人教版七年级数学下册6.1平方根（培优题）同步练习解析版

6.1平方根（培优题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若没有平方根，则x的取值范围为
A. B. C. D.
2.当的值为最小值时，a的取值为
A. B. 0 C. D. 1
3.的平方根是
A. 3 B. C. D.
4.已知等腰三角形的两边a、b满足，则此等腰三角形的周长为
A. 7或8 B. 6或10 C. 6或7 D. 7或10
5.下列说法中，其中不正确的有
任何数都有算术平方根；一个数的算术平方根一定是正数；
的算术平方根是a；算术平方根不可能是负数．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6.若m，n满足，则的平方根是
A. B. C. 4 D. 2
7.若一个数的平方根等于它本身，则这个数是
A. 0 B. 1 C. 0?或?1 D. 0?或
8.下列说法正确的是
A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 无理数都是开不尽的方根数
D. 无理数都是无限不循环小数
9.对实数a、b，定义运算，已知，则m的值为
A. 4 B. C. D. 4或
10.已知，那么
A. 0 B. 0或1 C. 0或 D. 0，或1
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.若，则的值为______．
12.3的算术平方根是______ ．
13.的算术平方根是3，则x的值是______．
14.若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为______．
15.如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为图中阴影是个正方形，顶点均在格点上，则这个正方形的边长是______ ．
16.正方形的边长为a，它的面积与长为4cm、宽为12cm的长方形的面积相等，则______cm．
17.若，，则______．
18.若，则x的范围是__________．
19.如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为3，正方形B的面积为24，则图中阴影部分的面积是_________．






20.若，则_________
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.已知，且x是正数，求代数式的值．







22.已知a，b是有直角三角形的两边，且满足，求此三角形第三边长。





23.判断下列各式是否成立．
；
；
；
．
（1）你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围．
（2）请用你学过的数学知识说明你所写式子的正确性．





24.已知，求的值．








答案和解析
1.【答案】D

【解析】【分析】
本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．由负数没有平方根得出关于x的不等式，解之可得．
【解答】
解：由题意知，
解得，
故选D．
2.【答案】C

【解析】解：取最小值，
即．
得，
故选：C．
由于，由此得到取最小值，这样即可得出a的值．
本题考查的是知识点有：算术平方根恒大于等于0，且只有最小值，为0；没有最大值．
3.【答案】D

【解析】【分析】
本题主要考查算术平方根及平方根，可先求的值，再根据平方根的定义即可求解．
【解答】
解：，3的平方根是，
故选D．

4.【答案】A

【解析】解：由题意，知：，解得
当a为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长为2，2，3；符合三角形三边关系，
因此三角形的周长；
当b为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长为3，3，2；符合三角形三边关系，
因此三角形的周长；
故选：A．
首先根据绝对值和算术平方根均为非负数，可求出a、b的值．在等腰三角形腰和底不确定的情况下，要分类进行求解，前提等腰三角形的三边长要符合三角形的三边关系．
本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系的应用等知识．综合性较强，难度适中．
5.【答案】D

【解析】【分析】
本题主要考查了算术平方根的理解，如果，则x是a的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，解答此题根据算术平方根的定义进行判断即可．
【解答】
解：负数没有算术平方根，故错误；
的算术平方根是0，故错误；
当时，的算术平方根是，故错误；
算术平方根不可能是负数，故正确．
所以不正确的有，共3个．
故选D．
6.【答案】B

【解析】解：由题意得，，，
解得，，，
则，
4的平方根的，
故选：B．
根据非负数的性质列式求出m、n，根据平方根的概念计算即可．
本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
7.【答案】A

【解析】解：0的平方根是它本身0，
1的平方根是，
没有平方根，
故选：A．
根据平方根的定义计算可得．
本题主要考查平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
8.【答案】D

