2020年沪科新版八年级数学下册《第17章 一元二次方程》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版八年级数学下册《第17章 一元二次方程》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 145.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-08 15:04:10 | ||
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文档简介
2020年沪科新版八年级数学下册《第17章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．若（a﹣1）x2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a＝1 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠0且b≠0
2．方程4x2+5x＝81的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4、5和81 B．4、5和﹣81 C．4、﹣5和81 D．4、﹣5和﹣81
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
4．一元二次方程x2＝9的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x1＝3，x2＝0
5．用配方法解方程x2﹣3x＝4，应把方程的两边同时（ ）
A．加上 B．加上 C．减去 D．减去
6．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7．方程x（x﹣2）＝0的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
11．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2＝389 B．389（1+x）2＝438
C．389（1+2x）＝438 D．438（1+2x）＝389
12．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（ ）
A．2m B．1m C．1.5m D．0.5m
二．填空题（共8小题）
13．已知关于x的方程 （m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
14．方程x2﹣x＝0的一次项系数是 ，常数项是 ．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则x+的值为 ．
16．方程x2＝4的解为 ．
17．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝ ．
18．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 ，求根公式是 ．
19．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的解为 ．
20．如果（m+n）（m+n+5）＝6，则m+n＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
22．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
23．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
24．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
25．解方程：x2﹣2x＝4．
26．解方程：2x2+3x﹣1＝0．
27．解方程：x2﹣4x+3＝0．
28．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
2020年沪科新版八年级数学下册《第17章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若（a﹣1）x2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a＝1 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠0且b≠0
【分析】根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得a﹣1≠0，
解得a≠1，
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．方程4x2+5x＝81的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4、5和81 B．4、5和﹣81 C．4、﹣5和81 D．4、﹣5和﹣81
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【解答】解：4x2+5x﹣81＝0，
则二次项系数、一次项系数和常数项分别为：4、5和﹣81．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
4．一元二次方程x2＝9的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x1＝3，x2＝0
【分析】直接开平方法可得．
【解答】解：∵x2＝9，
∴x＝±3，即x1＝3，x2＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5．用配方法解方程x2﹣3x＝4，应把方程的两边同时（ ）
A．加上 B．加上 C．减去 D．减去
【分析】直接把左边配方，即可得知需要添加．即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：根据题意，把方程等号左边配方得x2﹣3x＝（x﹣）2﹣，
∴可知为使方程不变两边需同时加上，
故选：B．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，是基础题．
6．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：﹣3x2+5x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，
x＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
7．方程x（x﹣2）＝0的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】由x（x﹣2）＝0，即可得x＝0或x﹣2＝0，解此两个一次方程即可求得答案．
【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法．此题比较简单，解题的关键是注意降幂思想的应用．
8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．
【解答】解：设x+2y＝a，则原方程变形为a2+3a﹣4＝0，解得a＝﹣4或a＝1．故选C．
【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．
9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】直接根据根与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
11．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2＝389 B．389（1+x）2＝438
C．389（1+2x）＝438 D．438（1+2x）＝389
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，
由题意，得：389（1+x）2＝438．
故选：B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
12．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（ ）
A．2m B．1m C．1.5m D．0.5m
【分析】我们可设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据面积为18平方米，即长与宽的积是18平方米，列出方程解答即可．
【解答】解：设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据题意列方程得
（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
解得x1＝1，x2＝5.5（不符合题意，舍去）．
所以，花边的宽为1m．故选B．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
二．填空题（共8小题）
13．已知关于x的方程 （m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，继而即可得出m的值．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
14．方程x2﹣x＝0的一次项系数是 ﹣1 ，常数项是 0 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程x2﹣x＝0的一次项系数是﹣1，常数项是0．
