设λ、μ为实数，则
(1)λ(μa)＝___λμa______；
(2)(λ＋μ)a＝__λa
+μ
a_____；
(3)λ(a＋b)＝___λa+
λb____(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝_－(λa)__＝_λ(－a)_，λ(a－b)＝_
λa-_λb__．
4.
共线向量定理
（1）向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__b=_λa___．
（2）向量的线性运算
向量的__加__、_减___、_数乘___运算统称为向量的线性运算，对于任意向
量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_λμ1a_±
λμ2b_____．
5.三点共线的性质定理
若平面内三点A，B，C共线，O为不同于A，B，C的任意一点，设＝λ＋μ，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1．
典型例题
例1
如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得
＋＝m成立，则m＝___3_____.
解析 如图，因为＋＋＝0，
即＝－(＋)，即＝＋，延长AM，交BC于D点，
所以D是BC边的中点，所以＝2，所以＝，
所以＋＝2＝3，所以m＝3.
点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值．
例2
如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N，
设＝a，＝b，用向量a，b表示，，，，.
解 因为DE∥BC，＝，所以＝＝b，＝－＝b－a，
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)，
又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，所以＝＝(b－a)，
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．
例3
已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值．
解 如图，延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1.
则＝2，＝3.
由条件，得＋＋＝0，
∴点O是△AB1C1的重心．
从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝S，其中S表示△AB1C1的面积．
∴S△COA＝S△ADC1＝S，S△AOB＝S△AOB1＝S，
S△BOC＝S△B1OC＝×S△B1OC1＝S.
于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝∶∶＝1∶2∶3.
点评 本题条件＋2＋3＝0与三角形的重心性质＋＋＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．
引申推广 已知△ABC内一点O满足关系λ1＋λ2＋λ3＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.
2.3
平面向量基本定理
一、平面向量的基本定理
1.
基本定理
定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个_不共线__向量
结论
对于这一平面内的__任意__向量a，_有且仅有___一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1
+_λ2e2____
基底
把_不共线__的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组_基底__
注：（1）由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即
(2)对于固定的(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可
表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．
两向量的夹角与垂直
定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__叫做向量a与b的夹角
图示
特殊情况
θ＝0°
a与b___同向_____
θ＝180°
a与b___反向_____
θ＝90°
a与b__垂直______，记作____
注：(1)向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与任何向量都共线．
(2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，直线夹角的取值范围是
[0°，90°]，而向量夹角的取值范围是[0°，180°]．
(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC中，∠BAC不
是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
平面向量的正交分解及坐标表示
1.平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相__垂直___的向量，叫做平面向量的正交分解．
2.平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向__相同_的两个___单位_向量
i，j作为_____基底___．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，____有且只有一___对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对___（x,y）___________叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在__x____轴上的坐标，y叫做向量a在__y____轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝__(1,0)__，j＝__(0,1)___，0＝_(0,0)_____．
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yi，则向量的坐标___(x,y)___就是终点A的坐标；反过来，终点A的__坐标___就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是___一一对应___的．
注：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．
(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b
（相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同）
给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)．
4．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和____
a＋b＝_（x1+x2,y1+y2）______
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__差____
a－b＝__（x1-x2,y1-y2）______
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标____
λa＝__（λx1,λy2）_____
向量坐
标公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝__(x2-x1,y2-y1)________
平面向量坐标共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2
=
x2y1____时，a∥b．
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
当b≠0时，a＝λb．这体现了向量a与b的长度及方向之间的关系;
x1y2－x2y1＝0．代数运算，
当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例
典型例题
例1 在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，
||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量。
解 ∵B，P，M共线，∴存在常数s，使＝s，
则＝＋.即＝＋＝a＋b.①
同理，存在常数t，使＝t，则＝a＋b.②
∵a，b不共线，∴，解得，∴＝a＋b.
技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基底，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，则用来求解．
例2 如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，
设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，
设＝p，＝q，求证：＋＝1.
(1)解 设＝ma＋nb，则＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b.
∵点A，M，D共线，∴与共线，∴(m－1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n＝1.①
而＝－＝a＋nb，＝－a＋b.
∵C，M，B共线，∴与共线，∴－n－＝0.
∴4m＋n＝1.②
联立①②可得m＝，n＝，∴＝a＋b.
(2)证明 ＝a＋b，＝－pa＋qb，
∵与共线，∴q－×(－p)＝0.∴q＋p＝pq，即＋＝1.
技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，
a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解．
例3 如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示.
解 ∵＝＋，＝＋，∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，
∴＋3＋2＋3＝0，又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
∴＝λ，＝μ，∴λ＋3＋2＋3μ＝0，∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
而，为不共线向量，∴∴λ＝－2，μ＝－1.∴＝－＝.
故＝＋＝2＝2p.
技巧三 将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式(e1，e2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解．
2.4-2.5平面向量的数量积及其应用举例
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向量的线性运算
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx1，λy1)
向量的数量积运算
a·b＝|a||b|cos
θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积
a·b＝x1x2＋y1y2
（1）|a|cos
θ（|b|cos
θ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影；
（2）两个向量的数量积等于他们对应坐标的乘积的和；
（3）与任何向量的数量积为0.2.向量的模和夹角的坐标表示
(1)
(2)
设
(3)
(4)
cos
θ=
两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
向量的平行与垂直
a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
典型例题
例1：(2017·金华十校期末)已知等边△ABC的边长为2，P为△ABC内(包括三条边)一点，则·(＋)的最大值是( A )
A．2
B.
