2020年沪科新版八年级数学下册《第18章 勾股定理》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版八年级数学下册《第18章 勾股定理》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 494.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-08 15:11:07 | ||
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文档简介
2020年沪科新版八年级数学下册《第18章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．已知平面内有一点P，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则P点的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）或（1，﹣1） B．（1，﹣1）
C．（﹣，）或（，﹣） D．（，﹣）
2．点A（﹣4，3）和点B（﹣8，3），则A，B相距（ ）
A．4个单位长度 B．12个单位长度
C．10个单位长度 D．8个单位长度
3．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标
（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
4．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．12
5．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（ ）
A．（6，0） B．（0，1）
C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0）
6．点M（﹣3，4）离原点的距离是多少单位长度（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
10．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（ ）
A．8 B．9 C． D．10
11．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（ ）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
12．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（不考虑房屋高度）（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
二．填空题（共8小题）
13．在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是 ．
14．平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是 ．
15．在平面直角坐标系中点A（，1）到原点的距离是 ．
16．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x＝ ．
17．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 ．
18．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．
19．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为 ．
20．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
三．解答题（共8小题）
21．根据题意，解答下列问题：
（1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．
22．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下面：以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE＝＝．
下面请你参与：
（1）在图①中：AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：
已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
23．先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
24．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
25．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
27．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2
（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．
写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标： ；
写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标： ，这样的点有 个．
28．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
2020年沪科新版八年级数学下册《第18章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知平面内有一点P，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则P点的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）或（1，﹣1） B．（1，﹣1）
C．（﹣，）或（，﹣） D．（，﹣）
【分析】根据勾股定理知识解答．
【解答】解：设点P的横坐标与纵坐标分别为x、﹣x，
所以x2+（﹣x）2＝22，
解得，，，
所以，，
所以P点的坐标为（，﹣），（﹣，）．
故选：C．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式，注意由于点P所在的象限不确定，所以其坐标有两解．
2．点A（﹣4，3）和点B（﹣8，3），则A，B相距（ ）
A．4个单位长度 B．12个单位长度
C．10个单位长度 D．8个单位长度
【分析】先根据A，B两点的坐标确定AB平行于x轴，再根据同一直线上两点间的距离公式解答即可．
【解答】解：∵点A和点B纵坐标相同，
∴AB平行于x轴，AB＝﹣4﹣（﹣8）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了同一条直线上两点间的距离公式，解决本题的关键是牢记平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，正确认识到AB平行于x轴即可得解．
3．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标
（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【分析】应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据点P到坐标轴的距离，到原点的距离判断具体坐标．
【解答】解：∵点P在第三象限内，
∴点P的横纵坐标均为负，
∵P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，
∴可设P的横坐标为x，纵坐标为2x，
∵点P到原点的距离为，
∴x2+（2x）2＝5，
∴x＝±1，
∴x＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题涉及到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；点到原点的距离与点的横纵坐标的绝对值组成直角三角形．
4．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】设格点P（x，y）到坐标原点O的距离为10，根据两点间的距离公式得到x2+y2＝102＝100，利用x和y都是0到10的整数，易得当x＝0时，y＝±10；当x＝±6时，y＝±8；当x＝±8时，y＝±6；当x＝±10时，y＝0，然后写出满足条件的格点坐标．
【解答】解：设格点P（x，y）到坐标原点O的距离为10，
根据题意得x2+y2＝102＝100，
当x＝0时，y＝±10；当x＝±6时，y＝±8；当x＝±8时，y＝±6；当x＝±10时，y＝0，
所以满足条件的格点坐标为（0，10）、（0，﹣10），（10，0）、（﹣10，0），（6，8）、（﹣6，﹣8），（6，﹣8）、（﹣6，8），（8，6）、（﹣8，﹣6），（8，﹣6）、（﹣8，6）．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
5．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（ ）
A．（6，0） B．（0，1）
C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0）
【分析】到点M的距离为定值的点在以M为圆心，以5为半径的圆上，圆与x轴的交点即为所求点．
