2020年沪科新版七年级数学下册《第9章 分式》单元测试卷（解析版）

2020年沪科新版七年级数学下册《第9章 分式》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（　　）
A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④
2．使分式有意义的x的取值范围为（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠±1
3．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
4．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如果分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．缩小2倍
6．下列计算错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
8．使得关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C．0 D．2
9．使得关于x的不等式组有解，且关于x的方程＝的解为整数的所有整数a的和为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．10
10．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
11．若关于x的方程﹣＝0有增根，则m的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
12．某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化 肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．观察给定的分式：，猜想并探索规律，那么第n个分式是　 　．
14．如果分式有意义，那么x的取值范围是　 　．
15．已知x＝﹣2时，分式无意义；x＝4时，分式的值为0，则a+b＝　 　．
16．当a＝2016时，分式的值是　 　．
17．若关于x的方程+＝无解，则m的值为　 　．
18．分式方程＝的解为　 　．
19．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　 　．
20．若关于x的方程有增根，则m的值为　 　．
三．解答题（共8小题）
21．已知，求的值．
22．①＝（a≠0）
②＝．
23．约分（1）；
（2）．
24．若a＞0，M＝，N＝，
（1）当a＝3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
25．阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①； ②； ③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为　 　，第n个方程为　 　；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
26．解下列分式方程
①+1＝；②＝﹣1．
27．解方程：．
28．若关于x的方程有增根，试求k的值．



2020年沪科新版七年级数学下册《第9章 分式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（　　）
A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：①是分式，
②是整式，
③是整式，
④是分式，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．使分式有意义的x的取值范围为（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠±1
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即x+1≠0，解得x的取值范围．
【解答】解：要使分式有意义，
则x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
3．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先把分式进行约分化简，再根据x为整数，分式值为整数，讨论x可取的值即可，注意分母不能为0．
【解答】解：原分式＝＝；
因为x为整数，且分式值为整数，所以满足条件时情况如下：
当x＝0时，分式值为﹣2；
当x＝1时，分式无意义，不合要求；
当x＝2时，分式值为2；
当x＝3时，分式值为1；
故满足条件的x可取的有0，2，3三种，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的性质，注意分母含有字母时分母不能为0的情况，还考查了分类讨论思想，注意不要漏解．
5．如果分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．缩小2倍
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：如果分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值不变，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，利用了分式基本的性质．
6．下列计算错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别利用分式加减法则以及约分的定义，分别化简得出即可．
【解答】解：A、+＝，正确，不合题意；
B、＝﹣1，正确，不合题意；
C、＝，故原式错误，符合题意；
D、＝，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了约分和分式加减法则应用，正确将分式约分以及变形得出是解题关键．
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
8．使得关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】解不等式组中的不等式，根据不等式组有解，确定m的取值范围．解分式方程，用含m的代数式表示出y，根据方程的非负数解求出m．
【解答】解：
解①，得x≥m﹣2，
解②，得x≤﹣2m+1，
因为关于x的不等式有解，
∴m﹣2≤﹣2m+1，
∴m≤1．
解分式方程，
得y＝（m≠1），
由于分式方程有非负解，
∴m＝﹣5、m＝﹣2．
∴﹣5﹣2＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法及非负数的意义．解决本题的关键是确定m的取值范围．
9．使得关于x的不等式组有解，且关于x的方程＝的解为整数的所有整数a的和为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．10
【分析】根据不等式组的解集的情况求得a的解集，再解分式方程得出x，根据x是整数得出a所有的a的和．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到a＞﹣1，
分式方程去分母得：（a﹣1）x＝4，
解得：x＝，
由分式方程的解为整数，得到a﹣1＝﹣1，﹣2，2，﹣4，1，4，
解得：a＝0，﹣1，﹣3，3，2，5，
∴a＝0，2，3，5，
∵x≠2，
∴≠2，
∴a≠3，
∴a＝0，2，5
则所有整数a的和为7，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得a的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
10．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
11．若关于x的方程﹣＝0有增根，则m的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：m﹣1﹣x＝0，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化 肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】计划每天生产化肥x吨，根据由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，可列出方程．
【解答】解：设计划每天生产化肥x吨，
＝．
故选：C．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出计划生产吨数，然后根据时间相等列方程求解．
二．填空题（共8小题）
13．观察给定的分式：，猜想并探索规律，那么第n个分式是　　．
【分析】先看分子，后面一项是前面一项的2倍（第一项是1，第二项是﹣2，…第n项是2n﹣1）；再看分母，后面一项是前面一项的x倍（第一项是x，第二项是x2，…第n项是xn）；据此可以找寻第n个分式的通式．
【解答】解：先观察分子：
1、21、22、23、…2n﹣1；
再观察分母：
x、x1、x2、…xn；
所以，第n个分式；
故答案是：．
【点评】本题考查了分式的定义．解答此题的关键是找出分子分母的变化规律．找其中的规律是，采用了归纳法．
14．如果分式有意义，那么x的取值范围是　x≠3　．
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义．
故答案是：x≠3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
15．已知x＝﹣2时，分式无意义；x＝4时，分式的值为0，则a+b＝　6　．
【分析】根据分母为零分式无意义，分子为零且分母不等于零分式的值为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
﹣2+a＝0，4﹣b＝0，
解得a＝2，b＝4．
a+b＝2+4＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
16．当a＝2016时，分式的值是　2018　．
【分析】首先将分式化简，进而代入求出答案．
【解答】解：＝＝a+2，
把a＝2016代入得：
原式＝2016+2＝2018．
故答案为：2018．
【点评】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．
17．若关于x的方程+＝无解，则m的值为　﹣1或5或﹣　．
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x＝＝±4，
解得：m＝5或﹣，
综上所述：m＝﹣1或5或﹣，
故答案为：﹣1或5或﹣．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
18．分式方程＝的解为　x＝3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）＝2x，
去括号得：3x﹣3＝2x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　y2+4y+3＝0　．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力．关键是通过移项、整理，明确方程各部分与y的关系，用y代替，去分母，转化为整式方程．
【解答】解：根据等式的性质原方程可整理为x2﹣3x++4＝0．
把y＝x2﹣3x代入可得y++4＝0，
去分母得y2+4y+3＝0．
【点评】用换元法解分式方程是常用的方法之一，换元时要注意所设分式的形式及式中不同的变形．
20．若关于x的方程有增根，则m的值为　1　．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣2＝0，所以增根是x＝2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得
x﹣3＝﹣m，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝1．
故答案为：1．
【点评】考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题）
21．已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
22．①＝（a≠0）
②＝．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）＝，
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2，
【点评】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
23．约分（1）；
（2）．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变作答．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
24．若a＞0，M＝，N＝，
（1）当a＝3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）直接将a＝3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
【解答】解：（1）当a＝3时，M＝＝，N＝＝；

