人教B版 必修1 高一数学 第三章 3.2.3指数函数与对数函数的关系 教学课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
内容回顾
指数函数的图像
观 察



2
1
-1
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4
0
y
x
3







对数函数的图像
新课导入
1


y=2x













x










y
O


y=log2x

若将两个图像结合在一起
它们有什么特点呢？
3.2.3 指数函数与对数函数的关系




1
0
x
y



　 1．能通过描点、列表比较得指数函数与对出函数的关系；
2. 掌握反函数的概念；
3. 掌握反函数的一些性质。
4. 指数函数与对数函数的关系。
知识与能力
教学目标
1. 通过描点法画出指数函数与对数函数的图像　
2．培养能够通过画出函数图像，探索函数性质的能力。
过程与方法
　　1．经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心。
　 2. 通过指数函数与对数函数来由浅入深的叙述原函数与反函数的关系，并深层次的探讨反函数的一些性质。
3.利用反函数的性质，逆向推导原函数的性质。
情感态度与价值观
　　1．反函数的概念及性质。
2. 指数函数与对数函数的关系。
重点
教学重难点
　　反函数应用时应注意的问题。
难点
知识要点
动动手
用描点法在同一坐标系内做函数y=2x的图像和y=log2x的图像。
1.列表→2.描点→3.连线
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x ... 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …

x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y=log2x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 …
你能从中发现什么规律吗？
2.描点
3.连线








y = 2x









x



1
2
3
-1
-2
-3
y




















2
8
12
-12
-8
-2


它们有什么特点呢？
y =log 2x
观察指数函数y=2x的取值点列表和y=log2x的取值点列表，我们可以发现，y=log2x是把指数函数y=2x中的自变量与因变量对调位置而得出的。
观察指数函数y=2x与对数函数y=log2x的图像也可以发现两个函数的图像关于y=x对称。
观察

反函数定义：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。
这就是我们本节要研究的内容：反函数。

反函数
表达式：原函数为y=f(x),反函数为y=f-(x)。
特点：原函数的因变量为反函数的自变量，反函
数的因变量为原函数的自变量。
函数图像：关于y=x对称。
要求：原函数是一一对应函数。
为什么只能是一一对应呢？
我们以二次函数为例来说明这个问题。
二次函数的表达式为y=ax2（a>0）在整个定义域内函数不是单调的，且当x=1和x=-1时函数的值都为a。若此函数存在反函数的话，反函数内自变量为a时，就会存在两个因变量1和-1。这就违背了函数的性质：一个自变量不能存在两个因变量。
如图所示，二次函数（绿色）的抛物线关于y=x对称的抛物线（蓝色）上一个自变量对应着两个因变量。








虽然二次函数在整个定义域内不是单调函数，但是我们可以通过限定区间使函数在区间内单调，这就函数就存在反函数。






二次函数的左支
存在反函数
二次函数的右支
存在反函数
从反函数的概念可以知道：如果函数y=f（x）存在反函数y=f-（x），那么函数y=f-（x）的反函数就是y=f（x）。这就是说函数y=f（x）与函数y=f-（x）互为反函数。
原函数的自变量与反函数的因变量相同，反函数的因变量是原函数的自变量。从整个定义区间来讲。原函数的定义域与反函数的值域是相同的，反函数的定义域与原函数的值域是相同的。
根据反函数的定义可以判断出：指数函数与对数函数都是单调函数，因变量，对数函数的应变量又为指数函数的自变量；指数函数的自变量是对数函数指数函数的定义域是对数函数的值域，对数函数的定义域是指数函数的值域，充分满足反函数的定义。者可以说明：指数函数与对数函数互为反函数。
我们学过的函数还
有那些互为反函数呢？
想一想
对于指数函数y=3x，若指数函数在区间（-1，1）内取值，求其反函数的定义域和值域。
对于指数函数y=3x，若函数的定义域是（-1，1）那么通过计算指数函数的值域是（- ，3），则指数函数的反函数为对数函数，读数函数的定义域为 （- ，3），值域为（-1，1）。
例题
反函数的求法：