【解答】解：该点与M点的距离是5，则这点就是以M点为圆心，以5为半径的圆与x轴的交点，如图：过M作x轴的垂线，垂足是N，则ON＝3，MN＝4．根据勾股定理就可以求得OM＝5，则O就是圆与x轴的一个交点，则O坐标是（0，0）；设另一个交点是A，MN⊥OA，则本题满足垂径定理，AN＝ON＝3．
∴点A的坐标是（6，0）．故选D．
【点评】本题运用了垂径定理，把求点的坐标的问题转化为求线段的长的问题，利用数形结合可以更直观地解题．
6．点M（﹣3，4）离原点的距离是多少单位长度（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】根据两点间的距离公式即可直接求解．
【解答】解：设原点为O（0，0），根据两点间的距离公式，
∴MO＝
＝
＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，
∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝90°+70°＝160°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键．
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为： ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
10．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（ ）
A．8 B．9 C． D．10
【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式知，S△ABC＝AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决问题的关键．
11．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（ ）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42≠62，故A符合题意；
B、72+242＝252，故B不符合题意；
C、62+82＝102，故C不符合题意；
D、92+122＝152，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
12．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（不考虑房屋高度）（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
【分析】大树倒下部分，以AB为半径，绕点A做圆弧形的运动，AB＝10米，10大于9．
【解答】解：由勾股定理知：BC＝＝＝8（米）．
由于8＜9，
所以 大树倒下时不能砸到张大爷的房子．
故选：A．
【点评】考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
二．填空题（共8小题）
13．在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是 ﹣1或5 ．
【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2﹣x|＝3，从而可以求得x的值．
【解答】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，
∴|2﹣x|＝3，
解得，x＝﹣1或x＝5，
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是 ．
【分析】依题意得OP＝2，OQ＝3，在直角三角形OPQ中，由勾股定理得PQ＝＝．
【解答】解：在直角坐标系中设原点为O，三角形OPQ为直角三角形，则OP＝2，OQ＝3，
∴PQ＝＝．
故答案填：．
【点评】本题充分运用平面直角坐标系的两条坐标轴互相垂直的关系，构造直角三角形，将点的坐标转化为相关线段的长度，运用勾股定理解题．
15．在平面直角坐标系中点A（，1）到原点的距离是 2 ．
【分析】求出与1的平方和的算术平方根即可．
【解答】解：点A（，1）到原点的距离是＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离．
16．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x＝ ﹣3或7 ．
【分析】根据两点间的距离公式便可直接解答．
【解答】解：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，
∴AB＝＝5，
解得x＝﹣3或x＝7．
故答案填：﹣3或7．
【点评】解答此题的关键是熟知两点间的距离公式．
17．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 55°、35° ．
【分析】设一个锐角为x，根据题意表示出另一个锐角，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x﹣20°，
则x+x﹣20°＝90°，
解得，x＝55°，
x﹣20°＝35°
故答案为：55°、35°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意方程思想的正确运用．
18．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ 75 ．
【分析】根据平行线的性质可得∠EDB＝∠C＝60°，进而可证明△EDB是等边三角形，再根据勾股定理即可求解EF的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED＝BD＝5，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝10，
∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．
故答案为：75．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用和30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出DF的长是解题关键．
19．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为 25 ．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是： ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．
故答案是：25．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
20．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 24 ．
【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．
三．解答题（共8小题）
21．根据题意，解答下列问题：
（1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．
【分析】（1）根据直线y＝2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y＝0，求得x的值；与y轴相交时，x＝0，求得y的值；
（2）、（3）通过构造直角三角形的方法，解得MN与P1P2的值．
【解答】（1）解：由y＝0，得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA＝2．
同理可得OB＝4．
所以在Rt△AOB中，AB＝；
（2）解：作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．
则MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）．
故PM＝4﹣（﹣1）＝5，PN＝3﹣（﹣2）＝5．
所以在Rt△MPN中，MN＝；
（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）
（3）证明：作P2P⊥x轴，P1P⊥y轴，P2P交P1P于点P．
则P2P⊥P1P，点P的坐标为（x2，y1）．
故P2P＝y2﹣y1，P1P＝x2﹣x1．（不加绝对值符号此处不扣分）
所以在Rt△P2P1P中，．
【点评】本题主要考查一次函数图象与X轴、Y轴交点的特点与解直角三角形，同时考查了数形结合思想，综合性很强，值得学生去思考．
22．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下面：以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE＝＝．
下面请你参与：
（1）在图①中：AC＝ 4 ，BC＝ 3 ，AB＝ 5 ．
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC＝ y1﹣y2 ，BC＝ x1﹣x2 ，AB＝ ．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：
已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
【分析】（1）结合坐标系即可得出AC、BC的长度，利用勾股定理可得出AB的长度；
