2020年沪科新版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 487.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-08 15:04:39 | ||
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文档简介
2020年沪科新版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
2．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
4．x为任意实数，下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
6．计算的结果是（ ）
A．±4 B．﹣4 C．+4 D．16
7．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知a＝，b＝﹣2，则有（ ）
A．a＝b B．a＝﹣b C．a＝ D．a＝
12．的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． + D．﹣
二．填空题（共8小题）
13．当x 时，是二次根式．
14．若x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为 ．
15．计算＝ ．
16．把化为最简二次根式，结果是 ．
17．计算：÷＝ ．
18．设a＝，b＝2+，c＝，则a、b、c从小到大的顺序是 ．
19．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝ ．
20．计算：﹣ +＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
22．已知：，求：（x+y）4的值．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．
24．计算：．
25．阅读下面材料，并解答后面的问题：
＝＝；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果 ；
（2）计算（+）（）＝ ，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
26．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
27．．
28．计算：
（1）
（2）
2020年沪科新版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【分析】如果一个根式是整数，则被开方数是完全平方数，首先把化简，然后求n的最小值．
【解答】解：∵＝2，
∴要使是整数，正整数n的最小值是2，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的基本概念，解题的关键是对二次根式先化简，再求正整数n的最小值．
2．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．
【解答】解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b＝0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．
故选：C．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
3．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
4．x为任意实数，下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
【解答】解：A、当x≠0时，无意义，故本选项错误；
B、当x2﹣1＜0时，无意义，故本选项错误；
C、无论x取何值，（x2+2）恒为非负数，即恒成立，故本选项正确；
D、当x＝0时，无意义，故本选项错误；
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．化简的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解：＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
6．计算的结果是（ ）
A．±4 B．﹣4 C．+4 D．16
【分析】利用二次根式的性质＝|a|求解可得．
【解答】解：＝|﹣4|＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质＝|a|．
7．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数4；故本选项错误；
B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；
C、，被开方数里含有能开得尽方的因式x2；故本选项错误；
D、，被开方数里含有分母；故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义直接进行判断，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数是否都小于根指数2，且被开方数中不含有分母；被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、＝2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故B选项错误；
C、＝2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
9．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可．
【解答】解：A、、没有意义，故本选项错误；
B、＝5，运算错误，故本选项错误；
C、＝＝×＝9，故本选项正确；
D、3＝3×＝，运算错误，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算及二次根式有意义的条件，属于基础题，熟练掌握基本知识是关键．
10．等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：
解得：x≥3
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
11．已知a＝，b＝﹣2，则有（ ）
A．a＝b B．a＝﹣b C．a＝ D．a＝
【分析】本题可先将a分母有理化，然后再判断a、b的关系．
【解答】解：因为a＝＝﹣（﹣2），所以a＝﹣b．
故选：B．
【点评】本题涉及到分母有理化的知识，找出分母的有理化因式是解题的关键．
12．的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． + D．﹣
【分析】找出原式的一个有理化因式即可．
【解答】解：的一个有理化因式是，
故选：B．
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．当x 是任意实数 时，是二次根式．
【分析】根据二次根式的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：根据题意，（1﹣x）2≥0，
解得x是任意实数．
故答案为：是任意实数．
【点评】本题考查了二次根式的定义，利用被开方数是非负数列式求解即可，比较简单．
14．若x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为 3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以，x＝3，
y＝8，
x+3y＝3+3×8＝27，
∵33＝27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，立方根的定义，根据x的取值范围求出x的值是解题的关键．
15．计算＝ 1 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝1，
故答案为：1
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
16．把化为最简二次根式，结果是 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：，
故答案为：
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．
