课件41张PPT。第三章概率§2 古典概型2.3 互斥事件自主预习学案“鱼与熊掌不可兼得”新解：解说一：鱼和熊掌同时放在锅里炖，鱼先熟熊掌后熟，如果要鱼那熊掌就不能吃，如果要熊掌那鱼就过火了，故“二者不可兼得”．解说二：熊要吃鱼，要保护鱼就要饿死熊，保护熊就要吃掉鱼，故“二者不可兼得”．在生活中我们常常会遇到这样的两个事情，它们不能同时发生，你是取“鱼”，还是取“熊掌”？1．互斥事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下_______________的两个事件A与B称作互斥事件．
2．事件A与B的和
给定事件A，B，我们规定事件A＋B是一个事件，事件A＋B发生是指___________________________.对于三个或三个以上事件，结论同样成立．不能同时发生 事件A和B至少有一个发生 P(A)＋P(B) 同时发生 必有一个发生 [特别提示]
互斥事件与对立事件的异同
不同点是：
1．由定义，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件；
2．对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是两个事件，也可以推广到n(n∈N＋)个事件；
3．在一次试验中，互斥的两个事件可能都不发生，但是对立的两个事件必然有一个发生．相同点是：这两种类型的事件都不可能同时发生．
利用集合的观点来判断
设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别是A、B，①若事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②若事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B． 1．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
[解析] “至少有一次中靶”即为“一次中靶或两次中靶”，据互斥事件是不能同时发生的这一定义知，应选C．C
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
[解析] 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品．B
3．(2018·全国卷Ⅲ文，5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析] 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B．B
4．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有_____对．
[解析] 由于事件E1：“脱靶”；E2：“中靶”；E3：“中靶环数大于4”；E4：“中靶环数不小于5”；则在上述事件中，互斥而不对立的事件分别为E1与E3；E1与E4，共2对．2 5．某公务员去外地开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，求：
(1)他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
[解析] 设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去为事件C，乘飞机去为事件D，它们彼此互斥，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4.
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设不乘轮船去开会为事件E，则P(E)＝P(A∪C∪D)＝P(A)＋P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＋0.4＝0.8，
另解：E与B是对立事件，则P(E)＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.互动探究学案命题方向1 ?互斥事件与对立事件的判断 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解析] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时“至少有1名男生”与“至少1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．『规律总结』 1.判断事件是否互斥的两步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
2．判断事件对立的两步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．〔跟踪练习1〕 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
[解析] (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．命题方向2 ?互斥事件的概率计算[思路分析] 由题意知从袋中取球得到黑球、黄球和绿球的事件是互斥事件，因此摸到两种或两种以上球的概率可以用互斥事件的概率加法公式，本题中是已知的概率，求各自的概率，我们只需建立方程，便可求出．『规律总结』 (1)公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A＋B”的意义．〔跟踪练习2〕 据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下所示：
求：(1)等候人数不超过1的概率；
(2)等候人数大于等于4的概率．
[解析] 设A、B、C、D，分别表示等候人数为0、1、4，大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥．
(1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0.05＋0.14＝0.19，即等候人数不超过1的概率为0.19.
(2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D．故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0.10＋0.06＝0.16，即等候人数大于等于4的概率为0.16.命题方向3 ?对立事件概率公式的应用 在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明的数学考试中取很80分及以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．
[思路分析] 小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件“80～89分”与“90分及以上”的并事件，小明考试及格可看作是“60—69分”“70～79分”“80～89分”与“90分及以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是事件“不及格”的对立事件．[解析] 分别记小明的成绩“在90分及以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分及以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)解法一：小明考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
解法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是P(A)＝1－0.07＝0.93.『规律总结』 1.求复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的并；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
如果事件不互斥，上述公式就不能使用！〔跟踪练习3〕 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3,0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
[解析] 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.忽视互斥事件的概率加法公式的前提条件 [辨析] 错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．概率基本性质在实际生活中的应用 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
(1)P(A)、P(B)、P( C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[思路分析] (1)由概率公式求解；(2)根据互斥事件的性质和概率公式求解；(3)利用对立事件的性质和概率公式求解．1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
[解析] 对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．BA 3．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是( )
A．不可能事件 B．必然事件
C．对立事件 D．互斥但不对立事件
[解析] 把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”不可能同时发生，但事件A：“甲得红卡”不发生时，事件B：“乙得红卡”有可能发生，有可能不发生；所以事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是互斥但不对立事件．D5．国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如：龙井、碧螺春)和发酵茶(如：茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类， 现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取一盒，根据以上材料，判断下列两个事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“取出龙井”和“取出铁观音”；
(2)“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”；
(3)“取出发酵茶”和“取出普洱茶”；
(4)“取出不发酵茶”和“取出乌龙茶”．[解析] (1)事件“取出龙井”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件．
(2)事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，所以既是互斥事件又是对立事件．
(3)事件“取出发酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事件，因为“取出普洱茶”时，事件“取出发酵茶”也发生了．
(4)事件“取出不发酵茶”和事件“取出乌龙茶”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件．第三章 §2 2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述各对事件中，是对立事件的是( C )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[解析] 两数可能“全为偶数”“一偶数一奇数”或“全是奇数”，共三种情况，利用对立事件的定义可知③正确．
2．如果事件A与B是互斥事件，则( D )
A．A＋B是必然事件 B．与一定互斥
C．与一定不互斥 D．＋是必然事件
[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，“上面出现点数1”与“上面出现点数2”分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A＋B不是必然事件，与也不互斥，∴A、B选项错误，＋是必然事件，还可举例验证C不正确．
3．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85]的概率是( B )
A．0.62 B．0.38
C．0.02 D．0.68
[解析] P＝1－0.3－0.32＝0.38.