（2）方法一：猜想：M＜N
理由：M﹣N＝﹣
＝
＝，
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，
∴，
∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N
理由：，
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，
∴，
∴，∴M＜N．
【点评】此题主要考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题关键．
25．阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①； ②； ③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为　x+＝9　，第n个方程为　x+＝2n+1　；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n个方程；
（2）归纳总结即可得到第n个方程的解为n与n+1，代入检验即可．
【解答】解：（1）x+＝x+＝9，x+＝2n+1；

（2）x+＝2n+1，
观察得：x1＝n，x2＝n+1，
将x＝n代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n是方程的解；
将n+1代入方程左边得：n+1+n＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n+1是方程的解，
则经检验都为原分式方程的解．
故答案为：x+＝9；x+＝2n+1．
【点评】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
26．解下列分式方程
①+1＝；②＝﹣1．
【分析】（1）两个分母分别为x﹣2和2﹣x，它们互为相反数，所以最简公分母是其中的一个，另一个与最简公分母相乘后得﹣1．本题的最简公分母是（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．
（2）3x﹣6＝3（x﹣2），所以本题的最简公分母是3（x﹣2）．
【解答】解：（1）方程两边都乘（x﹣2），
得x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，
化简得：2x﹣2＝0，
解得x＝1，
检验：把x＝1代入x﹣2中，1﹣2＝﹣1≠0，所以x＝1是原分式方程的根．
（2）方程两边都乘3（x﹣2），
得3（5x﹣4）＝4x+10﹣3（x﹣2），
化简得：14x﹣28＝0，
解得x＝2，
检验：把x＝2代入3（x﹣2）中，3（2﹣2）＝0，所以x＝2是增根，原分式方程无解．
【点评】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．
27．解方程：．
【分析】设＝y，则原方程化为y＝+2y，解方程求得y的值，再代入＝y求值即可．结果需检验．
【解答】解：设＝y，则原方程化为y＝+2y，
解之得，y＝﹣．
当y＝﹣时，有＝﹣，解得x＝﹣．
经检验x＝﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x＝﹣．
【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
28．若关于x的方程有增根，试求k的值．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得
k+2（x﹣3）＝4﹣x，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，即增根为x＝3，
把x＝3代入整式方程，得k＝1．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．