课件45张PPT。第三章概率古代有个王国世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚在临刑前都要抽一次“生死签”．如果抽到“死”字的签则立即处刑；如果抽到“生”字的签则被认为这是神的旨意应予当场赦免．
一次国王决定处死一个“犯上”的大臣，把“生死签”的两张纸都写成“死”字，由于走漏了消息，执法官宣布抽签的办法后，囚臣抽出一张签纸塞进嘴里，等到执法官反应过来，嚼烂的纸早已吞下，执法官赶忙追问：“你抽到‘死’字签还是‘生’字签？”囚臣说：“看剩下的签是什么字就清楚了．”囚臣巧妙地利用了概率的知识救了自己一命．我们要认真学习概率，正确地利用概率可以很好地服务于我们.§1 随机事件的概率自主预习学案
1．频率与概率
(1)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在___________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有_________.这时这个常数叫作___________________，记作___________.
(2)频率反映了一个事件出现的___________，但频率是_________，而概率是___________的值，因此，人们用概率反映_____________________________.
(3)在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此我们常常通过做大量的___________，用随机事件发生的_______作为它的概率的估计值．某个常数 稳定性 随机事件A的概率 P(A) 频繁程度 随机的 一个确定 随机事件发生的可能性的大小 重复试验 频率 2．生活中的概率
概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的_______与_______.
[特别提示]
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生. 判断 决策 1．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴
[解析] “下雪不冷化雪冷”是必然事件，A、C、D选项中的事件均为随机事件．B
2．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
[解析] 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．C3．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品 B．至少有一个是次品
C．3个都是次品 D．至少有一个是正品
[解析] A、B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．
4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了_________次试验．
[解析] 随机事件A发生的频率为0.02，若事件A出现10次，则可能进行试验的次数为10÷0.02＝500.D500 5．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请回答问题.
(1)完成上面表格；
(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？
[解析] (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9，0.857，0.892,0.910,0.913,0.893, 0.905.
(2)该油菜籽发芽的概率约为0.9.互动探究学案命题方向1 ?事件类型的判断 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件：
①如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
③没有空气，种子发芽；
④某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；
⑥同性电荷，相互排斥．[解析] 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知．
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件．
(2)从10张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件．
(4)电话在60秒内接到至少15次传唤，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件．
(5)在标准大气压下，水的温度达到100℃时，开始沸腾，水温达到50℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件．
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件．『规律总结』 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．〔跟踪练习1〕
指出下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称；
(2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
(3)函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数；
(4)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a、b同号．
[解析] 必然事件有(1)；随机事件有(2)，(3)，(4)．对于(4)，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a、b同号，即ab＞0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.命题方向2 ?频率与概率的联系与区别①③ 下列关于概率和频率的叙述正确的有_______.(把符合条件的所有答案序号填在横线上)
①随机事件的概率具有稳定性，是一个具体的数值，而频率不是一个固定的数值；
②随机事件的频率是一个在区间(0,1)上的随机数字，没有任何规律；
③概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．
[解析] 本题考查概率和频率之间的联系与区别，随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它虽然不是一个固定的数值，会在某一个常数附近摆动，但是随着试验次数的增加，这种摆动幅度越来越小，也即逐渐接近概率．『规律总结』 频率与概率的区别与联系：
区别：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映了随机事件发生的可能性的大小．
联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
〔跟踪练习2〕
某人将一枚硬币连续抛掷了10次，事件“正面朝上”出现了6次，则事件“正面朝上”的( )
A．概率为0.6 B．频率为0.6
C．频率为6 D．概率接近0.6
[解析] 由频率的计算公式知选B．B命题方向3 ?用频率估算概率 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
[思路分析] (1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，然后利用频率估计概率；
(2)计算出样本中分数在[40,50)内的人数，然后按比例求出总体中分数在此范围内的人数；
(3)先求出样本中男女生人数，然后利用样本比例估计总体比例．『规律总结』 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率．〔跟踪练习3〕 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[错解] (1)是指抽出100个灯泡，能亮1 000小时以上的灯泡有85个；(2)是指明天一定下雨；(3)是指参加45场比赛，其中有22场获胜．
[辨析] 没有正确理解概率的概念，混淆概率和频率．『规律总结』 概率可以看作频率在理论上的期望值，而随机事件的频率可以看作是其概率的随机表现，随机事件的概率是固有的，客观存在的，可以在相同条件下通过大量重复试验予以识别和检验，而不能以一次或少数次的试验结果作判断．概率在实际生活中的应用 如图所示，盒中装有3个大小和质地完全相同的球，分别标有A，B，C，从盒中随意摸出一球，并自由转动转盘(转盘被分成3个全等的扇形)，小刚和小明用它们做游戏，并约定：如果摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获胜；如果不同，则小刚获胜．
(1)你认为这个游戏公平吗？为什么？
(2)如果他们约定只用转盘转动两次做这个游戏(即如果两次指针对准的字母相同则小明获胜；如果不同，则小刚获胜)，你认为这样公平吗？
(3)请在此题基础上，设计一个对双方公平的游戏．
[思路分析] 游戏是否公平，关键要看每次试验两人获胜的机会是否相等．相等，则公平；不相等，则不公平．『规律总结』 (1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的．也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
(2)要使不公平的游戏变成公平的游戏，可有两种方法：一是修改游戏规则，使每次游戏两人获胜的机会均等；二是修改游戏工具，即选择或设计使每次游戏两人获胜的机会均等的工具．1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①③是随机事件；②④是不可能事件．B
2．下面的事件：①在标准大气压下，水加热90 ℃时会沸腾；②从标有1,2,3的小球中任取一球，得2号球；③a>1，则y＝ax是增函数．是必然事件的有( )
A．③ B．①
C．①③ D．②③
[解析] ①为不可能事件，②为随机事件，③为必然事件．A3．下列说法中，正确的是( )
A．随机事件没有结果
B．随机事件的频率与概率一定不相等
C．在条件不变的情况下，随机事件的概率不变
D．在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的
[解析] A选项错误．虽然随机事件的结果事先不确定，但不等于没有结果；B选项错误，随机事件的频率与概率有时会相等；D选项错误，试验已结束，频率便可算出，不会再变化．C4．从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的概率约为___________.0.25 5．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：
(1)90分以上；
(2)60分～69分；
(3)60分以上．
用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)得“90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067.
