专题02 平行线的性质
知识网络
重难突破
知识点一 平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言表述：（如图）
（两直线平行，同位角相等）
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
简单说成：两直线平行，内错角相等．
几何语言表述：（如图）
（两直线平行，内错角相等）
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
几何语言表述：（如图）
（两直线平行，同旁内角互补）
注意：
①任意两条直线被第三条直线所截，构成的同位角、内错角不一定相等，构成的同旁内角也不一定互补；
②特别注意前提条件“两直线平行”，只有两直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
典例1
（2018春?建邺区期末）如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，若，则 ．
典例2
（2019春?鼓楼区期中）如图，一个人从点出发沿北偏东方向走到点，若这个人再从点沿南偏东方向走到点则等于
A． B． C． D．
典例3
（2019春?秦淮区期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，是折痕，若，则的度数为 ．
典例4
（2019春?秦淮区期中）如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．
知识点二 平行线的判定与性质综合
两直线平行的条件与性质经常结合在一起考查，它们虽然与同位角、内错角和同旁内角都有关系，但是已知和结论不同：
两直线平行的条件是由角的数量关系确定直线的位置关系；
两直线平行的性质是由直线的位置关系确定角的数量关系。
两直线平行的条件
平行线的性质
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
典例1
（2018春?南京市联合体期中）如图，直线，被直线，所截，若，，，则度数是
A． B． C． D．
典例2
（2019春?南京期中）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，，．
求证：
证明：（已知），
（对顶角相等）
，
，
（已知），
（等式性质），
．
典例3
（2019春?南京期末）如图，在中，，，试判断与的位置关系，并说明理由．
知识点三 平行线基本模型
猪蹄模型：又称凹形模型
如图，，
结论：左侧角度数和等于右侧角度数和．
铅笔模型：又称凸形模型，
如图，，
结论：当两条平行线间凸出n个角时，图中所有角的度数和为．
模型变形：
已知，如图，当点处于以下位置时，与，的关系是：
典例1
（2019春?淮安区期中）如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
典例2
（2019春?邗江区期中）如图，两直线与平行，则 ．
典例3
（2019春?秦淮区期中）直线，点在两平行线之间，点、分别在、上，连接，．尝试探究并解答：
（1）若图1中，，则 ；
（2）探究图1中，与之间的数量关系，并说明理由；
（3）①如图2所示，与的平分线交于点，若，试求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3所示，在图2的基础上，若与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，且，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
知识点四 图形的平移
1、平移的概念
（1）在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移，平移不改变图形的形状、大小．
（2）平移过程中，对应点间的距离是平移的距离．
2、平移的基本性质
平移具有以下特征：
（1）由平移得到的图形与原图形的形状和大小完全相同，两个图形能够完全重合；
（2）平移后的图形与原图形的对应线段平行（或在同一条直线上）并且相等，对应角相等；
（3）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
注意：
（1）平移前后的图形或物体的形状、大小都不发生改变；
（2）平移的方向不一定是水平方向，可以是任何方向。
3、平移作图
平移作图是作一个图形讲过平移后得到的新图形，依据就是平移的特征，作图时，首先要明确原图形的位置及平移的方向和距离，再按以下方法画图：
（1）找出能够确定原图形的关键点如顶点；
（2）将原图形中的确定点与其移动位置后的对应点连接起来，得到一条代表平移方向和距离的确定线段；
（3）过其他关键点分别作线段（一般用虚线），使得它们与确定线段平行（或在同一条直线上）且相等，再连接这些关键点的对应点（一般用实线），所得的图形就是原图形平移后的图形。
注意：利用平移来设计图案，可考虑通过两次或多次平移来完成。
典例1
（2019春?秦淮区期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着到点的方向平移到的位置，，，平移距离是6，则图中阴影部分的面积为 ．
典例2
（2019春?鼓楼区期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将经平移后得到△，点的对应点是点．画出平移后所得的△；
（2）连接、，则四边形的面积为 ．
典例3
（2019春?南京期中）如图，已知直线，，平分交直线于点，线段在线段的左侧，线段沿射线的方向平移，在平移的过程中所在的直线与所在的直线交于点．问的度数与的度数又怎样的关系？
【特殊化】
（1）当，交点在直线、直线之间，求的度数；
（2）当，求的度数；
【一般化】
（3）当，求的度数（直接用含的代数式表示）．
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2019春?新吴区期中）下列现象是数学中的平移的是
A．小朋友荡秋千
B．碟片在光驱中运行
C．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动
D．瓶装饮料在传送带上移动
2．（2019春?泰州市期中）如图，已知，下列结论错误的是
A． B． C． D．
3．（2019春?新吴区期中）如右图，，直线分别交、于、，，则的度数是
A． B． C． D．
4．（2019春?无锡市期中）如图所示，将含有角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2019春?相城区期中）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2019春?新吴区期中）如图，若，则、、之间的关系为
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题）
7．（2017?鼓楼区二模）如图，，直线平移后得到直线，则 ．