【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．在本题中要注意常数项是0，而不是不存在．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则x+的值为 3 ．
【分析】先判断出x≠0，然后方程两边同时除以x，即可求解．
【解答】解：当x＝0时，代入方程左右两边左边＝1≠右边，
故x≠0
方程左右两边同时除以x得：x﹣3+＝0．
∴＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，根据式子的特点进行适当的变形是解决本题的关键．
16．方程x2＝4的解为 x1＝2，x2＝﹣2 ．
【分析】利用直接开平方法，求解即可．
【解答】解：开方得，x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣直接开平方法，比较简单．
17．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝ 12 ．
【分析】先移项，再配方，变形后求出a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
所以a＝3，b＝4，
ab＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
18．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 b2﹣4ac ，求根公式是 ．
【分析】答题时首先要知道根的判别式的含义，△＝b2﹣4ac，知道求根公式．
【解答】解：方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．
【点评】本题主要考查根的判别式△＝b2﹣4ac这一知识点，比较简单．
19．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣1 ．
【分析】利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣4）（x+1）＝0，
则x﹣4＝0，或x+1＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1．
故答案是：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．如果（m+n）（m+n+5）＝6，则m+n＝ 1或﹣6 ．
【分析】求m+n时可把m+n看作一个整体x，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）＝6变形为x（x+5）＝6
移项去括号得x2+5x﹣6＝0
因式分解得（x+6）（x﹣1）＝0
解得x＝1或﹣6
即m+n＝1或﹣6．
【点评】正确设出m+n为x，然后转化为解方程求得m+n的值．
三．解答题（共8小题）
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2﹣1＝0，m+1≠0，解即可；
（2）根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1，
答：m＝1时，此方程是一元一次方程；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，
解得：m≠±1．
一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义．
22．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
23．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
【分析】由m为已知方程的解，将x＝m代入方程求出m2+m的值，原式整理后代入计算即可求出值．
【解答】解：把x＝m代入方程得：m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，
则原式＝m2+2m+1+m2﹣1＝2（m2+m）＝2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
24．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】此题考查了用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
25．解方程：x2﹣2x＝4．
【分析】利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
26．解方程：2x2+3x﹣1＝0．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∵△＝9+8＝17，
∴x＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
27．解方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
28．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到 降次 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
一．选择题（共12小题）
1．若（a﹣1）x2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a＝1 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠0且b≠0
2．方程4x2+5x＝81的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4、5和81 B．4、5和﹣81 C．4、﹣5和81 D．4、﹣5和﹣81
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
4．一元二次方程x2＝9的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x1＝3，x2＝0
5．用配方法解方程x2﹣3x＝4，应把方程的两边同时（ ）
A．加上 B．加上 C．减去 D．减去
6．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7．方程x（x﹣2）＝0的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
11．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2＝389 B．389（1+x）2＝438
C．389（1+2x）＝438 D．438（1+2x）＝389
12．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（ ）
A．2m B．1m C．1.5m D．0.5m
二．填空题（共8小题）
13．已知关于x的方程 （m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
14．方程x2﹣x＝0的一次项系数是 ，常数项是 ．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则x+的值为 ．
16．方程x2＝4的解为 ．
17．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝ ．
18．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 ，求根公式是 ．
19．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的解为 ．
20．如果（m+n）（m+n+5）＝6，则m+n＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
22．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
23．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
24．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
25．解方程：x2﹣2x＝4．
26．解方程：2x2+3x﹣1＝0．
27．解方程：x2﹣4x+3＝0．
28．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
2020年沪科新版八年级数学下册《第17章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若（a﹣1）x2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a＝1 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠0且b≠0
【分析】根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得a﹣1≠0，
解得a≠1，
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．方程4x2+5x＝81的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4、5和81 B．4、5和﹣81 C．4、﹣5和81 D．4、﹣5和﹣81
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【解答】解：4x2+5x﹣81＝0，
