1.2 矩形的性质与判定（2）同步练习题（含答案）

第一章 特殊平行四边形
4 矩形的性质与判定（2）
1.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）　
A.AO=CO，BO=DO B.AO=BO=CO=DO
C.AC=BD，AO=CO D.AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
2.下列关于矩形的说法中正确的是（ ）　
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
3.在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）　
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
4.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=2，若要使□ABCD为矩形，则OB的长应该为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1

（第4题图） （第5题图 ） （第6题图）
5.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_ ___.（添加一个条件即可）
6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为____度时，四边形ABFE为矩形.
7.如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为____.
8.如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件 _ _时，四边形PEMF为矩形.
9.已知□ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AC=BD；④OA=OD.使□ABCD是矩形的条件的序号是 .
10.如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形.
11.已知，如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若□ABCD的面积是16，求对角线AC的长.
12.如图，点E，F分别△ABC的边BC，CA的中点，延长EF到点D，使得DF=EF，连接DA，DC，AE.
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）若AB=AC，求证：四边形AECD是矩形.
13.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点O既是AC的中点，又是EF的中点.
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由.
14.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
15.（上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=B D.AB⊥BC
16.（玉林）如图，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．求证：四边形EFNM是矩形；
参考答案
第一章 特殊平行四边形
4 矩形的性质与判定（2）
1.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是（ B ）　
A.AO=CO，BO=DO B.AO=BO=CO=DO
C.AC=BD，AO=CO D.AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
2.下列关于矩形的说法中正确的是（ D ）　
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
3.在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ C ）　
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
4.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=2，若要使□ABCD为矩形，则OB的长应该为（　C　）
A.4 B.3 C.2 D.1

（第4题图） （第5题图 ） （第6题图）
5.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__∠ABC=90°或AC=BD（答案不唯一）__.（添加一个条件即可）
6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__60__度时，四边形ABFE为矩形.
7.如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为__12__.
8.如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件BC=2AB _时，四边形PEMF为矩形.
9.已知□ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AC=BD；④OA=OD.使□ABCD是矩形的条件的序号是__①③④__.
10.如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形.
解：证明：∵AC=AB，AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠CAD=∠BAD－∠CAB=∠CAE－∠CAB=∠BAE.∴△ADC≌△AEB.∴DC=BE，∠ABE=∠ACD.又∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形.∵AB=AC，∴∠ABC=ACB，∴∠ABC＋∠ABE=∠ACB＋∠ACD，即∠EBC=∠DCB=90°.∴四边形BCED为矩形　
11.已知，如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若□ABCD的面积是16，求对角线AC的长.
解：∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB，∠OAB=60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠OAB=60°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB，BC=AB，∴AB·AB=16，∴AB=4，∴AC=8　
12.如图，点E，F分别△ABC的边BC，CA的中点，延长EF到点D，使得DF=EF，连接DA，DC，AE.
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）若AB=AC，求证：四边形AECD是矩形.
解：（1）证明：∵AF=CF，DF=EF，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=CE，又∵BE=CE，∴AD=BE，∴四边形ABED是平行四边形.
（2）∵AB=AC，BE=CE，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴□ABCD是矩形.　
13.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点O既是AC的中点，又是EF的中点.
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由.
解：（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°，∵点O是EF的中点，∴OE=OF，又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）.
（2）四边形ABCD是矩形.理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC，∴□ABCD是矩形.　
14.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
解：（1）证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC.同理可证：OC=OE.∴OE=OF.
由（1）知：OF=OC，OC=OE，∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE=∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC=180°，∴∠ECF=∠OCF＋∠OCE=90°，∴EF===13.∴OC=EF=.
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形..理由如下：由（1）知OE=OF, 当点O移动到AC中点时有OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形.　
15.（上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　B　）
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=B D.AB⊥BC
16.（玉林）如图，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．求证：四边形EFNM是矩形；
证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG=ME，EG=EM′
∴EG=ME=ME′=MM′，
同理可证：FH=NF=N′F=NN′，
∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，
∴MM′=NN′，∴ME=NF=EG=FH，
又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，
∴四边形EFNM是矩形．