（2）结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度．
（3）设点C的坐标为（x，0）或（y，0），依次求出即可得出答案．
【解答】解：（1）AC＝4，BC＝3，AB＝＝5；
（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝．
（3）若点C在x轴上，设点C的坐标为（x，0），
则AC＝BC，即＝，
解得：x＝5，
即点C的坐标为（5，0）；
若点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），
则AC＝BC，即＝，
解得：y＝5，
即点C的坐标为（0，5）．
综上可得点C的坐标为（5，0）或（0，5）．
故答案为：4，3，5；y1﹣y2，x1﹣x2，A．
【点评】本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意．
23．先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
【分析】（1）依据两点间的距离公式为P1P2＝，进行计算即可；
（2）依据当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|，据此进行计算即可；
（3）先运用两点间的距离公式求得线段AB，BC，AC，进而得出结论．
【解答】解：（1）依据两点间的距离公式，可得AB＝＝13；
（2）当点A，B在平行于y轴的直线上时，AB＝|﹣1﹣5|＝6；
（3）AB与AC相等．理由：
∵AB＝＝5；
AC＝＝5；
BC＝|3﹣（﹣3）|＝6．
∴AB＝AC．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式，平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
24．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式来求A、B两点间的距离；
（2）根据两点间的距离公式|y2﹣y1|来求A、B两点间的距离．
（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．
【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；
（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；
（3）∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．
25．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
【分析】在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC＝40°求得∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝＝2（cm）；
（2）解：根据题意得：BQ＝BP，
即2t＝8﹣t，
解得：t＝；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
27．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2
（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．
写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标： （﹣1，0） ；
写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标： （0，2+） ，这样的点有 4 个．
【分析】（1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
（2）根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得＝，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（2）一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（﹣1，0）；
一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+），这样的点有 4个．
故答案为：（﹣1，0）；（0，2+），4．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
28．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【分析】由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠BAD．
【解答】解：如右图所示，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
故∠DAB的度数为135°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
一．选择题（共12小题）
1．已知平面内有一点P，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则P点的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）或（1，﹣1） B．（1，﹣1）
C．（﹣，）或（，﹣） D．（，﹣）
2．点A（﹣4，3）和点B（﹣8，3），则A，B相距（ ）
A．4个单位长度 B．12个单位长度
C．10个单位长度 D．8个单位长度
3．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标
（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
4．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．12
5．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（ ）
A．（6，0） B．（0，1）
C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0）
6．点M（﹣3，4）离原点的距离是多少单位长度（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
10．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（ ）
A．8 B．9 C． D．10
11．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（ ）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
12．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（不考虑房屋高度）（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
二．填空题（共8小题）
13．在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是 ．
14．平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是 ．
15．在平面直角坐标系中点A（，1）到原点的距离是 ．
16．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x＝ ．
17．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 ．
18．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．
19．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为 ．
20．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
三．解答题（共8小题）
21．根据题意，解答下列问题：
（1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．
22．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下面：以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE＝＝．
下面请你参与：
（1）在图①中：AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：
已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
23．先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
24．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
25．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
27．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2
（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．
