1.1 菱形的性质与判定（2）同步练习题（含答案）

第一章 特殊平行四边形
2 菱形的性质与判定（2）
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1.如图14，在□ABCD中，添加下列条件不能判定矩形ABCD是菱形的是（ ）
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（第1题图）（第2题图）（第3题图）
A.AB=BC B.AC⊥BD C.BD平分∠ABC D.AC=BD
2.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若∠B=30°,AE=3,则菱形ABCD的面积为（ ）
A .18 B.9 C.9 D.18
3.如图,四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD,若∠C=100°,则∠BAD的大小是（ ）
A.25° B.50° C.60° D.80°
4.如图，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是　　.
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（第4题图）（第5题图）（第6题图）
5.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是　　（写出一个即可）.
6.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是____（只填一个你认为正确的即可）.
7.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=/BD.
其中正确的结论为　　　　（请将所有正确的序号都填上）.
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8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
9.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F，连接AF，CE.
求证：四边形AECF是菱形.
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE，AF.
（1）求证：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由.
11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形.
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12.如图，已知△ABC的顶点B，C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′，CB′，BB′，CC′.
（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）.
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13．（遂宁）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
参考答案
第一章 特殊平行四边形
2 菱形的性质与判定（2）
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1.如图14，在□ABCD中，添加下列条件不能判定矩形ABCD是菱形的是（ D ）
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（第1题图）（第2题图）（第3题图）
A.AB=BC B.AC⊥BD C.BD平分∠ABC D.AC=BD
2.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若∠B=30°,AE=3,则菱形ABCD的面积为（ A ）
A .18 B.9 C.9 D.18
3.如图,四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD,若∠C=100°,则∠BAD的大小是（ B ）
A.25° B.50° C.60° D.80°
4.如图，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是　菱形　.
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（第4题图）（第5题图）（第6题图）
5.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是　CB=BF（答案不唯一）　（写出一个即可）.
6.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是__如AC⊥BD或AB=BC或BC=CD（答案不唯一）__（只填一个你认为正确的即可）.
7.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=/BD.
其中正确的结论为　　①③④　　（请将所有正确的序号都填上）.
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8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，∴AF=DF，
∴□AEDF是菱形.
9.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F，连接AF，CE.
求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO，∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，∴OE=OF.
∵EF⊥AC，OE=OF，∴AC与EF互相垂直平分，∴四边形AECF是菱形.
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE，AF.
（1）求证：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由.
解：（1）证明：∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，AC=2DE.
∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE.
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形.
理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，
∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.
又由（1）知四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形.
11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形.
证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE.
∵E是AC的中点，∴AE=CE.
在△AFE和△CDE中，∠AFE=∠CDE，∠AEF=∠CED，AE=CE，
∴△AFE≌△CDE，∴AF=CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC=2AB，E是AC的中点，∴AE=AB.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD.
在△AED和△ABD中，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABD，
∴∠AED=∠B=90°，即AC⊥DF，
∴平行四边形形ADCF是菱形.
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12.如图，已知△ABC的顶点B，C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′，CB′，BB′，CC′.
（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）.
解：（1）猜想：BC′=CB′.
证明：∵B′是点B关于直线AC的对称点，∴AC垂直平分BB′，∴BC=CB′.
同理BC=BC′，∴BC′=CB′.
（2）要使四边形BCB′C′是菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，∴AC垂直平分BB′，AB垂直平分CC′，∴BB′，CC′应该同时过点A，∴∠BAC=90°，∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.
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13．（遂宁）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BF，
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.
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