则二次项系数、一次项系数和常数项分别为：4、5和﹣81．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
4．一元二次方程x2＝9的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x1＝3，x2＝0
【分析】直接开平方法可得．
【解答】解：∵x2＝9，
∴x＝±3，即x1＝3，x2＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5．用配方法解方程x2﹣3x＝4，应把方程的两边同时（ ）
A．加上 B．加上 C．减去 D．减去
【分析】直接把左边配方，即可得知需要添加．即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：根据题意，把方程等号左边配方得x2﹣3x＝（x﹣）2﹣，
∴可知为使方程不变两边需同时加上，
故选：B．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，是基础题．
6．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：﹣3x2+5x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，
x＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
7．方程x（x﹣2）＝0的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】由x（x﹣2）＝0，即可得x＝0或x﹣2＝0，解此两个一次方程即可求得答案．
【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法．此题比较简单，解题的关键是注意降幂思想的应用．
8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．
【解答】解：设x+2y＝a，则原方程变形为a2+3a﹣4＝0，解得a＝﹣4或a＝1．故选C．
【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．
9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】直接根据根与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
11．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2＝389 B．389（1+x）2＝438
C．389（1+2x）＝438 D．438（1+2x）＝389
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，
由题意，得：389（1+x）2＝438．
故选：B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
12．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（ ）
A．2m B．1m C．1.5m D．0.5m
【分析】我们可设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据面积为18平方米，即长与宽的积是18平方米，列出方程解答即可．
【解答】解：设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据题意列方程得
（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
解得x1＝1，x2＝5.5（不符合题意，舍去）．
所以，花边的宽为1m．故选B．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
二．填空题（共8小题）
13．已知关于x的方程 （m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，继而即可得出m的值．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
14．方程x2﹣x＝0的一次项系数是 ﹣1 ，常数项是 0 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程x2﹣x＝0的一次项系数是﹣1，常数项是0．
【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．在本题中要注意常数项是0，而不是不存在．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则x+的值为 3 ．
【分析】先判断出x≠0，然后方程两边同时除以x，即可求解．
【解答】解：当x＝0时，代入方程左右两边左边＝1≠右边，
故x≠0
方程左右两边同时除以x得：x﹣3+＝0．
∴＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，根据式子的特点进行适当的变形是解决本题的关键．
16．方程x2＝4的解为 x1＝2，x2＝﹣2 ．
【分析】利用直接开平方法，求解即可．
【解答】解：开方得，x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣直接开平方法，比较简单．
17．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝ 12 ．
【分析】先移项，再配方，变形后求出a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
所以a＝3，b＝4，
ab＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
18．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 b2﹣4ac ，求根公式是 ．
【分析】答题时首先要知道根的判别式的含义，△＝b2﹣4ac，知道求根公式．
【解答】解：方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．
【点评】本题主要考查根的判别式△＝b2﹣4ac这一知识点，比较简单．
19．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣1 ．
【分析】利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣4）（x+1）＝0，
则x﹣4＝0，或x+1＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1．
故答案是：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．如果（m+n）（m+n+5）＝6，则m+n＝ 1或﹣6 ．
【分析】求m+n时可把m+n看作一个整体x，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）＝6变形为x（x+5）＝6
移项去括号得x2+5x﹣6＝0
因式分解得（x+6）（x﹣1）＝0
解得x＝1或﹣6
即m+n＝1或﹣6．
【点评】正确设出m+n为x，然后转化为解方程求得m+n的值．
三．解答题（共8小题）
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2﹣1＝0，m+1≠0，解即可；
（2）根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1，
答：m＝1时，此方程是一元一次方程；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，
解得：m≠±1．
一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义．
22．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
23．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
【分析】由m为已知方程的解，将x＝m代入方程求出m2+m的值，原式整理后代入计算即可求出值．
【解答】解：把x＝m代入方程得：m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，
则原式＝m2+2m+1+m2﹣1＝2（m2+m）＝2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
24．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】此题考查了用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
25．解方程：x2﹣2x＝4．
【分析】利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
26．解方程：2x2+3x﹣1＝0．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∵△＝9+8＝17，
∴x＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
27．解方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
28．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到 降次 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．