17．计算：÷＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出即可．
【解答】解：÷＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的运算法则得出是解题关键．
18．设a＝，b＝2+，c＝，则a、b、c从小到大的顺序是 a＜c＜b ．
【分析】将c分母有理化再进行比较即可．
【解答】解：c＝＝＝+；
∴a＜c＜b．
故答案为a＜c＜b．
【点评】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键．
19．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝ 1 ．
【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴1+a＝4a﹣2，
解得a＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
20．计算：﹣ +＝ ﹣2 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝﹣3+
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
22．已知：，求：（x+y）4的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵与有意义，
∴，解得x＝2，
∴y＝﹣3，
∴（2﹣3）4＝1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．
【分析】先根据二次根式的性质得出|a|﹣|a|﹣|b|，推出结果是﹣|b|，根据正数的绝对值等于它本身得出即可．
【解答】解：∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴：|a|﹣﹣
＝|a|﹣|a|﹣|b|
＝﹣|b|
＝﹣b．
【点评】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴等知识点，解此题的关键是根据数轴得出a＜0＜b，注意：＝|a|，当a≥0时，|a|＝a，当a≤0时，|a|＝﹣a．
24．计算：．
【分析】先将带分数化为分数，然后然后根据×＝进行二次根式的乘法运算即可．
【解答】解：原式＝××
＝
＝×4
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法运算，难度不大，将带分数化简为分数是很关键的一步．
25．阅读下面材料，并解答后面的问题：
＝＝；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果 ﹣ ；
（2）计算（+）（）＝ 1 ，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
【分析】（1）根据上面的材料直接写答案；
（2）利用平方差公式进行计算并填空；
（3）利用（1）中的规律进行计算．
【解答】解：（1）观察上面的等式可知：＝﹣；
故答案是：﹣；
（2）（+）（）＝（）2﹣（）2＝n+1﹣n＝1；
故答案是：1；
（3）由（1）知，原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1+＝﹣1+10＝9．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
26．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
【分析】由同类二次根式的定义，可得方程组：，解此方程组即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
∴m＝±2，n＝±．
【点评】此题考查了同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
27．．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣2+3＝+3．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
28．计算：
（1）
（2）
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+12＝14
（2）原式＝2﹣
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
一．选择题（共12小题）
1．是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
2．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
4．x为任意实数，下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
6．计算的结果是（ ）
A．±4 B．﹣4 C．+4 D．16
7．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知a＝，b＝﹣2，则有（ ）
A．a＝b B．a＝﹣b C．a＝ D．a＝
12．的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． + D．﹣
二．填空题（共8小题）
13．当x 时，是二次根式．
14．若x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为 ．
15．计算＝ ．
16．把化为最简二次根式，结果是 ．
17．计算：÷＝ ．
18．设a＝，b＝2+，c＝，则a、b、c从小到大的顺序是 ．
19．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝ ．
20．计算：﹣ +＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
22．已知：，求：（x+y）4的值．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．
24．计算：．
25．阅读下面材料，并解答后面的问题：
＝＝；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果 ；
（2）计算（+）（）＝ ，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
26．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
27．．
28．计算：
（1）
（2）
2020年沪科新版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【分析】如果一个根式是整数，则被开方数是完全平方数，首先把化简，然后求n的最小值．
【解答】解：∵＝2，
∴要使是整数，正整数n的最小值是2，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的基本概念，解题的关键是对二次根式先化简，再求正整数n的最小值．
2．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．
【解答】解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b＝0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．
故选：C．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
3．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
4．x为任意实数，下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
【解答】解：A、当x≠0时，无意义，故本选项错误；
B、当x2﹣1＜0时，无意义，故本选项错误；
C、无论x取何值，（x2+2）恒为非负数，即恒成立，故本选项正确；
D、当x＝0时，无意义，故本选项错误；
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．化简的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解：＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
6．计算的结果是（ ）
A．±4 B．﹣4 C．+4 D．16