4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( B )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
[解析] 设身高低于160 cm为事件M，身高在[160,175] cm为事件N，身高超过175 cm为事件Q，则事件M、N、Q两两互斥，且M＋N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175 cm的概率为P(Q)＝1－P(M＋N)＝1－P(M)－P(N)＝1－0.2－0.5＝0.3.
5．如果事件A与B是互斥事件且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率是( B )
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．0.2
[解析] 事件A与事件B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.又因为P(A)＝3P(B)，所以P(A)＝0.6，P(B)＝0.2.
6．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为；则电话在响前四声内被接的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 设“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A、B、C、D两两互斥，从而P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.
二、填空题
7．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是_0.9__.
[解析] P＝＋＋＝＝0.9.
8．掷一粒骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为 .
[解析] 表示“大于或等于5的点数出现”．
∵A与互斥，
∴P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
三、解答题
9．一个箱子内有9张票，其号数分别为1、2、…、9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？
[解析] 从9张票中任取2张，有
(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；
(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；
(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；
…
(7,8)，(7,9)；
(8,9)，共计36种取法．
记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．
∴P(C)＝＝，由对立事件的性质得
P(B)＝1－P(C)＝1－＝.
10．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率P(D)＝，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜．
[解析] 如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝>P(D)＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．
B级 素养提升
一、选择题
1．甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 基本事件总数有6×11＝66，而两球颜色相同包括两种情况：两白或两黑，其包含的基本事件有4×6＋2×5＝34(个)，故两球颜色相同的概率P＝＝.
2．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的是( D )
A．①② B．②③
C．③④ D．③
[解析] 从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有1只白球”包含“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”三种情况，故是对立事件．
二、填空题
3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是 .
[解析] 记“没有5点或6点”的事件为A，则P(A)＝，“至少有一个5点或6点”的事件为B．由已知A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
4．一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”．写出一个事件A、B、C的概率P(A)、P(B)、P(C)之间的正确关系式_P(A)＋P(B)＋P(C)＝1__.
[解析] 一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有(反，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(正，正，正)共8种，事件A＋B＋C刚好包含这8种情况，且它们两两互斥，故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
三、解答题
5．在某一时期，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位
低于10 m
10～12 m
12～14 m
14～16 m
不低于16 m
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流该处的年最高水位在下列范围内的概率．
(1)10～16 m；(2)低于12 m；(3)不低于14 m.
[解析] 分别设年最高水位低于10 m，在10～12 m，在12～14 m，在14～16 m，不低于16 m为事件A，B，C，D，E.因为这五个事件是彼此互斥的，所以
(1)年最高水位在10～16 m的概率是：
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)年最高水位低于12 m的概率是：
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)年最高水位不低于14 m的概率是：
P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
6．某射手射击一次，中靶的概率为0.95.记事件A为“射击一次中靶”，求：
(1)的概率是多少？
(2)若事件B(环数大于5)的概率是0.75，那么事件C(环数小于6)的概率是多少？事件D(环数大于0且小于6)的概率是多少？
[解析] (1)P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)由题意知，事件B即为“环数为6,7,8,9,10环”
而事件C为“环数为0,1,2,3,4,5环”，
事件D为“环数为1,2,3,4,5环”．
可见B与C是对立事件，而C＝D＋.
因此P(C)＝P()＝1－P(B)＝1－0.75＝0.25.
又P(C)＝P(D)＋P()，
所以P(D)＝P(C)－P()＝0.25－0.05＝0.20.
7．某学校的篮球队，羽毛球，乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
[解析] 分别令“抽取一名队员只属于篮球队，羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C．由图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D．则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，
∴P(E)＝1－P()＝1－＝.
