课件41张PPT。第三章概率§3 模拟方法——概率的应用自主预习学案向一个圆面内随机地投一粒黄豆，如果该粒黄豆落在圆内任意一点都是等可能的，那么这个试验是古典概型吗？因为试验的所有可能结果是圆面内的所有点，试验的所有结果是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个试验不是古典概型．本节课我们来研究此类试验的特征及其概率．1．模拟方法
虽然可以通过做大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但是，人工进行试验费时、费力，并且有时是不可能实现的．因此，我们常常借助___________来估计某些随机事件发生的概率，用___________可以在短时间内完成大量的重复试验．对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值．模拟方法在实际中有很多应用．模拟方法 模拟方法 2．几何概型
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的_______、_______无关，即P(点M落在G1内)＝______________，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的___________，相应的概率是___________或___________.形状 位置 有限区域 体积之比 长度之比 1．几何概型与古典概型的区别是( )
A．几何概型的基本事件是等可能的
B．几何概型的基本事件的个数是有限的
C．几何概型的基本事件的个数是无限的
D．几何概型的基本事件不是等可能的
[解析] 几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个．CA B 4．在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是____________.互动探究学案命题方向1 ?与长度有关的几何概型 如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10 m的概率是多少？[思路分析] 在A、B之间每一位置处安装路灯C，D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型的条件．
(3)几何概型的计算步骤：
①判断是否为几何概型；
②确定并计算基本事件空间；
③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量；
④代入公式计算．
(4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．C 命题方向2 ?与面积有关的几何概型问题 如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm，4 cm,2 cm.某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？[解析] 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D＝16×16＝256(cm2)，
设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则
事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36π(cm2)；
事件B所占区域面积为dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)；
事件C所占区域面积为dC＝D－dA＝(256－36π)(cm2)．
〔跟踪练习2〕 欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为6 cm的圆，中间有边长为3 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是______.命题方向3 ?与体积有关的几何概型的问题C 一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为( )
几何度量的选择错误 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M.求AM
甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
[思路分析] 1.已知甲、乙两人约定在6时到7时之间会面，先到者等候另一人一刻钟再离去，故存在两个随机变量，即两人到达的时刻是随机的，这是一个测度为面积的二维几何概型，要求的是两人能会面的概率．
2．设甲、乙两人到达的时刻分别为x，y，把x，y所满足的关系表示的区域找出来，再把所求事件表示的区域找出来，分别计算面积．『规律总结』 (1)本题的难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
(2)“面积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．B B 20 4．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是______、______、______.
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．5．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10 min的概率．第三章 §3
A级 基础巩固
一、选择题
1.如图，边长为2的正方形有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( B )
A． B．
C． D．无法计算
[解析] 由几何概型的公式知：＝，
又S正方形＝4，∴S阴影＝.
2．在[－1,2]上随机取一个实数，则取到的实数是负数的概率为( A )
A． B．
C． D．1
[解析] [－1,2]的区间长度为3，负数区间为[－1,0)，长度为1，∴所求概率P＝.
3.如图所示，ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( B )
A． B．1－
C． D．1－
[解析] 根据几何概型概率公式所得求概率为P＝＝＝1－.故选B．
4．(2019·河南开封十中高一月考)如图所示，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 正方形的面积为1×1＝1，阴影部分由半径为的半圆围成，其面积为×()2π＝，∴点P恰好取自阴影部分的概率P＝＝.
5．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间为事件A，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10 cm，则P(A)＝＝.
6．已知函数f(x)＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x，则使不等式f(x)>2成立的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f(x)>2可得x>1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f(x)>2成立的概率为.
二、填空题
7．在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为 .
[解析] 方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的充要条件是，即8．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为 .
[解析] 如图，点B可落在优弧上，其弧长为2，由几何概型知概率为.
三、解答题
9．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？
[解析] 如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P＝＝.
10．用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概率．
[解析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A，球心为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM≥1 cm.
设R＝3，r＝1，则
n＝R3，m＝R3－r3.
∴P(A)＝＝1－()3＝1－＝.
故砂粒距离球心不小于1 cm的概率为.
B级 素养提升
一、选择题
1．在区间[－1,1]上随机地任取两个数x、y，则满足x2＋y2<的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由于在区间[－1,1]上任取两数x，y有无限种不同的结果，且每种结果出现的概率是均等的，因此，本题为几何概型．
由条件知－1≤x≤1，－1≤y≤1，∴点(x，y)落在边长为2的正方形内部及边界上，即Ω＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，∴μΩ＝4.记事件A＝“x2＋y2<”，则μA＝，∴P(A)＝＝，故选A．
2．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由－1≤log(x＋)≤1得，log2≤log(x＋)≤log，≤x＋≤2,0≤x≤，所以，由几何概型概率的计算公式得，P＝＝，故选A．
二、填空题
3．在直角坐标系xOy中，设集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则满足x＋y≤1的概率等于 .
[解析] 集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面区域是边长为1的正方形及其内部的点，如图所示，其面积为1，点P所表示的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为，则满足x＋y≤1的概率为P＝.
4．在区间[－4,8]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝_6__.
[解析] ∵|x|≤m，∴－m≤x≤m
当m≤4时，＝，
得m＝5矛盾舍去，当4＜m＜8时，
由几何概型知，＝，解得m＝6.
三、解答题
5．(1)向面积为6的△ABC内任投一点P，求△PBC的面积小于2的概率；
(2)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，求△PBC的面积大于的概率．
[解析] (1)取△ABC边BC上的高AE的三等分点M，过点M作BC的平行线，当点P落在图中阴影部分时，△PBC的面积小于2，故概率为＝.
(2)据题意基本事件空间可用线段AB的长度来度量，事件“△PBC的面积大于”可用距离A长为AB的线段的长度来度量，故其概率为＝.
6．如图所示，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为·S，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，求落入M中的点的数目．
[解析] 记“点落入M中”为事件A，则有P(A)＝＝，所以向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，落入M中的点的数目为：
10 000×＝25 00.
也可由S′＝·S直接代入，即S′＝1，S＝4，n＝10 000，
所以m＝＝＝2 500.
答：落入M中的点的数目为2 500.
7．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a、b是一枚骰子掷两次所得的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．
[解析] (1)由题意知，本题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件．依题意知，基本事件(a，b)的总数共有36个，一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0有两正根，等价于，
即.
设“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，因此，所求的概率为P(A)＝＝.
(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，因此，所求的概率为P(B)＝＝.