(2)得“60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140.
(3)得“60分以上”记为事件C，则
P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.第三章 §1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根；③下周日会下雨；④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次．
其中随机事件的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义作出判断．由定义可知，①是必然事件；②是不可能事件；③④是随机事件，故应选B．
2．某班级共有56人，在第一次模拟测试中，有8人没有通过必须参加补考，若用A表示参加补考这一事件，则事件A的( B )
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．以上都不正确
[解析] 由频数及频率的定义知，事件A的频率为＝，只有经过多次重复试验才能求出其概率，只有一次试验是不能求其概率的．
3．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( A )
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②作7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 概率只是说的可能性的大小，故①不正确，②中的是频率而不是概率，③频率不等同于概率．
4．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( C )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
[解析] 因为从1～10中任取3个数字，其和大于或等于6，所以“三个数字的和大于6”可能发生也可能不发生，故是随机事件．
5．给出下列四个命题：
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件；
②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；
③若loga(x－1)>0，则x>1是必然事件；
④对顶角不相等是不可能事件．
其中正确命题的个数是( D )
A．4 B．1
C．2 D．3
[解析] ∵|x|≥0恒成立，∴①正确；
奇函数y＝f(x)只有在x＝0有意义时才有f(0)＝0，
∴②正确；
由loga(x－1)>0知，当a>1时，x－1>1即x>2；
当0
∴③错误，应是随机事件；
对顶角相等是必然事件，∴④正确．
6下.图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同，四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；
乙：只要指针连续转六次， 一定会有一次停在6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．
其中，你认为正确的见解有( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 丙正确．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率均为.
二、填空题
7．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97，据此下列说法正确的是_(1)(4)__.
(1)任取一个标准班，A发生的可能性是97%；
(2)任取一个标准班，A发生的概率大概是0.97；
(3)任意取定10 000个标准班，其中有9 700个班A发生；
(4)随着抽取的班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定到0.97，且在它附近摆动．
[解析] 由概率的定义可知(1)、(4)正确．
8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：
投篮次数
8
10
15
20
30
40
50
进球次数
6
8
12
17
25
32
38
据此估计这位运动员投篮一次，进球的概率为_0.8__.
[解析] 由表中数据可知，随着投篮次数的增加，进球的频率稳定在0.8附近，所以估计这位运动员投篮一次，进球的概率是0.8.
三、解答题
9．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[解析] 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝①，
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝②，
由①②两式，得＝，解得n＝1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A、B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．
2．下列事件中，必然事件是( D )
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
[解析] 一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D．
3．一个口袋中有12个红球，x个白球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为，则x等于( B )
A．8 B．7
C．6 D．5
[解析] 由概率的意义知，每次取到红球的概率都等于，∴＝，∴x＝7.
4．下列说法正确的是( D )
A．由生物学知道生男生女的概率均约为，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张奖券，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是
[解析] 抽奖无先后，每人抽到的概率相等．
二、填空题
5．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70)2个，并且样本在[30,40)之内的频率为0.2，则x等于_4__；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的概率约为_0.7__.
[解析] ∵样本总数为20个，∴x＝20－16＝4；
所求概率约为P＝＝0.7.
6．学校篮球队的五名队员三分球的命中率如下表：
队员
李扬
易建
王志
曹丹
姚月
命中率
0.7
0.8
0.9
0.9
0.6
在与兄弟学校的一场对抗赛中，假如每名队员都有10次投篮(三分球)机会，则一共可得_117__分．
[解析] (10×0.7＋10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＋10×0.6)×3＝(7＋8＋9＋9＋6)×3＝39×3＝117(分)．
三、解答题
7．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下表所示：
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
(1)计算表中每次抽样检测的优等品的频率；
(2)该厂生产的电视机优等品的概率约为多少？
[解析] (1)结合频率公式fn(A)＝及题意可计算出优等品的频率依次为0.8,0.92,0.96,0.95，0.956，0.954；
(2)由(1)知，计算出的优等品的频率虽然各不相同，但却都在常数0.95附近摆动，且随着抽取台数的增加，摆动的幅度越来越小，因此，该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.
8．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
(1)计算表中进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
[解析] 由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为＝，＝，＝，，，＝.
(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员进球的概率为.
9．检查某工厂生产的灯泡，其结果如下：
抽出产品数n
次品数m
次品频率
5
0
10
3
60
7
150
19
600
52
900
100
1 200
125
1 800
178
2 400
248
(1)计算次品频率；
(2)利用所学知识对表中数据作简要的数学分析．
[解析] (1)根据频率计算公式，计算出次品出现的频率，如下表：
抽出产品数n
次品数m
次品频率
5
0
0
10
3
0.3
60
7
0.117
150
19
0.127
600
52
0.087
900
100
0.111
1 200
125
0.104
1 800
178
0.099
2 400
248
0.103
(2)从上表中的数字可看出，抽到次品数的多少具有偶然性，但随着抽样的大量进行，抽取的件数逐渐增多，则可发现次品率稳定在0.1附近．由此可估计该厂产品的次品率约为0.1.
