专题04 多边形的内角和与外角和
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重难突破
知识点一 三角形内角和定理
1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于，即在中，．
注意：
（1）一个三角形中最多只有一个钝角或直角；
（2）一个三角形中最少有一个角不小于；
（3）直角三角形两锐角互余；
（4）等边三角形每个角都是．
2、三角形外角
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的外角和是．
典例1
（2019春?常熟市期中）如图，点在内，且，，则的度数为
A． B． C． D．
典例2
（2019春?泰州市泰兴市期中）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是
A． B． C． D．
典例3
（2019春?徐州校级月考）数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则等于
A． B． C． D．
知识点二 三角形导角模型
1．基本导角模型
2．角平分线模型
典例1
（2019春?泰兴市期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则 ．
典例2
（2019春?亭湖区校级月考）如图，中，与的平分线相交于，若，则
度．
典例3
（2019春?皇姑区期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，则________．
知识点三 三角形面积问题
1．等积变换法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化易求图形的面积．
2．等比法：将面积比转化为线段比．特别的，三角形中线将三角形面积平分．
典例1
（2019春?盐城市东台市期中）如图，在中，、分别是、边的中点，且，则为
A． B． C． D．
典例2
（2019春?宿豫区期中）如图，的中线、相交于点，四边形与的面积分别记为、，则与的大小关系为
A． B． C． D．以上都有可能
典例3
（2019春?常熟市期中）如图，是的中线，点在上，且，设四边形的面积为，的面积为，若，则的面积为 ．
知识点四 多边形内角和、外角和
1．多边形内角和公式：
边形的内角和等于．
注意：多边形内角和定理的证明，一般是将多边形的所有内角通过作辅助线的方法转化成一些三角形的内角来证明．
2．多边形外角及外角和：
（1）三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角；
（2）多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角；
（3）在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和；
（4）多边形的外角和等于．
典例1
（2019春?常熟市期中）如果一个多边形的每一个角都相等，且一个内角是它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是 ．
典例2
（2019春?宿豫区期中）如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进后向左转照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了 ．
典例3
（2019春?泰兴市校级月考）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于
A． B． C． D．
巩固训练
一、单选题（共8小题）
1．（2019春?滨湖区期中）下列说法正确的是．
A．三角形的中线、角平分线和高都是线段
B．若三条线段的长、、满足，则以．．为边一定能组成三角形
C．三角形的外角大于它的任何一个内角
D．三角形的外角和是．
2．三角形的两个内角分别为和，则它的第三个内角的度数是
A． B． C． D．
3．（2019春?徐州校级月考）如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于
A． B． C． D．
4．将一副三角板如图放置，使点在上，，其中，则，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019春?常熟市校级月考）若一个三角形三个外角的度数之比为，则与之对应的三个内角的度数
的比为
A． B． C． D．
6．如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2019春?玄武区期中）如图，在中，，是的一个外角，，，则为
A． B． C． D．
8．（2019春?新吴区期中）如图，，且的平分线与的平分线交于点，
则与、之间存在的等量关系是
A． B．
C． D．
二、填空题（共6小题）
9．（2019春?新吴区期中）若一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数为________．
10．（2019春?东台市校级月考）如图，点，，点在同一条直线上，，，，则 度．
11．（2019春?泰州市校级月考）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
12．（2019春?常熟市校级月考）如图，是的平分线，，，则 ．
13．（2019春?常熟市校级月考）如图，在中，已知点、、分别是、、上的中点，且的面积为，则的面积为 ．
14．（2019春?新吴区期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．
三、解答题（共2小题）
15．（2019春?泉山区校级月考）如图所示，中，，平分．
（1）若，，求的度数，并说明理由；
（2）若，，请用，的关系式表示．
16．（2019春?东台市校级月考）（1）如图①，在中，、的平分线相交于点，，求的度数；
（2）如图②，△的外角平分线相交于点，，求的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的与有怎样的数量关系若，与是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
专题04 多边形的内角和与外角和
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重难突破
知识点一 三角形内角和定理
1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于，即在中，．
注意：
（1）一个三角形中最多只有一个钝角或直角；
（2）一个三角形中最少有一个角不小于；
（3）直角三角形两锐角互余；
（4）等边三角形每个角都是．
2、三角形外角
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的外角和是．
典例1
（2019春?常熟市期中）如图，点在内，且，，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
典例2
（2019春?泰州市泰兴市期中）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是
A． B． C． D．
【解答】解：△是沿折叠得到，
，
又，，
，
即，
整理得，．
，即．
故选：．
典例3
（2019春?徐州校级月考）数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：图中是一副三角板叠放，
，，
，
是的外角，
．
故选：．
知识点二 三角形导角模型
1．基本导角模型
2．角平分线模型
典例1
