人教B版高中数学 必修4 第二章 2.1.4数乘向量 同步教学课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
如何求作两个非零向量的和向量、差向量？









新课导入
问题提出
　　相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.

２.1.4 数乘向量





O
A
B
C


P
Q

M

N
　　掌握实数与向量的积的定义及其几何意义；理解实数与向量的积的运算律，并能运用运算律进行化简；理解向量共线的条件，并能判断三点共线．

教学目标
过程与方法
培养学生的转化思想.
知识与能力
情感态度与价值观
注重培养学生积极思考、勇于探索的科学精神以及总结规律、尊重规律的观念.
教学重点：
教学难点：
向量共线的条件.
向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件.

教学重难点
思考：已知非零向量 ，作出 和 ，你能说明它们的几何意义吗？





O
A
B
C


P
Q

M

N
实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.
向量的数乘的定义：
记作：
当 　　 时，　　的方向与 的方向相反；
特别地，当 　 时，
（2）当 　时， 的方向与　 的方向相同；
它的长度和方向规定如下：
数乘向量的运算律：
结合律
第一分配律
第二分配律













一般地:
=















一般地：









一般地:
特别地，我们有
例1．计算：
（1）
（2）
（3）
解：
　　向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ，使 　　 ．
定理
综上，如果 与 共线，那么有且只有一个实数 使
证明：（1）对于向量 ，如果有一个实数 使 那么，由向量数乘的定义知， 与 共线.
（2）已知 与 共线， ，且向量 的长度是向量 的 倍，即 ，那么当 同向时，有 ；当 反向时，有
例2：如图：已知 ， ，试判断
与 是否共线．






A
B
D
E
C
∴ 与 共线．
解：
例3：如图，已知任意两个向量 ，试作
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？













A
B
C



O
例４：如图， 的两条对角线相交于点M，且 ，你能用 、 来表示 .

A
B
D


C


M






B
A
D
M

C







B
A
D
M

C


1、实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.
2、若　　　　，则可能有λ=0，也可能有　　
　　　　.

课堂小结
3、向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.

针对练习
1、对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是（ ）
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
B
解析:
时也有a·b=0,故A不正确；
由a2=b2,只能得到 ，所以C不正确;
由a·b=a·c得不到b=c,如a为零向量或a与b、c垂直时，故选B。
2、已知向量a与向量b的夹角为120°，且 ，那么a·b的值为_________。
-8
解析:
3、在平行四边形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0),B(1,1),则 __________
1
解析:
∴
由题意知A（1,0），C(0,1),
１、若 则化简
２、已知 是不共线向量,
则 与 共线的充要条件是实数

课堂练习
3、给出下列命题：
(1)
存在唯一的实数λ ，使
(2)
存在不全为零的实数 使
(3)
若存在实数 使
(3)
不存在实数 使
其中是真命题的是　　　　　　（　　　　）

B
A、①和 B、②和③ C、①和② D、③和④
4、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有 BN= BD，求证：M、N、C三点共线.
提示：设AB = a BC = b


则MN= … = a + b



MC= … = a+ b



证明：
设
由已知得
∴
而
∴
M、N、C三点共线.
∴
5、设　　　是两个不共线的向量，
，若A,B,C三点共线，求k的值.
解：
若A，B，D三点共线，则
共线，
，即
由于
可得：
故