第二章 一元二次方程单元测试题（解析版）

第二章测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x＋1）2=2（x＋1） B.＋－2=0
C．ax2＋bx＋c=0 D．x2＋2x=x2－1
2. 把方程x2－10x=－3左边化成含有x的完全平方式，下列做法正确的是（ ）
A．x2－10x＋（－5）2=28 B．x2－10x＋（－5）2=22
C．x2＋10x＋52=22 D．x2－10x＋5=2
3. 关于x的一元二次方程x2＋bx－10=0的一个根为2，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
4. 方程（x－2）（x＋3）=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=－3 C．x1=－2，x2=3 D．x1=2，x2=－3
5. 解方程（x＋1）（x＋3）=5较为合适的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法或配方法 D．因式分解法
6. 关于x的一元二次方程kx2＋4x－2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥－2 B．k＞－2且k≠0 C．k≥－2且k≠0 D．k≤－2
7.（宜宾）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
8．若一元二次方程x2－2x－m=0无实数根，则一次函数y=（m＋1）x＋m－1的图象不经过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
9．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
10.（宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ C ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若将方程x2－8x=7化为（x－m）2=n，则m=________.
12．如果关于x的方程ax2＋2x＋1=0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是_________．
13. 方程（x＋2）2=x＋2的解是 .
14. 当k= 时，方程x2＋（k＋1）x＋k=0有一根是0.
15. 写出以4，－5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 .
16. 若关于x的方程x2－mx＋m=0有两个相等实数根，则代数式2m2－8m＋1的值为 .
17．某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为_________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s（0三、解答题（19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分）
19．用适当的方法解下列方程．
（1）x2－x－1=0; （2）x2－2x=2x＋1；
（3）x（x－2）－3x2=－1; （4）（x＋3）2=（1－2x）2.
20．已知关于x的一元二次方程（m＋1）x2－x＋m2－3m－3=0有一个根是1，求m的值及另一个根．
21.已知关于x的一元二次方程x2＋（m＋3）x＋m＋1=0.
（1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|=2，求m的值．
22．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价－进价）
23．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2?
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm?
24．杭州湾跨海大桥通车后，A地到宁波港的路程比原来缩短了120 km.已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的 h缩短到2 h.
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8 320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：1车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
25. 如图，在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=7 cm，点P在BC上，从点B到点C运动（不包括点C），点P运动的速度为2 cm/s；点Q在AC上从点C运动到点A（不包括点A），速度为5 cm/s.若点P，Q分别从B，C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P，Q两点的距离为5 cm?
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15 cm2?
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
参考答案
第二章测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ A ）
A．3（x＋1）2=2（x＋1） B.＋－2=0
C．ax2＋bx＋c=0 D．x2＋2x=x2－1
2. 把方程x2－10x=－3左边化成含有x的完全平方式，下列做法正确的是（ B ）
A．x2－10x＋（－5）2=28 B．x2－10x＋（－5）2=22
C．x2＋10x＋52=22 D．x2－10x＋5=2
3. 关于x的一元二次方程x2＋bx－10=0的一个根为2，则b的值为（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．7
4. 方程（x－2）（x＋3）=0的解是（ D ）
A．x=2 B．x=－3 C．x1=－2，x2=3 D．x1=2，x2=－3
5. 解方程（x＋1）（x＋3）=5较为合适的方法是（ C ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法或配方法 D．因式分解法
6. 关于x的一元二次方程kx2＋4x－2=0有实数根，则k的取值范围是（ C ）
A．k≥－2 B．k＞－2且k≠0 C．k≥－2且k≠0 D．k≤－2
7.（宜宾）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ D ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
8．若一元二次方程x2－2x－m=0无实数根，则一次函数y=（m＋1）x＋m－1的图象不经过第（ D ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
9．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于（ B ）
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
【解析】设AC交A′B′于H.∵∠A=45°，∠AA′H=90°，∴△AA′H是等腰直角三角形．设AA′=x cm，则A′H=x cm，A′D=（2－x）cm.∴x（2－x）=1，解得x1=x2=1.即AA′=1 cm.故选B.
10.（宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ C ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．故选C．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若将方程x2－8x=7化为（x－m）2=n，则m=____4____.
12．如果关于x的方程ax2＋2x＋1=0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是____a<1且a≠0_____．
13. 方程（x＋2）2=x＋2的解是 x1=－2，x2=－1 .
14. 当k= 0 时，方程x2＋（k＋1）x＋k=0有一根是0.
15. 写出以4，－5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 x2＋x－20=0 .
16. 若关于x的方程x2－mx＋m=0有两个相等实数根，则代数式2m2－8m＋1的值为 1 .
17．某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为____100（1＋x）＋100（1＋x）2=260_____．
【解析】根据题意知：第二季度投入资金100（1＋x）万元，第三季度投入资金100（1＋x）2万元，∴100（1＋x）＋100（1＋x）2=260.
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s（0【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16 cm，AD为BC边上的高，∴AD=BD=CD=8 cm.