【解析】【分析】
解答本题可以有排除法解答，根据平方根的性质可以排除A，根据立方根的意义可以排除B，根据无理数的定义可以排除C，故可以得到正确答案．本题是一道涉及无理数和平方根的试题，考查了无理数的定义，平方根的性质，立方根的性质等几个知识点．
【解答】
解：由平方根的性质可以得知，负有理数没有平方根，0的平方根是0，故A错误；
B.任何实数都有立方根，故B错误；
C.无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数，故C错误；
D.无理数都是无限不循环小数，故D正确．
故选D．
9.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了平方根和新定义的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．
根据题意得出两个情况，求出后看看是否符合条件即可．
【解答】
解：，
，
，
和4不符合，
此种情况不符合题意；
，
?，
，舍去
实数，此种情况符合，
故选C．

10.【答案】A

【解析】【分析】
本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的双重非负性是解决本题的关键．
根据算术平方根的双重非负性即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，要使等式成立，必须满足：
，且，即，
能够同时满足和的数只有0．
故选A．
11.【答案】

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12.【答案】

【解析】解：3的算术平方根是，
故答案为：．
根据开平方的意义，可得算术平方根．
本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．
13.【答案】81

【解析】【分析】
根据算术平方根的定义可解得结果．
【解答】
解：的算术平方根是3，
，
，
故答案为：81．
14.【答案】或5

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了绝对值、算术平方根的非负数的性质，考查了分类讨论思想，本题中讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0，根据这一性质可得关于a，b的方程组，然后可求出a，b的值，另外已知直角三角形两边a、b的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
【解答】
解：，
，，
，．
3只能是直角边，4可能是直角边也可能是斜边，
在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为；
在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为．
综上所述，该直角三角形的第三边长为或5．
故答案是或5．
15.【答案】

【解析】解：如图，
由勾股定理，得
，
故答案为：．
根据勾股定理，可得答案．
本题考查了算术平方根，利用勾股定理是解题关键．
16.【答案】

【解析】解：由题意得：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意可得方程，再利用开平方法解出a的值即可．
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
17.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了算术平方根的性质，被开方数的小数点移动2位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位．
2000可以认为是由20的小数点向右移动两位得到，据此即可求解．
【解答】
解：．
故答案是．
18.【答案】

【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的非负性和二次根式的概念的有关知识，由题意利用二次根式的非负性质和二次根式的概念进行求解即可．
【解答】
解：，
，
，
．
故答案为．

19.【答案】

【解析】【分析】
此题考查了算术平方根，正方形的性质，二次根式的混合运算，根据正方形A的面积为3，正方形B的面积为24，得到正方形A的边长为，正方形B的边长为，即可得到阴影部分的面积．
【解答】
解：正方形A的面积为3，正方形B的面积为24，
正方形A的边长为，正方形B的边长为，
则阴影部分面积为：
，
故答案为．
20.【答案】2

【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根和偶次幂非负数的性质，完全平方公式，关键是掌握算术平方根和偶次幂具有非负性．
关键是先根据平方公式把多项式分解因式得，再根据非负数的性质可得，，求出a、b的值即可解答．
【解答】
解：
，
，，
解得：，，
．
故答案为2．
21.【答案】解：，
，
，
是正数，
，
．

【解析】求出x的值，再代入求出即可．
本题考查了解一元二次方程和算术平方根的应用，主要考查学生的计算能力．
22.【答案】解：，
，
，，
解得，，
当a是直角边时，斜边，
当a是斜边时，第三边长．
故第三边的长为或3．

【解析】本题考查的是非负数的性质、勾股定理，根据非负数的性质分别求出a、b的值，然后分a是直角边、a是斜边两种情况分类讨论，最后根据勾股定理计算即可．
23.【答案】都成立；
规律：，且n为整数；
．

【解析】解：，
，
，
，
故成立；
规律：，且n为整数；
，
．
根据算术平方根的定义分别计算即可得解；
根据算术平方根的定义解答．
本题考查了算术平方根，熟记概念并准确计算是解题的关键．
24.【答案】解：显然，
，
，
．

【解析】本题考查了求代数式的值，先由，变形得到，然后将变形得到，进而求得答案．

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