写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标： ；
写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标： ，这样的点有 个．
28．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
2020年沪科新版八年级数学下册《第18章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知平面内有一点P，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则P点的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）或（1，﹣1） B．（1，﹣1）
C．（﹣，）或（，﹣） D．（，﹣）
【分析】根据勾股定理知识解答．
【解答】解：设点P的横坐标与纵坐标分别为x、﹣x，
所以x2+（﹣x）2＝22，
解得，，，
所以，，
所以P点的坐标为（，﹣），（﹣，）．
故选：C．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式，注意由于点P所在的象限不确定，所以其坐标有两解．
2．点A（﹣4，3）和点B（﹣8，3），则A，B相距（ ）
A．4个单位长度 B．12个单位长度
C．10个单位长度 D．8个单位长度
【分析】先根据A，B两点的坐标确定AB平行于x轴，再根据同一直线上两点间的距离公式解答即可．
【解答】解：∵点A和点B纵坐标相同，
∴AB平行于x轴，AB＝﹣4﹣（﹣8）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了同一条直线上两点间的距离公式，解决本题的关键是牢记平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，正确认识到AB平行于x轴即可得解．
3．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标
（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【分析】应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据点P到坐标轴的距离，到原点的距离判断具体坐标．
【解答】解：∵点P在第三象限内，
∴点P的横纵坐标均为负，
∵P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，
∴可设P的横坐标为x，纵坐标为2x，
∵点P到原点的距离为，
∴x2+（2x）2＝5，
∴x＝±1，
∴x＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题涉及到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；点到原点的距离与点的横纵坐标的绝对值组成直角三角形．
4．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】设格点P（x，y）到坐标原点O的距离为10，根据两点间的距离公式得到x2+y2＝102＝100，利用x和y都是0到10的整数，易得当x＝0时，y＝±10；当x＝±6时，y＝±8；当x＝±8时，y＝±6；当x＝±10时，y＝0，然后写出满足条件的格点坐标．
【解答】解：设格点P（x，y）到坐标原点O的距离为10，
根据题意得x2+y2＝102＝100，
当x＝0时，y＝±10；当x＝±6时，y＝±8；当x＝±8时，y＝±6；当x＝±10时，y＝0，
所以满足条件的格点坐标为（0，10）、（0，﹣10），（10，0）、（﹣10，0），（6，8）、（﹣6，﹣8），（6，﹣8）、（﹣6，8），（8，6）、（﹣8，﹣6），（8，﹣6）、（﹣8，6）．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
5．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（ ）
A．（6，0） B．（0，1）
C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0）
【分析】到点M的距离为定值的点在以M为圆心，以5为半径的圆上，圆与x轴的交点即为所求点．
【解答】解：该点与M点的距离是5，则这点就是以M点为圆心，以5为半径的圆与x轴的交点，如图：过M作x轴的垂线，垂足是N，则ON＝3，MN＝4．根据勾股定理就可以求得OM＝5，则O就是圆与x轴的一个交点，则O坐标是（0，0）；设另一个交点是A，MN⊥OA，则本题满足垂径定理，AN＝ON＝3．
∴点A的坐标是（6，0）．故选D．
【点评】本题运用了垂径定理，把求点的坐标的问题转化为求线段的长的问题，利用数形结合可以更直观地解题．
6．点M（﹣3，4）离原点的距离是多少单位长度（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】根据两点间的距离公式即可直接求解．
【解答】解：设原点为O（0，0），根据两点间的距离公式，
∴MO＝
＝
＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，
∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝90°+70°＝160°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键．
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为： ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
10．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（ ）
A．8 B．9 C． D．10
【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式知，S△ABC＝AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决问题的关键．
11．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（ ）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42≠62，故A符合题意；
B、72+242＝252，故B不符合题意；
C、62+82＝102，故C不符合题意；
D、92+122＝152，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
12．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（不考虑房屋高度）（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
【分析】大树倒下部分，以AB为半径，绕点A做圆弧形的运动，AB＝10米，10大于9．
【解答】解：由勾股定理知：BC＝＝＝8（米）．
由于8＜9，
所以 大树倒下时不能砸到张大爷的房子．
故选：A．
【点评】考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
二．填空题（共8小题）
13．在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是 ﹣1或5 ．
【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2﹣x|＝3，从而可以求得x的值．
【解答】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，
∴|2﹣x|＝3，
解得，x＝﹣1或x＝5，
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是 ．
【分析】依题意得OP＝2，OQ＝3，在直角三角形OPQ中，由勾股定理得PQ＝＝．
【解答】解：在直角坐标系中设原点为O，三角形OPQ为直角三角形，则OP＝2，OQ＝3，
∴PQ＝＝．
故答案填：．
【点评】本题充分运用平面直角坐标系的两条坐标轴互相垂直的关系，构造直角三角形，将点的坐标转化为相关线段的长度，运用勾股定理解题．
15．在平面直角坐标系中点A（，1）到原点的距离是 2 ．
【分析】求出与1的平方和的算术平方根即可．
【解答】解：点A（，1）到原点的距离是＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离．
16．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x＝ ﹣3或7 ．
【分析】根据两点间的距离公式便可直接解答．
【解答】解：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，
∴AB＝＝5，
解得x＝﹣3或x＝7．
故答案填：﹣3或7．
【点评】解答此题的关键是熟知两点间的距离公式．
17．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 55°、35° ．
【分析】设一个锐角为x，根据题意表示出另一个锐角，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x﹣20°，
则x+x﹣20°＝90°，