（2019春?泰兴市期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则 ．
【解答】解：，，
，
又，
中，，
故答案为：．
典例2
（2019春?亭湖区校级月考）如图，中，与的平分线相交于，若，则_____度．
【解答】解：，
．
与的平分线相交于，
，
．
典例3
（2019春?皇姑区期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，则_____．
【解答】解：平分，平分，
，，
，
即，
，
，
，
，
，，
以此类推可知，
故答案为：．
知识点三 三角形面积问题
1．等积变换法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化易求图形的面积．
2．等比法：将面积比转化为线段比．特别的，三角形中线将三角形面积平分．
典例1
（2019春?盐城市东台市期中）如图，在中，、分别是、边的中点，且，则为
A． B． C． D．
【解答】解：点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
．
故选：．
典例2
（2019春?宿豫区期中）如图，的中线、相交于点，四边形与的面积分别记为、，则与的大小关系为
A． B． C． D．以上都有可能
【解答】解：连接，
的中线、相交于点，
，
，
，
，
，
与的大小关系为相等，
故选：．
典例3
（2019春?常熟市期中）如图，是的中线，点在上，且，设四边形的面积为，的面积为，若，则的面积为 ．
【解答】解：作交于，
是的中点，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
由题意得，，
解得．，
故答案为：20．
知识点四 多边形内角和、外角和
1．多边形内角和公式：
边形的内角和等于．
注意：多边形内角和定理的证明，一般是将多边形的所有内角通过作辅助线的方法转化成一些三角形的内角来证明．
2．多边形外角及外角和：
（1）三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角；
（2）多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角；
（3）在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和；
（4）多边形的外角和等于．
典例1
（2019春?常熟市期中）如果一个多边形的每一个角都相等，且一个内角是它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是 ．
【解答】解：每一个外角的度数是度，
，
则该多边形的边数是10．
故答案为：10．
典例2
（2019春?宿豫区期中）如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进后向左转照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了 ．
【解答】解：小明每次都是沿直线前进后向左转，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故答案为：80．
典例3
（2019春?泰兴市校级月考）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：三角形的内角和等于，
可得和的邻补角等于，
．
故选：．
巩固训练
一、单选题（共8小题）
1．（2019春?滨湖区期中）下列说法正确的是．
A．三角形的中线、角平分线和高都是线段
B．若三条线段的长、、满足，则以．．为边一定能组成三角形
C．三角形的外角大于它的任何一个内角
D．三角形的外角和是．
【解答】解：．三角形的中线、角平分线和高都是线段，正确；
．若三条线段的长、、满足，则以．．为边一定能组成三角形，错误；
．三角形的外角大于它的任何一个内角，错误；
．三角形的外角和是，错误，
故选：．
2．三角形的两个内角分别为和，则它的第三个内角的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：由三角形的内角和定理可知第三个内角，
故选：．
3．（2019春?徐州校级月考）如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
．
故选：．
4．将一副三角板如图放置，使点在上，，其中，则，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
5．（2019春?常熟市校级月考）若一个三角形三个外角的度数之比为，则与之对应的三个内角的度数
的比为
A． B． C． D．
【解答】解：设一份为，则三个外角的度数分别为，，，
根据三角形外角和定理，可知，得，
三个外角分别为，和，
根据三角形外角与它相邻的内角互补，与之对应的三个内角的度数分别是，和，
即三个内角的度数的比为．
故选：．
6．如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：、是和的角平分线，
，，
，
；
故选：．
7．（2019春?玄武区期中）如图，在中，，是的一个外角，，，则为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
8．（2019春?新吴区期中）如图，，且的平分线与的平分线交于点，
则与、之间存在的等量关系是
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，
延长交于点，
，
，
平分，平分
，，
，
，
即．
故选：．
二、填空题（共6小题）
9．（2019春?新吴区期中）若一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数为________．
【解答】解：这个正多边形的边数：，
故答案为：12．
10．（2019春?东台市校级月考）如图，点，，点在同一条直线上，，，，则 度．
【解答】解：是的外角，，
．
11．（2019春?泰州市校级月考）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
【解答】解：多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
，
这个多边形是六边形．
故答案为：6．
12．（2019春?常熟市校级月考）如图，是的平分线，，，则 ．
【解答】解：由三角形的外角性质得，，
是的平分线，
，
．
故答案为：．
13．（2019春?常熟市校级月考）如图，在中，已知点、、分别是、、上的中点，且的面积为，则的面积为 ．
【解答】解：点为的中点，
，，
点为的中点，
，
，
，
点为的中点，
；
故答案为2．
14．（2019春?新吴区期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．
【解答】解：由题意得：，，则，
，
故答案为：．
三、解答题（共2小题）
15．（2019春?泉山区校级月考）如图所示，中，，平分．
（1）若，，求的度数，并说明理由；
（2）若，，请用，的关系式表示．
【解答】解：（1），，
，
平分，
，
，
．
（2），，
，
平分，
，
，
．
16．（2019春?东台市校级月考）（1）如图①，在中，、的平分线相交于点，，求的度数；
（2）如图②，△的外角平分线相交于点，，求的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的与有怎样的数量关系若，与是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
【解答】解：（1）在中，、的平分线相交于点，则
．
故；
（2）因为的外角等于，
△另外的两外角平分线相交于点，
根据三角形的外角和等于，
所以，
；
（3）（1）（2）中，与互补；
证明：当时，，
，，
，与互补，
所以当，与还具有互补的关系．