又∵AP=t cm，
∴S1=AP·BD=×t×8=8t（cm2），PD=（8－t）cm.易知PE=AP=t cm，∴S2=PD·PE=（8－t）·t cm2.∵S1=2S2，
∴8t=2（8－t）·t.解得t1=0（舍去），t2=6.
三、解答题（19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分）
19．用适当的方法解下列方程．
（1）x2－x－1=0; （2）x2－2x=2x＋1；
解：a=1，b=－1，c=－1，　 解：原方程可化为x2－4x=1，
所以b2－4ac=（－1）2－4×1×（－1）=5. 配方，得x2－4x＋4=1＋4，（x－2）2=5.
所以x==， 两边开平方，得x－2=±，
即原方程的根为x1=， 所以x1=2＋，x2=2－.
x2=.
（3）x（x－2）－3x2=－1; （4）（x＋3）2=（1－2x）2.
解：原方程可化为2x2＋2x－1=0， 解：移项，得（x＋3）2－（1－2x）2=0，
a=2，b=2，c=－1， 因式分解，得（3x＋2）（－x＋4）=0，
b2－4ac=22－4×2×（－1）=12. 解得x1=－，x2=4.
所以x==，
即原方程的根为x1=，x2=.
20．已知关于x的一元二次方程（m＋1）x2－x＋m2－3m－3=0有一个根是1，求m的值及另一个根．
解：∵（m＋1）x2－x＋m2－3m－3=0有一个根是1，
∴（m＋1）·12－1＋m2－3m－3=0.整理，得m2－2m－3=0，
∴（m－3）（m＋1）=0.
又∵方程（m＋1）x2－x＋m2－3m－3=0为一元二次方程，
∴m＋1≠0，∴m－3=0.∴m=3.
∴原方程为4x2－x－3=0，
解得x1=1，x2=－.
∴原方程的另一个根为－.
21.已知关于x的一元二次方程x2＋（m＋3）x＋m＋1=0.
（1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|=2，求m的值．
解：（1）∵Δ=（m＋3）2－4（m＋1）=m2＋2m＋5=（m＋1）2＋4>0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根.　
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1＋x2=－（m＋3），x1x2=m＋1，
∵|x1－x2|=2，∴（x1－x2）2=8，
∴（x1＋x2）2－4x1x2=8，
∴（－m－3）2－4（m＋1）=8，
∴m1=1，m2=－3，
∴m的值为1或－3.
22．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价－进价）
解：（1）当x≤5时，y=30.
当5∴y=
（2）当x≤5时，（32－30）×5=10<25，不合题意．
当5（32＋0.1x－30.5）x=25，
∴x2＋15x－250=0.
解得x1=－25（舍去），x2=10.
∴该月需售出10辆汽车．
23．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2?
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm?
解：（1）设P，Q两点从出发开始到x s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2，则AP=3x cm，CQ=2x cm，所以PB=（16－3x）cm.因为（PB＋CQ）×BC×=33，所以（16－3x＋2x）×6×=33.解得x=5，所以P，Q两点从出发开始到5 s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2.
（2）设P，Q两点从出发开始到a s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.
如图，过点Q作QE⊥AB于E，易得EB=QC，EQ=BC=6 cm，　
所以PE=|PB－BE|=|PB－QC|=|16－3a－2a|=|16－5a|（cm）．　
在Rt△PEQ中，PE2＋EQ2=PQ2，所以（16－5a）2＋62=102，即25a2－160a＋192=0，解得a1=，a2=，所以P，Q两点从出发开始到 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.　
24．杭州湾跨海大桥通车后，A地到宁波港的路程比原来缩短了120 km.已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的 h缩短到2 h.
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8 320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：1车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x km，
由题意得=，解得x=180.
∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180 km.
（2）1.8×180＋28×2=380（元），
∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是380元．
（3）设这批货物有y车，由题意得：
y[800－20×（y－1）]＋380y=8 320，
整理得y2－60y＋416=0，
解得y1=8，y2=52（不合题意，舍去），
∴这批货物有8车．
25. 如图，在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=7 cm，点P在BC上，从点B到点C运动（不包括点C），点P运动的速度为2 cm/s；点Q在AC上从点C运动到点A（不包括点A），速度为5 cm/s.若点P，Q分别从B，C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P，Q两点的距离为5 cm?
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15 cm2?
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=7 cm，
∴AB=25 cm，
设经过t s后，P，Q两点的距离为5 cm，t s后，PC=（7－2t） cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2＋CQ2=PQ2，代入数据（7－2t）2＋（5t）2=（5）2；
解得t=1或t=－（不合题意舍去）．　
（2）设经过t s后，S△PCQ的面积为15 cm2.
t s后，PC=（7－2t） cm，CQ=5t cm，S△PCQ=×（7－2t）×5t=15，
解得t1=2，t2=1.5，经过2 s或1.5 s后，S△PCQ的面积为15 cm2．
（3）设经过t s后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，t s后，PC=（7－2t） cm，CQ=5t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（7－2t）×5t=×（－2t2＋7t），
配方得S△PCQ=－5（t－）2＋≤，
即t= s时，△PCQ的最大面积为，
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC－S△PCQ最大=×7×24－=（cm2），当点P运动秒时，四边形BPQA的面积最小为cm2．