8．（2019春?镇江市期中）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为 ．
9．（2019春?鼓楼区期中）如图，直线分别交直线、于点、，，，垂足为，平分，，则 ．
10．（2019春?江阴市期中）如图①，点、分别为长方形纸带的边、上的点，将纸带沿折叠成图②为和的交点），再沿折叠成图③为和的交点），若图③中，则图①中 ．
三、解答题（共3小题）
11．（2019春?鼓楼区期中）填写下列空格
已知：如图，点在上，，，垂足分别为、，点、在上，
，．
求证：
证明：，，垂足分别为、（已知）
，（垂直的定义）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（已知）
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
12．（2019春?鼓楼区期中）如图，三角形的顶点，，都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形“（设点、、分别平移到、、
（1）请在图中画出平移后的三角形；
（2）若连接、，则这两条线段的位置关系是 ．数量关系是
（3）若与相交于点，则，与三个角之间的数量关系为
．
．
．
．
13．（2019春?玄武区期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求．
（2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．
专题02 平行线的性质
知识网络
重难突破
知识点一 平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言表述：（如图）
（两直线平行，同位角相等）
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
简单说成：两直线平行，内错角相等．
几何语言表述：（如图）
（两直线平行，内错角相等）
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
几何语言表述：（如图）
（两直线平行，同旁内角互补）
注意：
①任意两条直线被第三条直线所截，构成的同位角、内错角不一定相等，构成的同旁内角也不一定互补；
②特别注意前提条件“两直线平行”，只有两直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
典例1
（2018春?建邺区期末）如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，若，则 ．
【解答】解：已知直线，
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（已知直线），
．
故答案为：．
典例2
（2019春?鼓楼区期中）如图，一个人从点出发沿北偏东方向走到点，若这个人再从点沿南偏东方向走到点则等于
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知
故选：．
典例3
（2019春?秦淮区期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，是折痕，若，则的度数为 ．
【解答】解：是折痕，，，
，
，
，
．
故答案为：．
典例4
（2019春?秦淮区期中）如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．
【解答】解：，，
，
．
平分，
，
．
知识点二 平行线的判定与性质综合
两直线平行的条件与性质经常结合在一起考查，它们虽然与同位角、内错角和同旁内角都有关系，但是已知和结论不同：
两直线平行的条件是由角的数量关系确定直线的位置关系；
两直线平行的性质是由直线的位置关系确定角的数量关系。
两直线平行的条件
平行线的性质
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
典例1
（2018春?南京市联合体期中）如图，直线，被直线，所截，若，，，则度数是
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
．
，
．
故选：．
典例2
（2019春?南京期中）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，，．
求证：
证明：（已知），
（对顶角相等）
，
，
（已知），
（等式性质），
．
【解答】证明：
（已知），
（对顶角相等）
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等式性质），
，
故答案为：，同旁内角互补，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，．
典例3
（2019春?南京期末）如图，在中，，，试判断与的位置关系，并说明理由．
【解答】解：．
，，
，
，
，
又，
，
．
知识点三 平行线基本模型
猪蹄模型：又称凹形模型
如图，，
结论：左侧角度数和等于右侧角度数和．
铅笔模型：又称凸形模型，
如图，，
结论：当两条平行线间凸出n个角时，图中所有角的度数和为．
模型变形：
已知，如图，当点处于以下位置时，与，的关系是：
典例1
（2019春?淮安区期中）如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：延长交于，
，，
，
又是的外角，，
．
故选：．
典例2
（2019春?邗江区期中）如图，两直线与平行，则 ．
【解答】解：分别过点，点，点，点作，，，平行于
利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个的角，
．
故答案为：900．
典例3
（2019春?秦淮区期中）直线，点在两平行线之间，点、分别在、上，连接，．尝试探究并解答：
（1）若图1中，，则 ；
（2）探究图1中，与之间的数量关系，并说明理由；
（3）①如图2所示，与的平分线交于点，若，试求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3所示，在图2的基础上，若与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，且，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【解答】解：（1）．
故答案为．
（2）结论：．
理由：如图1中，作．
，，
，
，，
．
（3）①如图2中，
，
．
②如图3中，
由①可知：，，，，．
知识点四 图形的平移
1、平移的概念
（1）在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移，平移不改变图形的形状、大小．
（2）平移过程中，对应点间的距离是平移的距离．
2、平移的基本性质
平移具有以下特征：
（1）由平移得到的图形与原图形的形状和大小完全相同，两个图形能够完全重合；