解得，x＝55°，
x﹣20°＝35°
故答案为：55°、35°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意方程思想的正确运用．
18．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ 75 ．
【分析】根据平行线的性质可得∠EDB＝∠C＝60°，进而可证明△EDB是等边三角形，再根据勾股定理即可求解EF的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED＝BD＝5，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝10，
∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．
故答案为：75．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用和30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出DF的长是解题关键．
19．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为 25 ．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是： ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．
故答案是：25．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
20．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 24 ．
【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．
三．解答题（共8小题）
21．根据题意，解答下列问题：
（1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．
【分析】（1）根据直线y＝2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y＝0，求得x的值；与y轴相交时，x＝0，求得y的值；
（2）、（3）通过构造直角三角形的方法，解得MN与P1P2的值．
【解答】（1）解：由y＝0，得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA＝2．
同理可得OB＝4．
所以在Rt△AOB中，AB＝；
（2）解：作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．
则MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）．
故PM＝4﹣（﹣1）＝5，PN＝3﹣（﹣2）＝5．
所以在Rt△MPN中，MN＝；
（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）
（3）证明：作P2P⊥x轴，P1P⊥y轴，P2P交P1P于点P．
则P2P⊥P1P，点P的坐标为（x2，y1）．
故P2P＝y2﹣y1，P1P＝x2﹣x1．（不加绝对值符号此处不扣分）
所以在Rt△P2P1P中，．
【点评】本题主要考查一次函数图象与X轴、Y轴交点的特点与解直角三角形，同时考查了数形结合思想，综合性很强，值得学生去思考．
22．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下面：以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE＝＝．
下面请你参与：
（1）在图①中：AC＝ 4 ，BC＝ 3 ，AB＝ 5 ．
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC＝ y1﹣y2 ，BC＝ x1﹣x2 ，AB＝ ．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：
已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
【分析】（1）结合坐标系即可得出AC、BC的长度，利用勾股定理可得出AB的长度；
（2）结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度．
（3）设点C的坐标为（x，0）或（y，0），依次求出即可得出答案．
【解答】解：（1）AC＝4，BC＝3，AB＝＝5；
（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝．
（3）若点C在x轴上，设点C的坐标为（x，0），
则AC＝BC，即＝，
解得：x＝5，
即点C的坐标为（5，0）；
若点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），
则AC＝BC，即＝，
解得：y＝5，
即点C的坐标为（0，5）．
综上可得点C的坐标为（5，0）或（0，5）．
故答案为：4，3，5；y1﹣y2，x1﹣x2，A．
【点评】本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意．
23．先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
【分析】（1）依据两点间的距离公式为P1P2＝，进行计算即可；
（2）依据当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|，据此进行计算即可；
（3）先运用两点间的距离公式求得线段AB，BC，AC，进而得出结论．
【解答】解：（1）依据两点间的距离公式，可得AB＝＝13；
（2）当点A，B在平行于y轴的直线上时，AB＝|﹣1﹣5|＝6；
（3）AB与AC相等．理由：
∵AB＝＝5；
AC＝＝5；
BC＝|3﹣（﹣3）|＝6．
∴AB＝AC．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式，平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
24．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式来求A、B两点间的距离；
（2）根据两点间的距离公式|y2﹣y1|来求A、B两点间的距离．
（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．
【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；
（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；
（3）∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．
25．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
【分析】在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC＝40°求得∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝＝2（cm）；
（2）解：根据题意得：BQ＝BP，
即2t＝8﹣t，
解得：t＝；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
27．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2
（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．
写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标： （﹣1，0） ；
写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标： （0，2+） ，这样的点有 4 个．
【分析】（1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
（2）根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得＝，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（2）一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（﹣1，0）；
一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+），这样的点有 4个．
故答案为：（﹣1，0）；（0，2+），4．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
28．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【分析】由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠BAD．
【解答】解：如右图所示，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
故∠DAB的度数为135°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．