C．0
D．－
解析 取BC的中点O，以O为坐标原点，BC，OA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，
则＝(－x，－y)，＋＝2(－x，－y)．
故·(＋)＝2(－x，－y)·(－x，－y)＝2(x2＋y2－y)＝2，
令t＝x2＋2，
则t表示△ABC内(包括三条边)的一点P与点间的距离的平方．
结合图形可得，当点P与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为tmax＝，
故·(＋)的最大值为2＝2.
反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．
例2：已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
解 (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝(k>0)．
(2)a·b＝＝.
由对勾函数的单调性可知，f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos
θ＝＝，
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.
反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos
θ＝＝
.
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2.1平面向量的实际背景及其基本概念
向量：既有大小又有方向的量；
向量的表示：
有向线段：带方向的线段，包括起点、方向、长度；
用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小
就是向量的长度(或称模)，记作______．
字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书
写时，可写成带箭头的小写字母，，，….
几种特殊的向量
零向量
长度等于0的向量，记作0（大写）
单位向量
长度等于1的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量平行,记作//
规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量。
2.2平面向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作＝a，＝b，则向量___叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．
（2）平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b，作＝a，
＝b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则向量___＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
注：三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和；多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和
（3）向量加法结合律和交换律
定义
如果两个向量长度__相等_，而方向_相反_那么称这两个向量是相反向量
性质
①对于相反向量有：a＋(－a)＝_____
②若a、b互为相反向量，则a＝ _-b__，a＋b＝_____
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法
（1）相反向量
向量的减法
定义
a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的___相反向量__
作法
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则向量a－b＝____.如图所示
几何
意义
如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的__终点____指向向量a的__终点___的向量
3.向量的数乘
（1）定义
定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个_向量__，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度
|λa|＝|λ||a|
方向
λ>0
λa的方向与a的方向___相同_
λ＝0
λa＝____
λ<0
λa的方向与a的方向_相反___
几何意义
λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．
注：①对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量．
②若λ＝0，则λa＝0（向量）；③若a＝0，则λa＝0（向量）．
（2）向量数乘的运算律
设λ、μ为实数，则
(1)λ(μa)＝___λμa______；
(2)(λ＋μ)a＝__λa
+μ
a_____；
(3)λ(a＋b)＝___λa+
λb____(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝_－(λa)__＝_λ(－a)_，λ(a－b)＝_
λa-_λb__．
4.
共线向量定理
（1）向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__b=_λa___．
（2）向量的线性运算
向量的__加__、_减___、_数乘___运算统称为向量的线性运算，对于任意向
量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_λμ1a_±
λμ2b_____．
5.三点共线的性质定理
若平面内三点A，B，C共线，O为不同于A，B，C的任意一点，设＝λ＋μ，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1．
典型例题
例1
如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得
＋＝m成立，则m＝_______.
例2
如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N，
例3
已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值．
2.3
平面向量基本定理
一、平面向量的基本定理
1.
基本定理
定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个_不共线__向量
结论
对于这一平面内的__任意__向量a，_有且仅有___一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1
+_λ2e2____
基底
把_不共线__的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组_基底__
注：（1）由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即
(2)对于固定的(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可
表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．
两向量的夹角与垂直
定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__叫做向量a与b的夹角
图示
特殊情况
θ＝0°
a与b___同向_____
θ＝180°
a与b___反向_____
θ＝90°
a与b__垂直______，记作____
注：(1)向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与任何向量都共线．
(2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，直线夹角的取值范围是
[0°，90°]，而向量夹角的取值范围是[0°，180°]．
(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC中，∠BAC不
是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
平面向量的正交分解及坐标表示
1.平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相__垂直___的向量，叫做平面向量的正交分解．
2.平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向__相同_的两个___单位_向量
i，j作为_____基底___．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，____有且只有一___对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对___（x,y）___________叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在__x____轴上的坐标，y叫做向量a在__y____轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝__(1,0)__，j＝__(0,1)___，0＝_(0,0)_____．
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yi，则向量的坐标___(x,y)___就是终点A的坐标；反过来，终点A的__坐标___就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是___一一对应___的．
注：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．
(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b
（相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同）
给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)．
4．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和____
a＋b＝_（x1+x2,y1+y2）______
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__差____
a－b＝__（x1-x2,y1-y2）______
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标____
λa＝__（λx1,λy2）_____
向量坐
标公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝__(x2-x1,y2-y1)________
平面向量坐标共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2
=
x2y1____时，a∥b．
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
当b≠0时，a＝λb．这体现了向量a与b的长度及方向之间的关系;
x1y2－x2y1＝0．代数运算，
当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例
典型例题
例1 在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，
||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量。
例2 如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，
设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，
设＝p，＝q，求证：＋＝1.
例3 如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示.
2.4-2.5平面向量的数量积及其应用举例
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向量的线性运算
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx1，λy1)
向量的数量积运算
a·b＝|a||b|cos
θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积
a·b＝x1x2＋y1y2
（1）|a|cos
θ（|b|cos
θ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影；
（2）两个向量的数量积等于他们对应坐标的乘积的和；
（3）与任何向量的数量积为0.2.向量的模和夹角的坐标表示
(1)
(2)
设
(3)
(4)
cos
θ=
两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
向量的平行与垂直
a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
典型例题
例1：(2017·金华十校期末)已知等边△ABC的边长为2，P为△ABC内(包括三条边)一点，则·(＋)的最大值是( A )
A．2
B.
C．0
D．－
例2：已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
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