【分析】利用二次根式的性质＝|a|求解可得．
【解答】解：＝|﹣4|＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质＝|a|．
7．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数4；故本选项错误；
B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；
C、，被开方数里含有能开得尽方的因式x2；故本选项错误；
D、，被开方数里含有分母；故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义直接进行判断，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数是否都小于根指数2，且被开方数中不含有分母；被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、＝2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故B选项错误；
C、＝2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
9．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可．
【解答】解：A、、没有意义，故本选项错误；
B、＝5，运算错误，故本选项错误；
C、＝＝×＝9，故本选项正确；
D、3＝3×＝，运算错误，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算及二次根式有意义的条件，属于基础题，熟练掌握基本知识是关键．
10．等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：
解得：x≥3
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
11．已知a＝，b＝﹣2，则有（ ）
A．a＝b B．a＝﹣b C．a＝ D．a＝
【分析】本题可先将a分母有理化，然后再判断a、b的关系．
【解答】解：因为a＝＝﹣（﹣2），所以a＝﹣b．
故选：B．
【点评】本题涉及到分母有理化的知识，找出分母的有理化因式是解题的关键．
12．的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． + D．﹣
【分析】找出原式的一个有理化因式即可．
【解答】解：的一个有理化因式是，
故选：B．
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．当x 是任意实数 时，是二次根式．
【分析】根据二次根式的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：根据题意，（1﹣x）2≥0，
解得x是任意实数．
故答案为：是任意实数．
【点评】本题考查了二次根式的定义，利用被开方数是非负数列式求解即可，比较简单．
14．若x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为 3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以，x＝3，
y＝8，
x+3y＝3+3×8＝27，
∵33＝27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，立方根的定义，根据x的取值范围求出x的值是解题的关键．
15．计算＝ 1 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝1，
故答案为：1
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
16．把化为最简二次根式，结果是 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：，
故答案为：
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．
17．计算：÷＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出即可．
【解答】解：÷＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的运算法则得出是解题关键．
18．设a＝，b＝2+，c＝，则a、b、c从小到大的顺序是 a＜c＜b ．
【分析】将c分母有理化再进行比较即可．
【解答】解：c＝＝＝+；
∴a＜c＜b．
故答案为a＜c＜b．
【点评】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键．
19．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝ 1 ．
【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴1+a＝4a﹣2，
解得a＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
20．计算：﹣ +＝ ﹣2 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝﹣3+
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
22．已知：，求：（x+y）4的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵与有意义，
∴，解得x＝2，
∴y＝﹣3，
∴（2﹣3）4＝1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．
【分析】先根据二次根式的性质得出|a|﹣|a|﹣|b|，推出结果是﹣|b|，根据正数的绝对值等于它本身得出即可．
【解答】解：∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴：|a|﹣﹣
＝|a|﹣|a|﹣|b|
＝﹣|b|
＝﹣b．
【点评】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴等知识点，解此题的关键是根据数轴得出a＜0＜b，注意：＝|a|，当a≥0时，|a|＝a，当a≤0时，|a|＝﹣a．
24．计算：．
【分析】先将带分数化为分数，然后然后根据×＝进行二次根式的乘法运算即可．
【解答】解：原式＝××
＝
＝×4
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法运算，难度不大，将带分数化简为分数是很关键的一步．
25．阅读下面材料，并解答后面的问题：
＝＝；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果 ﹣ ；
（2）计算（+）（）＝ 1 ，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
【分析】（1）根据上面的材料直接写答案；
（2）利用平方差公式进行计算并填空；
（3）利用（1）中的规律进行计算．
【解答】解：（1）观察上面的等式可知：＝﹣；
故答案是：﹣；
（2）（+）（）＝（）2﹣（）2＝n+1﹣n＝1；
故答案是：1；
（3）由（1）知，原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1+＝﹣1+10＝9．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
26．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
【分析】由同类二次根式的定义，可得方程组：，解此方程组即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
∴m＝±2，n＝±．
【点评】此题考查了同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
27．．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣2+3＝+3．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
28．计算：
（1）
（2）
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+12＝14
（2）原式＝2﹣
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．