（2）平移后的图形与原图形的对应线段平行（或在同一条直线上）并且相等，对应角相等；
（3）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
注意：
（1）平移前后的图形或物体的形状、大小都不发生改变；
（2）平移的方向不一定是水平方向，可以是任何方向。
3、平移作图
平移作图是作一个图形讲过平移后得到的新图形，依据就是平移的特征，作图时，首先要明确原图形的位置及平移的方向和距离，再按以下方法画图：
（1）找出能够确定原图形的关键点如顶点；
（2）将原图形中的确定点与其移动位置后的对应点连接起来，得到一条代表平移方向和距离的确定线段；
（3）过其他关键点分别作线段（一般用虚线），使得它们与确定线段平行（或在同一条直线上）且相等，再连接这些关键点的对应点（一般用实线），所得的图形就是原图形平移后的图形。
注意：利用平移来设计图案，可考虑通过两次或多次平移来完成。
典例1
（2019春?秦淮区期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着到点的方向平移到的位置，，，平移距离是6，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：，
故答案是：51．
典例2
（2019春?鼓楼区期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将经平移后得到△，点的对应点是点．画出平移后所得的△；
（2）连接、，则四边形的面积为 ．
【解答】解：（1）如图所示：△，即为所求；
（2）四边形的面积为：．
故答案为：6．
典例3
（2019春?南京期中）如图，已知直线，，平分交直线于点，线段在线段的左侧，线段沿射线的方向平移，在平移的过程中所在的直线与所在的直线交于点．问的度数与的度数又怎样的关系？
【特殊化】
（1）当，交点在直线、直线之间，求的度数；
（2）当，求的度数；
【一般化】
（3）当，求的度数（直接用含的代数式表示）．
【解答】解：（1）平分，
，
是的外角，
；
（2）①当交点在直线的下方时：
；
②当交点在直线，之间时：
；
③当交点在直线的上方时：
；
（3）①当交点在直线，之间时：；
②当交点在直线上方或直线下方时：；
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2019春?新吴区期中）下列现象是数学中的平移的是
A．小朋友荡秋千
B．碟片在光驱中运行
C．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动
D．瓶装饮料在传送带上移动
【解答】解：、小朋友荡秋千是旋转，故此选项错误；
、碟片在光驱中行是旋转，不是平移，故此选项错误；
、“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动是旋转，不是平移，故此选项错误；
、瓶装饮料在传送带上移动是平移，故此选项正确；
故选：．
2．（2019春?泰州市期中）如图，已知，下列结论错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：，
，，，
又不一定成立，
错误的是，
故选：．
3．（2019春?新吴区期中）如右图，，直线分别交、于、，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
4．（2019春?无锡市期中）如图所示，将含有角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长交于，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
5．（2019春?相城区期中）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
又平分，
，
于点，
，
故选：．
6．（2019春?新吴区期中）如图，若，则、、之间的关系为
A． B． C． D．
【解答】解：作．
，，
，
，，
，
故选：．
二、填空题（共4小题）
7．（2017?鼓楼区二模）如图，，直线平移后得到直线，则 ．
【解答】解：如图，
直线平移后得到直线，
，
，即，
，
，
．
故答案为220．
8．（2019春?镇江市期中）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为 ．
【解答】解：如图，
四边形是矩形
故答案为：
9．（2019春?鼓楼区期中）如图，直线分别交直线、于点、，，，垂足为，平分，，则 ．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
10．（2019春?江阴市期中）如图①，点、分别为长方形纸带的边、上的点，将纸带沿折叠成图②为和的交点），再沿折叠成图③为和的交点），若图③中，则图①中 ．
【解答】解：设，
在图2中，由翻折可知：，
在图3中，，，
，
，
故答案为18．
三、解答题（共3小题）
11．（2019春?鼓楼区期中）填写下列空格
已知：如图，点在上，，，垂足分别为、，点、在上，
，．
求证：
证明：，，垂足分别为、（已知）
，（垂直的定义）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（已知）
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
【解答】证明：，，垂足分别为、（已知）
，（垂直的定义）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
两直线平行，同位角相等）
（已知）
等量代换）
内错角相等，两直线平行）
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
平行于同一直线的两直线平行）
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
12．（2019春?鼓楼区期中）如图，三角形的顶点，，都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形“（设点、、分别平移到、、
（1）请在图中画出平移后的三角形；
（2）若连接、，则这两条线段的位置关系是 ．数量关系是
（3）若与相交于点，则，与三个角之间的数量关系为
．
．
．
．
【解答】解：（1）如图所示：△即为所求：
（2）根据平移的性质可得：，；
故答案为：；；
（3）由图可知：
故答案为：
13．（2019春?玄武区期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求．
（2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过作，
，
，
，，
；
（2）．
理由：如图2，过作，
，
，
，，
，
过作，
同理可得，，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）．
理由：如图3，过作，
，
，
，，
，
过作，
同理可得，，
与的角平分线相交于点，
，
．
