人教B版 必修4 高一数学 1.2.2单位圆与三角函数线 教学课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
知识回顾

三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
终边相同的角的同一三角函数的值相等.

假设α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P（x,y） ，那么
（1）y叫做α的正弦（sin α ）
记做sin α=y
（2） x叫做α的正弦（ cos α ）
记做cos α=x
（3） y/x叫做α的正弦（tanα ）
记做tanα=y/x（x≠0）
0


x
y



对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的 ，那么，我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法

导入新课
1.2.2 单位圆和三角函数线



x
y
o


α
知识与能力

教学目标
单位圆的概念.?

有向线段的概念.?

用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.?
过程与方法
理解并掌握单位圆、有向线段的概念.

正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.
情感态度与价值观

教学重难点
重点
正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值

难点
正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值
观缆车
观缆车在运动过程中座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间是怎样的关系呢？
思考
在观览车轮源面所在的平面内，以观览车轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设p点为转轮边缘上的一点，他表示座椅的位置，记∠xop为α，则由正弦函数的定义可知
MP=sin α




































α
o
M
P
x
y


1.单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为
A(1，0)，A′ (－1，0).
而与y轴的交点分别为
B(0，1)，B′ (0，－1).
2. 有向线段的概念：
带有方向的线段叫有向线段 ，有向线段的数值
由其长度大小和方向来决定。
如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3





α
P（cos α ，sin α ）
A（1，0）
M
B （0、1）
A ′ （-1、0）
B′ （ 0、-1 ）


x
y
N
o
图一
设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（如图一所示），过点P做PM垂直x轴与M,与作PN垂直y轴于点N，则点M,N分别是点P在x轴、y轴上的正射影（简称射影）。由三角函数的定义可知，点P的坐标为（cos α 、sin α ），即
P （cos α 、sin α ）
其中cos α =OM、sin α =ON.
角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
结论：





α
P（cos α ，sin α ）
A（1，0）
M
B （0、1）
A ′ （-1、0）
B′ （ 0、-1 ）


x
y
N
o
下面我们再从图形角度认识一下三角函数。如图所示，角α的终边与单位圆交于点p，过p作x轴的垂线，垂足为M，根据三角函数定义，我们有：
x



y
o
α


p

M
T（1，tan α ）





α
A（1，0）
M


x
y
N



o


T
图二
如图所示，以A 为原点建立y′轴与y轴同向，y ′与α的终边相交于点T，则tan α=AT。我们把轴上的向量OM、ON和AT分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线。
当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都成了一点，他们的数量为零，而余弦线OM=1或-1.
当角α的终边在y轴上时，正弦线MP=1或-1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。
我们把轴上的向量
分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
分别做出2π/3和-3π/4的正弦线、余弦线和正切线。
例1
解：在执教坐标系中作单位圆如图所示，一ox轴正方向为始边作2π/3的终边与单位圆交于P点，作PM⊥OX轴，垂足为M,由单位圆与ox正方向的交点S作ox轴的垂线与OP的反延长线交于T点，则
sin 2π/3=MP
COS 2π/3=OM
tan 2π/3=AT




A
M
x
y
M′


o


T
T
P′
P


即2π/3的正弦线为MP 、余弦线为OM 、正切线AT。
同理可以作出-3π/4的正弦线、余弦线和正切线。
sin -3π/4 =M′P′
COS -3π/4 =OM ′
tan -3π/4 =AT ′
即-3π/4的正弦线为M′P′
余弦线为 OM ′
正切线为 AT ′










A
M
x
y
M′


o


T
T
P′
P


例2.比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3.
解：由三角函数线得
sin1cos1>cos1.5
tan2例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0?解：由在y轴上找到y=0.5的点，做x轴的平行线，交单位圆于点P和P’两点，由三角函数线知
x1=30?, x2=150?.
角α=x，且0思考与讨论
1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。

课堂小结
2. 三角函数线的位置 ：
正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；
正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段
余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；





α
P（cos α ，sin α ）
A（1，0）
M
B （0、1）
A ′ （-1、0）
B′ （ 0、-1 ）


x
y
N
o
3. 特殊情况：
① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。
② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。
1. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|，
因为三角形两边之和大于第三边，所以
|sinα|+|cosα|≥1。

课堂练习
2. 已知α∈(0， )，试证明sinα<α证明：sinα=|ON|=|MP|,
α =
tanα=|AT|.
又
所以
即sinα<α3、根据下列三角函数值，求作角a的终边，然后求角的取值集合
???(1)sinα=1/2;???????(2)cosα=1/2
(3)tanα=－1????????(4)sinα＞1/2.
分析：(1)已知角α的正弦值，可知MP=1/2，则P点的纵坐标为1/2.所以在y轴上取点(0，1/2)，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角a的取值集合为｛α｜α=2kπ+π/6,或α=2kπ+π/6 π,k∈Z｝
(1)
(2)
（2）因为OM=1/2，则在x轴上取点(1/2，0)，过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1，P2两点，OP1，OP2是所求角χ的终边，α的取值集合为｛α｜α=2kπ±π/3,k∈Z｝.
(3)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT=-1连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值集合是｛α｜α=2kπ+3π/4,或α=2kπ+7/4π,k∈Z｝=｛α｜α=kπ±3/4π，k∈Z｝
（3）
（4）
（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合条件的角的范围.如图4，作出正弦值等于1/2的角χ的终边，正弦值大于1/2的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上，所以所求角的范围如图7中的阴影部分，α的取值集合是｛χ｜2kπ+π/6＜χ＜2kπ+5/6π,k∈Z}