①根据原函数函数的定义域求出原函数的值域；
②将与函数的自变量与因变量对调，并整理求出反函数的表达式；
③根据原函数的值域和函数的表达式判断反函数中的正负号。
④整理反函数的表达式，并写出反函数的定义域。
二次函数的表达式为：y=x2+2x+4,定义域为（-1，3），求反函数的表达式。
经典例题
令f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3函数的对称轴为x=-1，在题目中所给出的定义域内函数是单调的。 当-1 调换xy的位置可以求出函数的反函数。
y=x2+2x+4=(x+1)2+3调换为
x=(y+1)2+3
原函数的值域是反函数的定义域。
x=(y+1)2+3 可以推导出：
当(3,19) 时，函数的值域为-1反函数的表达式为： 。
反函数的表达式为
定义域为3 通过对一次函数二次函数指数函数的图像的观察我们发现：原函数与反函数的单调性相同，这个结论是否正确呢？
讨论：
f(x) f-(x)互为反函数。假设f(x)在定义域内为增函数。在f(x)内定义域内存在两点x1、x2， 假设x1>x2,函数为增函数则有f(x1) >f(x2) 。

在f(x) 的反函数中f(x1) 与f(x2)是自变量而因变量则为 f-(f(x1) )=x1和f-(f(x2) )=x2 。
∵在原函数中有f(x1) >f(x2)
∴反函数的自变量存在 f(x1) >f(x2) 的关系，
∵在原函数中x1>x2，
∴在反函数中因变量也存在f-(f(x1) )> f-(f(x2) )的关系。因此反函数在定义域内也是增函数。
结论：
原函数与反函数的单调性相同。
上面我们已经研究了指数函数与对数函数的一些性质，下面我们来研究一下指数函数增长性的差异。
对于指数函数y=2x,当x从1增加到3时，△x=2， △y=23-21=7；
对于指数函数y=log2x,当x从1增加到3时，△x=2， △=log23-log21=1.585；
由此可见在区间［1，+∞）内指数函数随着x的增长变化较快。
对于指数函数y=log2x,当x从 增加到 时，△x= ， △y=21/2-21/4=21/4 ；
对于指数函数y=log2x,当x从 增加到 时，△x= ， △y=log21/2-log21/4=-2；
由此可见在区间（0，1）内对数函数随着x的增长变化较快。
1

a>1
y=2x













x










y
O


y=log2x

通过函数的图像我们也可以判断出来。
指数函数与对数函数的公共定义域为（0，+∞）。


在（0，1）内对数函数的增长快；在（1，+∞）内指数函数的增长快。






课堂小结
反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。指数函数与对数函数互为反函数。

反函数的性质：反函数关于直线y=x对称；原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数在单调区间内的单调性相同。
原函数与反函数增减性的规律：
原函数和反函数的单调性相同。
①根据原函数函数的定义域求出原函数的值域； ②将与函数的自变量与因变量对调，并整理求出反函数的表达式； ③根据原函数的值域和函数的表达式判断反函数中的正负号。④整理反函数的表达式，并写出反函数的定义域。
反函数的求法：
针对性练习
若
，则( )。
B．
C．
D．
A．
C
解析
对数函数3x在定义域内是增函数，其中x logy3,因此B不正确。 log4x在定义域内是增函数， x ,因此D不正确。

A.
B.
D.
C.
函数 （0＜x≤1）的反函数是（ ）。
D
的定义域为 ，通过计
算知道值域为 ，可以知道反函数的定义域为 ，这样可以排除AB选项，反函数的值域为 ,因此D选项正确。
解析


直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。用特殊点法,取原函数过点(-1,1) 则其反函数过(1,-1)。
函数 的反函数是（ ）。
B
随堂练习
1.设f（x）=ax+2，若f-1（-1）=2，则a=（ ）。
A.0; B.-3/2; C.3/2; D.-1.
2.下列函数中，有反函数的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
B
B
3.已知函数f(x)的反函数f-1(x)=
x∈（-∞，0］，则f（x）的定义域是（ ）。
A.［0,+∞); B.［ 2,+∞);
C.(-∞,-1］; D.［ ,+ ∞).
4.下列函数中,在函数y=3+ 的反函数的图像上的是( )。
A.(2,5); B.(1,3);
C.(5,2); D.(5,1).
D
D
5.已知函数f(x)=ax+b的图像经过点(1,7),其反函数的图像上经过点（4，0）则函数f(x)的解析式是__________。
6.若点（1，2）在函数 的图像上，又在它的反函数的图像上，则a、b的值分别为_________。
y=4x+3
a=-3,b=7