2020年沪科新版九年级数学下册《第24 圆》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版九年级数学下册《第24 圆》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 534.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-08 15:16:09 | ||
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文档简介
2020年沪科新版九年级数学下册《第24 圆》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
2．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA＝10，水面宽AB＝16，则排水管内水的最大深度CD的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
7．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
8．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
11．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正五边形
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A． B．（5，1） C． D．（6，1）
二．填空题（共8小题）
13．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为 ．
15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 ．
16．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为 °．
17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 ．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ ．
19．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少 度，能够与本身重合．
20．如图，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
22．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）求证：∠BCD＝∠CBD；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
23．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
24．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC，求证：AB＝CD．
25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
27．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．
28．（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．
（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．
2020年沪科新版九年级数学下册《第24 圆》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
2．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF＝AD，即可求出答案．
【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
3．一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA＝10，水面宽AB＝16，则排水管内水的最大深度CD的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝16，OD⊥AB，OA＝10，
∴AC＝AB＝8，
∴OC＝＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，
∴∠ABC＝34°，
∵＝，
∴2∠ABC＝∠COE＝68°，
又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，
∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE的度数是解题关键．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据圆周角定理即可求出答案
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
7．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
【分析】根据旋转和平移的性质即可解答．
【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故选：A．
【点评】本题结合游戏，考查了旋转和平移的性质：
（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
（2）平移的性质：①对应点之间的连线平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等；②平移方向为前后对应点射线的方向，距离为对应点之间线段的长度；③平移前后图形的形状与大小都没有发生变化，即为全等形．
8．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．
【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故选：C．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
【分析】先求得直线AB解析式为y＝x﹣1，即可得出P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．
【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键．
11．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正五边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A． B．（5，1） C． D．（6，1）
【分析】根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C＝30°，CD∥x轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），
∴y＝2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴AB＝2，OB＝2，
由勾股定理得，OA＝＝＝4，
∴∠A＝30°，∠AOB＝60°，
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，
∴∠C＝30°，CD∥x轴，
设AB与CD相交于点E，则BE＝BC＝AB＝×2＝，
CE＝＝＝3，
∴点C的横坐标为3+2＝5，
∴点C的坐标为（5，）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出△AOB的各角的度数以及CD∥x轴是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是 60° ．
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为 6 ．
【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．
【解答】解：如图所示，连接OD．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝16，
∴CE＝DE＝CD＝8，
又∵OD＝AB＝10，
∵CD⊥AB，
∴∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，
根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
∴OE＝＝6，
则OE的长度为6．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 （1，1） ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心D（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知垂直于弦（非直径）的直径平分弦是解答此题的关键．
16．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为 40 °．
【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB＝50°，∠COD＝60°，则∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝40°，于是得到的度数为40°．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°，
∴的度数为40°．
故答案为40．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 120° ．
【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．
【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ 40° ．
【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题．
【解答】解：由题意得：
AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC＝70°，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°；
由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°，
故答案为40°．
【点评】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
19．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少 120 度，能够与本身重合．
【分析】等边三角形的三边中线的交点就是等边三角形的中心，等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少120度，能够与本身重合．
【解答】解：等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少360÷3＝120度．
【点评】等边三角形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要重点掌握的内容．
20．如图，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．
【解答】解：AC与BD相等．理由如下：
连结OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴＝，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
22．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）求证：∠BCD＝∠CBD；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
【分析】（1）根据OD⊥BC于E可知＝，所以BD＝CD，故可得出结论；
（2）先根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再OD⊥BC于E可知OD∥AC，由于点O是AB的中点，所以OE是△ABC的中位线，故OE＝AC，在Rt△OBE中根据勾股定理可求出OB的长，故可得出DE的长，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵OD⊥BC于E，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，
∵点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AC＝×6＝3，
在Rt△OBE中，
∵BE＝4，OE＝3，
∴OB＝＝＝5，即OD＝OB＝5，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
23．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【分析】先利用Rt△AOC求出半径，再利用勾股定理求出MN的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可做出正确判断．
【解答】解：不需要采取紧急措施
理由如下：
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18
∴R2＝302+（R﹣18）2＝900+R2﹣36R+324
解得R＝34（m）
连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中
ME＝16
∴342＝162+（34﹣x）2＝162+342﹣68x+x2＝342
x2﹣68x+256＝0
解得x1＝4，x2＝64（不合题意，舍去）
∴DE＝4
∵4＞3.5，
∴不需采取紧急措施．
【点评】本题主要利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解．
24．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC，求证：AB＝CD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，AD＝BC，则，则，则AB＝CD．
【解答】证明：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE＝BE﹣AD．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD+CE＝AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
而AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE＝BE﹣AD．
【点评】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．
26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
【分析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可．
（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．
【解答】解：（1）根据对称中心的性质，可得
对称中心的坐标是D1D的中点，
∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
∴对称中心的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2＝2，
∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A1D1＝2，D1的坐标是（0，3），
∴A1的坐标是（0，1），
∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），
综上，可得
顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
【点评】（1）此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（2）此题还考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
27．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．
【分析】画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即B，O，E共线，并且OB＝OE，C，O，F共线，并且OC＝OF．
【解答】解：作法如下：
图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF．
【点评】本题考查了中心对称图形的画法．中心对称图形是图形绕对称中心旋转180°后的图形，旋转角是平角，对应点和对称中心应该共线，并且被对称中心平分．
28．（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．
（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转后A，B两点对应坐标，即可得出答案；
