专题03 三角形
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重难突破
知识点一 三角形的有关概念及分类
1、三角形的有关概念
名称
内容
图形
三角形
由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形叫作三角形．
边
组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：，，或，，．
顶点
相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．
角
相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．
三角形的记法
三角形用符号“”来表示，顶点是，，的三角形记作，读作“三角形”．
2、三角形的分类
（1）按角分类
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．
（2）按边分类
注意：
①任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
典例1
（2019春?东台市校级月考）若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
典例2
（2019春?徐州期中）中，若，则的形状是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
知识点二 三角形的三边关系
（1）对于任意的，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设、为定点），由“两点之间，线段最短”可得：．同理可得：，．
即：三角形任意两边之和大于第三边．
推论：三角形任意两边之差小于第三边．
理论依据：两点之间，线段最短.
（2）三角形三边关系的应用
①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围；
②判断三条线段能否组成三角形.
注意：
判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.
典例1
（2019春?泰州市泰兴市期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
典例2
（2019春?新吴区期中）有4根小木棒，长度分别为、、、，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
典例3
（2019春?常熟市校级月考）已知三角形的三边长分别为4，5，，则不可能是
A．3 B．5 C．7 D．9
知识点三 三角形的高、中线与角平分线
名称
图形
定义
几何语言
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高
因为是的高（已知），所以于点（或）
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线
因为是的角平分线（已知），所以
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心
因为为的中线（已知），所以（或）
注意：
三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．
典例1
（2019春?相城区期中）在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
典例2
（2019春?盐城市东台市期中）下列说法中错误的是
A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
B．任意三角形的内角和都是
C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
典例3
（2019春?徐州期中）如图，在中，，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，则 ．
巩固训练
一、单选题（共8小题）
1．（2019春?靖江市期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
2．图中三角形的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2019春?邗江区校级月考）已知三角形三边分别为2，，4，那么的取值范围是
A． B． C． D．
4．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，若是的中线，，则
A．5 B．6 C．8 D．4
6．如图所示，中边上的高线是
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
7．（2019春?东台市校级月考）如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为
A． B． C． D．
8．如图，中，，为中点，延长交于，为上一点，且于，下列判断，其中正确的个数是
①是中边上的中线；
②既是中的角平分线，也是中的角平分线；
③既是中边上的高线，也是中边上的高线．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共3小题）
9．（2019春?东台市校级月考）已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为 ．
10．已知三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别是和，则第三条边长_____．
11．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为 ．
三、解答题（共3小题）
12．（2019春?大丰区期中）如图，在中，点在上，且，是的中点，交于点．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
13．（2018秋?丹阳市期中）如图，中，，、、分别是的高、中线、角平分线．求证：．
14．如图，中，点在上，点在上，求证：．
专题03 三角形
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重难突破
知识点一 三角形的有关概念及分类
1、三角形的有关概念
名称
内容
图形
三角形
由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形叫作三角形．
边
组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：，，或，，．
顶点
相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．
角
相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．
三角形的记法
三角形用符号“”来表示，顶点是，，的三角形记作，读作“三角形”．
2、三角形的分类
（1）按角分类
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．
（2）按边分类
注意：
①任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
典例1
（2019春?东台市校级月考）若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【解答】解：设这个三角形三个内角度数依次为，，，
则，
解得：，
这个三角形三个内角度数依次为，，，
则这个三角形是钝角三角形，
故选：．
典例2
（2019春?徐州期中）中，若，则的形状是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解答】解：在中，，
设，则，．
，即，解得，
，
是直角三角形．
故选：．
知识点二 三角形的三边关系
（1）对于任意的，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设、为定点），由“两点之间，线段最短”可得：．同理可得：，．
即：三角形任意两边之和大于第三边．
推论：三角形任意两边之差小于第三边．
理论依据：两点之间，线段最短.
（2）三角形三边关系的应用
①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围；
②判断三条线段能否组成三角形.
注意：
判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.
典例1
（2019春?泰州市泰兴市期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：、，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
、，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
、，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
、，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：．
典例2
（2019春?新吴区期中）有4根小木棒，长度分别为、、、，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：可搭出不同的三角形为：
、、；、、；、、共3个．
故选：．
典例3
（2019春?常熟市校级月考）已知三角形的三边长分别为4，5，，则不可能是
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：，即，则的不可能的值是9，故选．
知识点三 三角形的高、中线与角平分线
名称
图形
定义
几何语言
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高
因为是的高（已知），所以于点（或）
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线
因为是的角平分线（已知），所以
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心
因为为的中线（已知），所以（或）
注意：
三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．
典例1
（2019春?相城区期中）在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，为边上的高．
故选：．
典例2
（2019春?盐城市东台市期中）下列说法中错误的是
A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
B．任意三角形的内角和都是
C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【解答】解：、正确，符合线段的定义；
、正确，符合三角形内角和定理；
、正确；
、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，错误．
故选：．
典例3
（2019春?徐州期中）如图，在中，，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，则 ．
【解答】解：（1）如图，在中，，
，
平分，
；
，，
，
，
；
（2）如图，平分，
，
，
，
．
故答案为：10．
巩固训练
一、单选题（共8小题）
1．（2019春?靖江市期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【解答】解：、，不能组成三角形，故本选项正确；
、，能组成三角形，故本选项错误；
、，能组成三角形，故本选项错误；
、，能组成三角形，故本选项错误．
故选：．
2．图中三角形的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：图中是三角形的有：、、、、共5个．
故选：．
3．（2019春?邗江区校级月考）已知三角形三边分别为2，，4，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得：，
即：，
．
故选：．
4．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等腰三角形是特殊的等边三角形；错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：．
5．如图，若是的中线，，则
A．5 B．6 C．8 D．4
【解答】解：如图，若是的中线，，
．
故选：．
6．如图所示，中边上的高线是
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【解答】解：由图可得，中边上的高线是，
故选：．
7．（2019春?东台市校级月考）如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
．
又是的角平分线，
，
，
又，
．
故选：．
8．如图，中，，为中点，延长交于，为上一点，且于，下列判断，其中正确的个数是
①是中边上的中线；
②既是中的角平分线，也是中的角平分线；
③既是中边上的高线，也是中边上的高线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①为中点，所以是边上的中线，故正确；
②因为，所以是中的角平分线，是中的角平分线，故错误；
③因为于，所以既是中边上的高线，也是中边上的高线，故正确．
故选：．
二、填空题（共3小题）
9．（2019春?东台市校级月考）已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为 ．
【解答】解：①是腰长时，三角形的三边分别为7、7、15，
，
不能组成三角形，
②是底边时，三角形的三边分别为7、15、15，
能组成三角形，
周长，
综上所述，它的周长是37．
故答案为：37．
10．已知三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别是和，则第三条边长_____．
【解答】解：两条边长分别是和，
第三边的取值范围是第三边，
三边均为整数，
第三边的长为，
故答案为：3．
11．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为 ．
【解答】解：设第三边长为，
则，
即，
是整数，
．
故答案为：3．
三、解答题（共3小题）
12．（2019春?大丰区期中）如图，在中，点在上，且，是的中点，交于点．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
【解答】解：是的角平分线，是的角平分线；
是的中线，是的中线．
13．（2018秋?丹阳市期中）如图，中，，、、分别是的高、中线、角平分线．求证：．
【解答】证明：是的平分线，
．
，，
（同角的余角相等）．
是边上的中线，
，
（等边对等角），
，
，
．
14．如图，中，点在上，点在上，
求证：．
【解答】证明：在中，，
在中，，
．