（2）根据中心对称图形的性质，连接AO，BO，CO，并延长，使OA″＝OA，C″O＝CO，B″O＝BO，再连接A″B″，B″C″，A″C″即可．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质以及中心对称图形的性质，根据已知得出对应点的位置是解题关键．
一．选择题（共12小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
2．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA＝10，水面宽AB＝16，则排水管内水的最大深度CD的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
7．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
8．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
11．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正五边形
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A． B．（5，1） C． D．（6，1）
二．填空题（共8小题）
13．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为 ．
15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 ．
16．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为 °．
17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 ．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ ．
19．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少 度，能够与本身重合．
20．如图，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
22．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）求证：∠BCD＝∠CBD；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
23．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
24．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC，求证：AB＝CD．
25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
27．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．
28．（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．
（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．
2020年沪科新版九年级数学下册《第24 圆》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
2．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF＝AD，即可求出答案．
【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
3．一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA＝10，水面宽AB＝16，则排水管内水的最大深度CD的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝16，OD⊥AB，OA＝10，
∴AC＝AB＝8，
∴OC＝＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，
∴∠ABC＝34°，
∵＝，
∴2∠ABC＝∠COE＝68°，
又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，
∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE的度数是解题关键．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据圆周角定理即可求出答案
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
7．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
【分析】根据旋转和平移的性质即可解答．
【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故选：A．
【点评】本题结合游戏，考查了旋转和平移的性质：
（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
（2）平移的性质：①对应点之间的连线平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等；②平移方向为前后对应点射线的方向，距离为对应点之间线段的长度；③平移前后图形的形状与大小都没有发生变化，即为全等形．
8．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．
【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故选：C．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
【分析】先求得直线AB解析式为y＝x﹣1，即可得出P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．
【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键．
11．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正五边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A． B．（5，1） C． D．（6，1）
【分析】根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C＝30°，CD∥x轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），
∴y＝2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴AB＝2，OB＝2，
由勾股定理得，OA＝＝＝4，
∴∠A＝30°，∠AOB＝60°，
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，
∴∠C＝30°，CD∥x轴，
设AB与CD相交于点E，则BE＝BC＝AB＝×2＝，
CE＝＝＝3，
∴点C的横坐标为3+2＝5，
∴点C的坐标为（5，）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出△AOB的各角的度数以及CD∥x轴是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是 60° ．
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为 6 ．
【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．
【解答】解：如图所示，连接OD．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝16，
∴CE＝DE＝CD＝8，
又∵OD＝AB＝10，
∵CD⊥AB，
∴∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，
根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
∴OE＝＝6，
则OE的长度为6．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 （1，1） ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心D（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知垂直于弦（非直径）的直径平分弦是解答此题的关键．
16．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为 40 °．
【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB＝50°，∠COD＝60°，则∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝40°，于是得到的度数为40°．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°，
∴的度数为40°．
故答案为40．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 120° ．
【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．
【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ 40° ．
【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题．
【解答】解：由题意得：
AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC＝70°，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°；
由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°，
故答案为40°．
【点评】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
19．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少 120 度，能够与本身重合．
【分析】等边三角形的三边中线的交点就是等边三角形的中心，等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少120度，能够与本身重合．
【解答】解：等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少360÷3＝120度．
【点评】等边三角形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要重点掌握的内容．
20．如图，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．
【解答】解：AC与BD相等．理由如下：
连结OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴＝，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
22．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）求证：∠BCD＝∠CBD；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
【分析】（1）根据OD⊥BC于E可知＝，所以BD＝CD，故可得出结论；
（2）先根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再OD⊥BC于E可知OD∥AC，由于点O是AB的中点，所以OE是△ABC的中位线，故OE＝AC，在Rt△OBE中根据勾股定理可求出OB的长，故可得出DE的长，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵OD⊥BC于E，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，
∵点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AC＝×6＝3，
在Rt△OBE中，
∵BE＝4，OE＝3，
∴OB＝＝＝5，即OD＝OB＝5，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
23．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【分析】先利用Rt△AOC求出半径，再利用勾股定理求出MN的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可做出正确判断．
【解答】解：不需要采取紧急措施
理由如下：
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18
∴R2＝302+（R﹣18）2＝900+R2﹣36R+324
解得R＝34（m）
连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中
ME＝16
∴342＝162+（34﹣x）2＝162+342﹣68x+x2＝342
x2﹣68x+256＝0
解得x1＝4，x2＝64（不合题意，舍去）
∴DE＝4
∵4＞3.5，
∴不需采取紧急措施．
【点评】本题主要利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解．
24．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC，求证：AB＝CD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，AD＝BC，则，则，则AB＝CD．
【解答】证明：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE＝BE﹣AD．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD+CE＝AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
而AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE＝BE﹣AD．
【点评】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．
26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
【分析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可．
（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．
【解答】解：（1）根据对称中心的性质，可得
对称中心的坐标是D1D的中点，
∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
∴对称中心的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2＝2，
∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A1D1＝2，D1的坐标是（0，3），
∴A1的坐标是（0，1），
∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），
综上，可得
顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
【点评】（1）此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（2）此题还考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
27．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．
【分析】画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即B，O，E共线，并且OB＝OE，C，O，F共线，并且OC＝OF．
【解答】解：作法如下：
图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF．
【点评】本题考查了中心对称图形的画法．中心对称图形是图形绕对称中心旋转180°后的图形，旋转角是平角，对应点和对称中心应该共线，并且被对称中心平分．
28．（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．
（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转后A，B两点对应坐标，即可得出答案；
（2）根据中心对称图形的性质，连接AO，BO，CO，并延长，使OA″＝OA，C″O＝CO，B″O＝BO，再连接A″B″，B″C″，A″C″即可．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质以及中心对称图形的性质，根据已知得出对应点的位置是解题关键．